2023高考数学艺体生一轮复习 专题07 函数的性质-单调性、奇偶性、周期性（原卷版）

这是一份2023高考数学艺体生一轮复习 专题07 函数的性质-单调性、奇偶性、周期性（原卷版），共18页。
专题07 函数的性质——单调性、奇偶性、周期性 【题型归纳目录】题型一：函数的单调性及其应用题型二：复合函数单调性的判断题型三：利用函数单调性求函数最值题型四：利用函数单调性求参数的范围题型五：基本初等函数的单调性题型六：函数的奇偶性的判断与证明题型七：已知函数的奇偶性求参数题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值题型九：已知奇函数+M题型十：已知由函数奇偶性解不等式题型十一：函数的对称性与周期性题型十二：函数性质的综合【考点预测】1、函数的单调性（1）单调函数的定义一般地，设函数的定义域为，区间：如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．①属于定义域内某个区间上；②任意两个自变量，且；③都有或；④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．（2）单调性与单调区间①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．（3）复合函数的单调性复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数．2、函数的奇偶性函数奇偶性的定义及图象特点奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数关于轴对称奇函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数关于原点对称判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内（即定义域关于原点对称）．3、函数的对称性（1）若函数为偶函数，则函数关于对称．（2）若函数为奇函数，则函数关于点对称．（3）若，则函数关于对称．（4）若，则函数关于点对称．4、函数的周期性（1）周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期．（2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期．【方法技巧与总结】1、单调性技巧（1）证明函数单调性的步骤①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；③定号：判断差的正负或商与的大小关系；④得出结论．（2）函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（3）记住几条常用的结论：①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．2、奇偶性技巧（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．（2）奇偶函数的图象特征．函数是偶函数函数的图象关于轴对称；函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称．（3）若奇函数在处有意义，则有；偶函数必满足．（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．（5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则．（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如．对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．（7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．（8）常见奇偶性函数模型奇函数：①函数或函数．②函数．③函数或函数④函数或函数．注意：关于①式，可以写成函数或函数．偶函数：①函数．②函数．③函数类型的一切函数．④常数函数3、周期性技巧4、函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且．5、对称性技巧（1）若函数关于直线对称，则．（2）若函数关于点对称，则．（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．【典例例题】题型一：函数的单调性及其应用例1．（2023·全国·高三专题练习）下列函数既是偶函数又在上单调递减的是（    ）A． B． C． D．  例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（    ）A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 例3．（2023·全国·高三专题练习）下列函数在上是减函数的为（       ）A． B．C． D． 变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为的函数是奇函数．（1）求的值；（2）判断函数的单调性并证明．    变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知．（1）证明：在（2，+∞）单调递增；（2）解不等式：．    变式3．（2023春·山东济宁·高三校考阶段练习）已知，且（1）求实数的值；（2）判断此函数的奇偶性并证明；（3）判断此函数在的单调性（无需证明）．    【方法技巧与总结】函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．题型二：复合函数单调性的判断例4．（2023·全国·高三专题练习）函数 的单调递减区间为（    ）A． B．C． D． 例5．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间为（    ）A． B．C． D． 例6．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（    ）A． B．C． D． 变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ）A． B． C． D． 【方法技巧与总结】讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：1、若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数；2、若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下：增增增增减减减增减减减增复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．题型三：利用函数单调性求函数最值例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的最大值为______． 例8．（2023春·上海浦东新·高三上海市实验学校校考阶段练习）函数在上的值域为________． 例9．（2023·全国·高三专题练习）已知设，则函数的最大值是（    ）A． B．1 C．2 D．3 变式5．（2023·全国·高三专题练习）函数y＝在[2，3]上的最小值为（    ）A．2 B．C． D．－ 【方法技巧与总结】利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：1、如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值．