艺术生高考数学专题讲义：考点51 变量间的相关关系与统计案例

考点五十一  变量间的相关关系与统计案例

知识梳理

1．相关关系

常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系．两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．

2．散点图

通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．

3．正相关与负相关

从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．

4．回归直线方程

(1)曲线拟合

从散点图上，如果变量之间存在某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样的近似过程称为曲线拟合．

(2)线性相关

在两个变量x和y的散点图中，若所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关，这条直线叫回归直线．若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，称此相关是非线性相关．如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的．

(3)最小二乘法

如果有n个点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，可以用[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近程度，使得上式达到最小值的直线y＝a＋bx就是所要求的直线，这种方法称为最小二乘法．

(4)回归方程

方程y＝bx＋a是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中a，b是待定参数．

说明：回归直线必过样本中心(，)，但是样本数据不一定在回归直线上，甚至可能所有的样本数据点都不在直线上．

5．相关系数

相关系数r＝  ＝  ；

当r>0时，表明两个变量正相关；

当r<0时，表明两个变量负相关．

r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．

6．独立性检验

设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，

变量A：A1，A2＝1；变量B：B1，B2＝1；

2×2列联表：

构造一个随机变量χ2＝.

利用随机变量χ2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．

当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联；

当χ2>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；

当χ>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；

当χ>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．

典例剖析

题型一  相关关系判断

例1　变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则________．

①r2<r1<0      ②0<r2<r1       ③r2<0<r1      ④r2＝r1

答案　③

解析　对于变量Y与X而言，Y随X的增大而增大，故Y与X正相关，即r1>0；对于变量V与U而言，V随U的增大而减小，故V与U负相关，即r2<0，所以有r2<0<r1．

变式训练  四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：

①y与x负相关且＝2.347x－6.423；   ②y与x负相关且＝－3.476x＋5.648；

③y与x正相关且＝5.437x＋8.493；   ④y与x正相关且＝－4.326x－4.578.

其中一定不正确的结论的序号是________．

答案　①④

解析  由回归直线方程＝x＋，知当>0时，x与y正相关，当<0时，x与y负相关，所以①④一定错误．

解题要点  判断变量之间有无相关关系，一种简便可行的方法就是绘制散点图，根据散点图很容易看出两个变量之间是否具有相关性，是不是存在线性相关关系，是正相关还是负相关，相关关系是强还是弱．

题型二  回归分析

例2　已知x，y取值如下表：

从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且＝0.95x＋a，则a＝________．

答案  1.45

解析  ∵＝＝4，＝＝5.25，

又＝0.95x＋a过(，)，∴5.25＝0.95×4＋a，得a＝1.45.

变式训练  已知x与y之间的一组数据：

已求得关于y与x的线性回归方程＝2.1x＋0.85，则m的值为________．

答案  0.5

解析  ＝＝，＝＝，把(，)代入线性回归方程，＝2.1×＋0.85，m＝0.5.

解题要点  回归直线方程＝x＋必过样本点中心(，)．利用这一结论，可以快速求出回归方程中的参数．

例3　下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.

(1)请画出上表数据的散点图；

(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋；

(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？

(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)

解析  (1)由题意，作散点图如图．

(2)由对照数据，计算得iyi＝66.5，

＝32＋42＋52＋62＝86，

＝4.5，＝3.5，

＝＝＝0.7，

＝－＝3.5－0.7×4.5＝0.35，

所以回归方程为＝0.7x＋0.35.

(3)当x＝100时，y＝100×0.7＋0.35＝70.35(吨标准煤)，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低90－70.35＝19.65(吨标准煤)．

变式训练  (2015新课标Ⅰ文)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

表中wi＝，＝i.

(I)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

(II)根据(I)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

(III)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(II)的结果回答下列问题：

(i)当年宣传费时，年销售量及年利润的预报值时多少？

(ii)当年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－　.

解析  (I)由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．

(II)令w＝，先建立y关于w的线性回归方程，由于

＝＝＝68，

＝－＝563－68×6.8＝100.6，

所以y关于w的线性回归方程为＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为＝100.6＋68.

(III)(i)由(II)知，当x＝49时，年销售量y的预报值＝100.6＋68＝576.6，

年利润z的预报值＝576.6×0.2－49＝66.32.

(ii)根据(II)的结果知，年利润z的预报值＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12.

所以当＝＝6.8，即x＝46.24时， 取得最大值．

故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．

解题要点  (1)正确运用计算b，a的公式和准确的计算，是求线性回归方程的关键．

(2)分析两变量的相关关系，可由散点图作出判断，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．

(3) 求解回归方程关键是确定回归系数，，因求解的公式计算量太大，一般题目中给出相关的量，如，，x，xiyi等，便可直接代入求解．充分利用回归直线过样本中心点(，)，即有y＝＋，可确定.

题型三  相关分析

例4　有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：

已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是________．

①                                                                                                                                                       列联表中c的值为30，b的值为35

②                                                                                                                                                       列联表中c的值为15，b的值为50

③                                                                                                                                                       根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”

④                                                                                                                                                       根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”

答案  ③

解析  由题意知，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，所以c＝20，b＝45，选项A、B错误．根据列联表中的数据，得到χ2＝≈6.109＞3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．

变式训练  在研究色盲与性别的关系调查中，调查了男性480人，其中有38人患色盲，调查的520名女性中，有6人患色盲．

(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；

(2)若认为“性别与患色盲有关系”，求出错的概率．

解析  (1)2×2列联表如下：

(2)假设H0：“性别与患色盲没有关系”，根据(1)中2×2列联表中数据，可求得

χ2＝≈27.14，

又P(χ2≥10.828)＝0.001，即H0成立的概率不超过0.001，故若认为“性别与患色盲有关系”，则出错的概率为0.1%.

