艺术生高考数学专题讲义：考点55 二项分布及其应用（理）

考点五十五  二项分布及其应用（理）

知识梳理

1．相互独立事件

(1)一般地，对于两个事件A，B，如果有P(AB)＝P(A)P(B)，则称A、B相互独立．

(2)如果A、B相互独立，则A与、与B、与也相互独立．

(3)如果A1，A2，…，An相互独立，则有：P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．

2．二项分布

如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝CPkqn－k，其中k＝0，1，2，3，…，n，q＝1－P.于是得到随机变量X的概率分布如下：

由于CPkqn－k恰好是二项展开式(P＋q)n＝CP0qn＋CP1qn－1＋…＋CPkqn－k＋…＋CPnq0中的第k＋1项(k＝0，1，2，…，n)中的值，故称随机变量X为二项分布，记作X～B(n，P)．

3．二项分布特点

(1)每次试验只有两个相互对立的结果：“成功”和“失败”；

(2)每次试验“成功”的概率均为P，“失败”的概率均为1－P；

(3)各次试验是相互独立的．

4．独立重复试验

在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，用Ai(i＝1，2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An) ＝P(A1)P(A2)…P(An)．

典例剖析

题型一  相互独立事件

例1　设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．

(1) 求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；

(2) 求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；

(3) 记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列．

解析  记A表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品；记B表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品；记C表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种；记D表示事件：进入商场的1位顾客没有购买甲、乙两种商品中的任何一种．

(1) C＝A·＋·B，

P(C)＝P(A·＋·B)＝P(A·)＋P(·B)＝P(A)·P()＋P()·P(B)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.

(2) D＝·，

P(D)＝P(·)＝P()·P()＝0.5×0.4＝0.2，

P()＝1－P(D)＝0.8.

(3) ξ～B(3，0.8)，故ξ的分布列

P(ξ＝0)＝0.23＝0.008；

P(ξ＝1)＝C×0.8×0.22＝0.096；

P(ξ＝2)＝C×0.82×0.2＝0.384；

P(ξ＝3)＝0.83＝0.512.

变式训练  （2015北京理节选）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：

A组：10,11,12,13,14,15,16

B组：12,13,15,16,17,14，a

假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．

(1) 求甲的康复时间不少于14天的概率；

(2) 如果a＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；

解析　设事件Ai为“甲是A组的第i个人”，

事件Bi为“乙是B组的第i个人”，i＝1,2，…，7.

由题意可知P(Ai)＝P(Bi)＝，i＝1,2，…，7.

(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是

P(A5∪A6∪A7)＝P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＝.

(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”．由题意知，

C＝A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6.

因此P(C)＝P(A4B1)＋P(A5B1)＋P(A6B1)＋P(A7B1)＋P(A5B2)＋P(A6B2)＋P(A7B2)＋P(A7B3)＋P(A6B6)＋P(A7B6)＝10P(A4B1)＝10P(A4)P(B1)＝.

解题要点  (1)注意区分相互独立事件与n次独立重复试验．独立重复试验是在同一条件下，事件重复发生或不发生．

(2)独立重复试验中的概率公式P(X＝k)＝CPk(1－P)n－k表示的是n次独立重复试验中事件A发生k次的概率，P与1－P的位置不能互换，否则该式子表示的意义就发生了改变，变为事件A有k次不发生的概率了.

(3) “相互独立”与“事件互斥”的区别

两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响．两事件相互独立不一定互斥．

题型二  独立重复试验

例2　（2015新课标Ⅰ理）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为________．

答案　0.648

解析　利用独立重复试验概率公式求解．

3次投篮投中2次的概率为P(k＝2)＝C×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P(k＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P(k＝2)＋P(k＝3)＝C×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.

变式训练  在4次独立试验中，事件A出现的概率相同，若事件A至少发生1次的概率是，则事件A在一次试验中出现的概率是________．

答案 

解析  设A发生概率为P，1－(1－P)4＝，P＝.

解题要点  利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X＝k)＝CPk(1－P)n－k的三个条件：①在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数P；②n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；③该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率．

题型三  二项分布

例3　某商场为促销设计了一个抽奖模型，一定数额的消费可以获得一张抽奖券，每张抽奖券可以从一个装有大小相同的4个白球和2个红球的口袋中一次性摸出3个球，至少摸到一个红球则中奖．

(1) 求一次抽奖中奖的概率；

(2) 若每次中奖可获得10元的奖金，一位顾客获得两张抽奖券，求两次抽奖所得的奖金额之和X(元)的概率分布．

解析  (1) 设“一次抽奖中奖”为事件A，则P(A)＝＝＝.

故一次抽奖中奖的概率为.

(2) X可取0，10，20，P(X＝0)＝(0.2)2＝0.04，P(X＝10)＝C×0.8×0.2＝0.32，

P(X＝20)＝(0.8)2＝0.64.