2、如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值．3、若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值．4、若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是．5、若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是．题型四：利用函数单调性求参数的范围例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数y＝ax2－2x＋3在[2，＋∞）上是减函数，则实数a的取值范围是________． 例11．（2023·全国·高三专题练习）函数在上单调递减，则实数的取值范围是________． 例12．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上是严格增函数，则实数a的取值范围是_________． 变式6．（2023·全国·高三专题练习）若函数是上的单调函数，则的取值范围（    ）A． B． C． D． 【方法技巧与总结】若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解．1、若在上恒成立在上的最大值．2、若在上恒成立在上的最小值．题型五：基本初等函数的单调性例13．（2022·全国·高三阶段练习（文））下列函数在上单调递减的是（       ）A． B．C． D． 例14．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，定义域是且为增函数的是A． B． C． D． 例15．（2022·全国·高三专题练习）已知是奇函数，且对任意且都成立，设， ， ，则（       ）A． B． C． D． 【方法技巧与总结】1、比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决．2、求复合函数单调区间的一般步骤为：①求函数定义域；②求简单函数单调区间；③求复合函数单调区间（同增异减）．3、利用函数单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数图像或单调性定义，确定函数单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数．同时注意函数定义域的限制，遇到分段函数注意分点左右端点函数值的大小关系．题型六：函数的奇偶性的判断与证明例16．（2023·全国·高三专题练习）函数．（1）判断并证明函数的单调性；（2）判断并证明函数的奇偶性；（3）解不等式．    例17．（2023春·北京·高三北京市第十二中学校考阶段练习）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（    ）．A． B．C． D． 例18．（2023·广东·高三统考学业考试）下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（    ）A．  B． C．y=|x| D． 【方法技巧与总结】函数单调性与奇偶性结合时，注意函数单调性和奇偶性的定义，以及奇偶函数图像的对称性．题型七：已知函数的奇偶性求参数例19．（2023·全国·高三专题练习）若函数，为奇函数，则参数a的值为___________． 例20．（2023·全国·高三专题练习）若函数是偶函数，则________． 例21．（2023·全国·高三专题练习）若函数的图象关于轴对称，则常数 _______． 变式7．（2023·全国·高三专题练习）若函数为定义域上的奇函数，则实数的值为______． 变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是偶函数，则常数的值为__． 变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在区间上的偶函数，则函数的值域为__________． 【方法技巧与总结】利用函数的奇偶性的定义转化为，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解．题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值例22．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的奇函数满足，当时，，则__________．例23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则函数在R上的解析式为___________．例24．（2023·全国·高三专题练习）已知是偶函数，当时，，则当时，_________．变式10．（2023·全国·高三专题练习）若定义在R上的偶函数和奇函数满足，则的解析式为___________．变式11．（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（    ）A． B． C． D．变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知为奇函数，当时，，则当时，（    ）A． B．C． D．【方法技巧与总结】抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式．题型九：已知奇函数+M例25．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知函数，若，则（    ）A． B． C． D．例26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若，则（    ）A．2 B．1 C．－2 D．－5例27．（2023·全国·高三专题练习）已知，设函数，，，若的最大值为M，最小值为m，那么M和m的值可能为（    ）A．4与3 B．3与1 C．5和2 D．7与4变式13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）=2+的最大值为M，最小值为m，则M+m的值等于（    ）A．2 B．4 C．2+ D．4+【方法技巧与总结】已知奇函数+M，，则（1）（2）题型十：已知由函数奇偶性解不等式例28．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的奇函数在上单调递增，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．例29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为______．例30．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上是减函数，，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，且，则实数的取值范围为（    ）A． B．C． D．变式15．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的偶函数在区间上单调递增，若，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．变式16．（2023·全国·高三专题练习）定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．【方法技巧与总结】画图，数形结合．题型十一：函数的对称性与周期性例31．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知定义域是R的函数满足：，，为偶函数，，则（    ）A．