解题要点  (1)独立性检验的关键是正确列出2×2列联表，并计算出χ2的值．

(2)弄清判断两变量有关的把握性与犯错误概率的关系，根据题目要求作出正确的回答．

当堂练习

1．(2015湖北文)已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是________．

①x与y正相关，x与z负相关    ②x与y正相关，x与z正相关

③x与y负相关，x与z负相关    ④x与y负相关，x与z正相关

答案　③

解析　因为y＝－0.1x＋1，－0.1<0，所以x与y负相关．又y与z正相关，故可设z＝ay＋b(a>0)，所以z＝－0.1ax＋a＋b，－0.1a<0，所以x与z负相关．

2．(2014·湖北卷) 根据如下样本数据

得到的回归方程为＝bx＋a，则________．

①a＞0，b＜0      ②a＞0，b＞0    ③a＜0，b＜0    ④a＜0，b＞0

答案  ①

解析  作出散点图如下：

由图象不难得出，回归直线＝bx＋a的斜率b<0，截距a>0，所以a>0，b<0．

3. 通过随机询问110名大学生是否爱好某项运动，得到如下列联表：

由K2＝，得K2＝≈7.8.

附表：

参照附表，得到的正确结论是________．

①       有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

②       有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

③       在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

④     在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

答案  ①

解析  因为7.8>6.635，所以选项①正确．

4．下列有关样本相关系数的说法不正确的是________．

①相关系数用来衡量变量x与y之间的线性相关程度

②|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大

③|r|≤1，且|r|越接近0，相关程度越小

④|r|≥1，且|r|越接近1，相关程度越小

答案　④

5．两个相关变量满足如下关系：

则两变量的回归方程为________．

答案　＝0.56x＋997.4

解析　回归直线经过样本中心点(20,1 008.6)，经检验只有选项A符合题意．

课后作业

一、    填空题

1．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1,x2,…,xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i=1,2,…,n)都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为_____．

答案  1

解析  根据相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1．

2．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是______．

①y与x具有正的线性相关关系

②回归直线过样本点的中心(，)

③若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg

④若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg

答案  ④

解析  由回归方程为=0.85x-85.71知随的增大而增大，所以y与x具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知，所以回归直线过样本点的中心(，)，利用回归方程可以预测估计总体，所以④不正确.

3．(2015新课标II文)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图．以下结论不正确的是________．

①     逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著

②     2007年我国治理二氧化硫排放显现成效

③2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势

④2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

答案　④

解析　从2006年，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大，①选项正确；

2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多，②选项正确；

虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些，但自2006年以来，整体呈递减趋势，即③选项正确；自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，④选项错误，故选④．

4．下面是一个2×2列联表

其中a，b处填的值分别为________．

答案　52　74

解析　由a＋21＝73，得a＝52，a＋22＝b，得b＝74．

5．为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2＝8.01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握性约为________．

答案  99%

解析  因为K2＝8.01>6.635，所以有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”．

6．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据：

根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为 ＝0.7x＋0.35，那么表中t的值为________．

答案  3

解析  由＝0.7＋0.35得＝0.7×＋0.35⇒＝3.5⇒t＝3.

7．(2014·江西卷)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是________．

　　　          表1　　　　　　　　　                  　表2

                表3　　　　　　　　                   　　表4

答案  阅读量

解析  通过计算可得，表1中的χ2≈0.009，表2中的χ2≈1.769，表3中的χ2＝1.300，表4中的χ2≈23.481．

8．已知某车间加工零件的个数x与所花费时间y(h)之间的线性回归方程为＝0.01x＋0.5，则加工600个零件大约需要的时间为________．

答案  6.5 h

解析  将600代入线性回归方程＝0.01x＋0.5中得需要的时间为6.5 h.

9．为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：

已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.

根据表中数据，得到K2的观测值k＝≈4.844，则认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为________．

答案　5%

解析　由K2的观测值k≈4.844>3.841，故认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为5%.

10．考古学家通过始祖鸟化石标本发现：其股骨长度x(cm)与肱骨长度y(cm)的线性回归方程为＝1.197x－3.660，由此估计，当股骨长度为50 cm时，肱骨长度的估计值为________cm.

答案  56.19

解析  根据回归方程＝1.197x－3.660，将x＝50代入，得y＝56.19，则肱骨长度的估计值为56.19 cm.

11．已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线的回归方程为________．

答案  ＝1.23x＋0.08

解析  设回归直线方程为＝1.23x＋a，由题意得：5＝1.23×4＋a，得a＝0.08，故回归方程为＝1.23x＋0.08.

二、解答题

12． (2013·重庆文)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720.

(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a；

(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；

(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．

附：线性回归方程y＝bx＋a中，

b＝，a＝－b，其中，为样本平均值，

线性回归方程也可写为＝x＋.

解析  (1)由题意知n＝10，＝i＝＝8，

＝i＝＝2，

又－n2＝720－10×82＝80，

iyi－n ＝184－10×8×2＝24，

由此得b＝＝＝0.3，

a＝－b＝2－0.3×8＝－0.4，

故所求回归方程为＝0.3x－0.4.

(2)由于变量y的值随x的值增加而增加(b＝0.3>0)，故x与y之间是正相关．

(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄约为y＝0.3×7－0.4＝1.7千元．

13．近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸，呼吸困难等心肺疾病，为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机对入院50人进行了问卷调查，得到了如下的列联表.

(1)用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽多少人？

(2)为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量K2，并回答有多大把握认为心肺疾病与性别有关？

参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

解析  (1)在患心肺疾病人群中抽6人，则抽取比例为＝，∴男性应该抽取20×＝4人．

(2)∵K2≈8.333，且P(K2≥7.879)＝0.005＝0.5%，所以有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关系．