X的概率分布列为

变式训练 (2014·高考四川卷节选)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．

设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列．

解析　X可能的取值为10，20，100，－200.

根据题意，有

P(X＝10)＝C××＝，

P(X＝20)＝C××＝，

P(X＝100)＝C××＝，

P(X＝－200)＝C××＝.

所以X的分布列为

解题要点  独立重复试验与二项分布是高中数学的重要内容，也是高考命题的热点，抓住二项分布的特点，正确识别二项分布模型是解题的关键．

当堂练习

1．已知随机变量X～B(10,0.6)，则E(X)，D(X)分别是________．

答案  6和2.4

解析  ∵X～B(10,0.6)，∴E(X)＝10×0.6＝6，D(X)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4，

2．若事件A，B相互独立，且P(A)＝，P(B)＝，则P(AB)＝________．

答案 

解析  ∵A，B相互独立，∴P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.

3. 甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为________．

答案　0.88

解析　由题意知，甲、乙都不被录取的概率为(1－0.6)(1－0.7)＝0.12.

所以其中至少有一人被录取的概率为1－0.12＝0.88.

4．已知X～B，则P(X＝2)＝________.

答案 

解析  P(X＝2)＝C＝.

5．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为________．

答案　

解析　设事件A＝甲实习生加工的零件为一等品；事件B＝乙实习生加工的零件为一等品，

则P(A)＝，P(B)＝，

所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为

P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×(1－)＋(1－)×＝.

课后作业

一、    填空题

1．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙、丙去北京旅游的概率分别为，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．．

答案　

解析　因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，，.因此，他们不去北京旅游的概率分别为，，，至少有1人去北京旅游的概率为P＝1－××＝.

2．从应届毕业生中选拔飞行员，已知该批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，其他几项标准合格的概率为，从中任选一名学生，则该学生三项均合格的概率为(假设三次标准互不影响) ________．

答案 

解析  由题意P＝××＝.

3．某人射击命中目标的概率为0.6，每次射击互不影响，连续射击3次，至少有2次命中目标的概率为________．

答案 

解析  C2·＋C3＝.

4．甲、乙两人进行象棋比赛，比赛采用五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3∶1的比分获胜的概率为________．

答案 

解析  甲以3∶1的比分获胜，即前三局甲胜二局，第四局甲胜，

所求的概率为P＝C2××＝.

5．某批小麦种子，如果每1粒小麦发芽的概率为，那么播下3粒这样的种子恰有2粒发芽的概率是________．

答案 

解析  用X表示发芽的粒数，独立重复试验服从二项分布X～B，

P(X＝2)＝C＝.

6．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是________．

答案 

解析  法一　由题得P(A)＝，P(B)＝，

事件A、B至少有一件发生的概率为

P＝P(A)+P(B)+P(AB)＝P(A)·P()+P()·P(B)+P(A)·P(B)＝×＋×＋×＝.

法二　依题意得P(A)＝，P(B)＝，

事件A，B中至少有一件发生的概率等于1－P(·)＝1－P()·P()＝1－×＝.

7．甲、乙两人进行打靶训练，甲每射击10次可以击中9次，乙每射击9次可以击中8次．甲、乙两人射击同一目标(甲、乙两人互不影响)，现各射击一次，目标被击中的概率为________．

答案 

解析  目标被击中的概率为P＝1－＝1－＝.

8．已知随机变量ξ～B，则当P(ξ＝k)取得最大值时，k的值为________．

答案  50

解析  P(ξ＝k)＝C·k100－k

＝C·100，由组合数的性质可知，当k＝50时取得最大值．

9．某篮球运动员在三分线投球的命中率是，他投球6次，恰好投进4个球的概率为______(用数字作答)．

答案 

解析  P＝C42＝.

10．某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为________．

答案 

解析  本题符合独立重复试验，是二项分布问题，所以此人恰有两次击中目标的概率为C(0.6)2·(1－0.6)＝.

11．设袋中有大小相同的4个红球与2个白球，若从中有放回地依次取出一个球，记6次取球中取出2个红球的概率为________．

答案 

解析  由题意得红球个数X服从二项分布，即X～B，∴ P(X＝2)＝C·＝.

二、解答题

12．（2014·安徽卷节选）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率．

解析  用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”，则P(Ak)＝，P(Bk)＝，k＝1，2，3，4，5.

P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)

＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＝＋×＋××＝.

13．（2014·湖南卷改编）（2015湖南理）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．

(1)求顾客抽奖1次获得一等奖的概率；

(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．

解析  (1)记事件A1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，

A2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，

由题意，A1与A2相互独立，A12与1A2互斥，B1＝A1A2，

因为P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，所以P(B1)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝×＝．

(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，所以X～B.

于是P(X＝0)＝C03＝，

P(X＝1)＝C12＝，

P(X＝2)＝C21＝，

P(X＝3)＝C30＝.

故X的分布列为

X的数学期望为E(X)＝3×＝.