1 B．-1 C．2 D．-3例32．（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在上的偶函数，且，若当时，，则（    ）A．0 B．1C．6 D．216例33．（2023·全国·高三专题练习）设定义在上的奇函数，满足对任意的都有，且当时，，则的值等于（    ）A． B． C． D．变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知，，当时，为增函数．设，，，则、、的大小关系是（    ）A． B．C． D．变式18．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的函数满足．若的图象关于直线对称，则下列选项中一定成立的是（    ）A． B． C． D．变式19．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足：关于中心对称，关于对称，且．则下列选项中说法正确的有（    ）A．为奇函数 B．周期为2C． D．是奇函数【方法技巧与总结】（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且．题型十二：函数性质的综合例34．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则__________．例35．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，①，②，请写出一个同时满足条件①②的函数的解析式为______．例36．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知为偶函数，且为奇函数，若，则（    ）A． B． C． D．变式20．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在R上的偶函数，且对任意，有，当时，，则（    ）A．是以2为周期的周期函数B．点是函数的一个对称中心C．D．函数有3个零点【方法技巧与总结】（1）奇偶性与单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数（或轴对称函数）与单调性综合解不等式和比较大小．（2）奇偶性、单调性、周期性综合解题，尤其要注意对称性与周期性之间的关系，周期是两条对称轴（或对称中心）之间距离的2倍，是对称中心与对称轴之间距离的4倍．【过关测试】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）若偶函数在上是增函数，则（    ）A． B．C． D．2．（2023春·陕西西安·高三统考期末）下列函数中，既是奇函数，又是减函数的是（    ）A． B． C． D．3．（2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域为，则函数与函数的图象关于（    ）A．直线对称 B．直线对称C．直线对称 D．直线对称4．（2023·全国·高三专题练习）设，已知函数是定义在上的减函数，且，则a的取值范围是（    ）A． B． C． D．5．（2023春·广东茂名·高三统考阶段练习）已知是奇函数，则（    ）A．1 B． C． D．6．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，既是偶函数又在上不单调的是（    ）A． B． C． D．7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，则（    ）A．1 B．2 C． D．8．（2023·全国·高三专题练习）关于函数的单调性的说法正确的是（    ）A．在上是增函数 B．在上是减函数C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数9．（2023·全国·高三专题练习）已知是上的偶函数，当时，，则时，（    ）A． B．C． D．10．（2023·全国·高三专题练习）设是定义在上的周期为3的函数，当时，，则（　　）A．﹣1 B．1 C． D．二、多选题11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（    ）A．是奇函数 B．是奇函数C．是偶函数 D．是偶函数12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，下面说法正确的有（　　）A．的图象关于原点对称B．的图象关于y轴对称C．的值域为D．，且，13．（2023·全国·高三专题练习）（多选）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（    ）A． B．  C．  D． 14．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的奇函数的图象连续不断，且满足，则以下结论成立的是（    ）A．函数的周期B． C．点是函数图象的一个对称中心D．在上有4个零点15．（2023·全国·高三专题练习）下面关于函数的性质，说法正确的是（    ）A．的定义域为 B．的值域为C．在定义域上单调递减 D．点是图象的对称中心三、填空题16．（2023春·北京大兴·高三校考阶段练习）设是定义在R上的奇函数．若当时，，则______________．17．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的偶函数满足，则的一个解析式为___________．18．（2023·全国·高三专题练习）函数y＝log5(x2＋2x－3)的单调递增区间是______．19．（2023·上海·高三专题练习）已知是奇函数，且当时，若，则_______.20．（2023·河南信阳·高三统考阶段练习）已知直线分别与函数和的图象交于点，，则_________．21．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的奇函数满足，当时，，则的值为___________.22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，则_________.23．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足，则___________.24．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足：对任意的，都有，且当时，，则__．25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，对任意都有，且，下列结论正确的是____.(填序号)①的图像关于直线对称；②的图像关于点对称；③的最小正周期为4；④为偶函数．26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则__________.27．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，满足，且当时，，则的值为_________.四、解答题28．（2023·全国·高三专题练习）判断函数的奇偶性.    29．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的单调增函数满足：对任意都有成立(1)求的值；(2)求证：为奇函数；(3)若对恒成立，求的取值范围．    30．（2023·全国·高三专题练习）若定义在 R 上的偶函数和奇函数满足，求.    31．（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，．求时，函数的解析式；