2023高考数学艺体生一轮复习 专题08 幂函数与二次函数（原卷版）

专题08 幂函数与二次函数

【题型归纳目录】

题型一：幂函数的定义及其图像

题型二：幂函数性质的综合应用

题型三：二次方程的实根分布及条件

题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题

【考点预测】

1、幂函数的定义

一般地，（为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数．

2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数

①的系数为1；  ②的底数是自变量； ③指数为常数．

（3）幂函数的图象和性质

3、常见的幂函数图像及性质：

4、二次函数解析式的三种形式

（1）一般式：；

（2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程．

（3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标．

5、二次函数的图像

二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为．

（1）单调性与最值

①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，；．

（2）与轴相交的弦长

当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，．

6、二次函数在闭区间上的最值

闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处．

对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令：

（1）若，则；

（2）若，则；

（3）若，则；

（4）若，则．

【方法技巧与总结】

1、幂函数在第一象限内图象的画法如下：

①当时，其图象可类似画出；

②当时，其图象可类似画出；

③当时，其图象可类似画出．

2、实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系

（1）方程有两个不等正根

（2）方程有两个不等负根

（3）方程有一正根和一负根，设两根为

3、一元二次方程的根的分布问题

一般情况下需要从以下4个方面考虑：

（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负．

设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示．

4、有关二次函数的问题，关键是利用图像．

（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴．即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论．

（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负．

【典例例题】

题型一：幂函数的定义及其图像

【方法技巧与总结】

确定幂函数的定义域，当为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负．当时，底数是非零的．

例1．（2023·全国·高三专题练习）已知为幂函数， 且， 则（    ）

A． B． C． D．

例2．（2023·全国·高三专题练习）当时，幂函数为减函数，则实数m的值为（   ）

A． B．

C．或 D．

例3．（2023·全国·高三专题练习）现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

变式1．（2023·全国·高三专题练习）幂函数在上为增函数，则实数的值为（    ）

A． B．0或2 C．0 D．2

变式2．（2023·全国·高三专题练习）幂函数y＝（m∈Z）的图象如图所示，则实数m的值为________.

题型二：幂函数性质的综合应用

【方法技巧与总结】

紧扣幂函数的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意为奇数时，为奇函数，为偶数时，为偶函数．

例4．（2023·全国·高三专题练习）设，则使函数的定义域为，且该函数为奇函数的值为（    ）

A．或 B．或 C．或 D．、或

例5．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，定义域与值域均为R的是（    ）

A． B． C． D．

例6．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数的图像过点，则 的值域是（   ）

A． B．

C． D．

变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数的图像关于y轴对称．

(1)求的解析式；

(2)求函数在上的值域．

变式4．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列结论中正确的是（    ）

A．幂函数的图像都经过点，

B．幂函数的图像不经过第四象限

C．当指数取1，3，时，幂函数是增函数

D．当时，幂函数在其整个定义域上是减函数

变式5．（2023·上海·高三专题练习）已知，若幂函数为奇函数，且在上是严格减函数，则取值的集合是______．

变式6．（2023·全国·高三专题练习）函数是幂函数，对任意，，且，满足，若，，且，则的值：

①恒大于0；②恒小于0；③等于0；④无法判断．

上述结论正确的是__（填序号）．

变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则_______．

题型三：二次方程的实根分布及条件

【方法技巧与总结】

结合二次函数的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围．

例7．（2023·全国·高三专题练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为______．

例8．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的方程的一根大于－1，另一根小于－1，则实数k的取值范围为______．

例9．（2023·全国·高三专题练习）已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则实数a的取值范围为________．

变式8．（2023春·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第三高级中学校考阶段练习）已知关于的二次方程有一正数根和一负数根，则实数的取值范围是_____．

变式9．（2023春·上海宝山·高三上海市行知中学校考阶段练习）已知关于的方程有两个实数根，且一根小于，一根大于，则实数的取值范围为______．

变式10．（2023·上海·高三专题练习）当_________.时，方程只有正根.

题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题

【方法技巧与总结】

“动轴定区间 ”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法：

（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；

（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；

（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果．

例10．（2023春·四川遂宁·高三校考阶段练习）已知函数

(1)若函数在上单调，求的取值范围：

(2)是否存在实数，使得函数在区间上的最小值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

例11．（2023春·上海杨浦·高三统考期中）已知函数

(1)若关于x的不等式的解集为，求实数a和b的值；

(2)若函数在上的最大值为2，求实数a的值．

例12．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知幂函数是偶函数．

(1)求函数的解析式；

(2)函数，，若的最大值为15，求实数a的值．

变式11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．

(1)若，求在上的最大值和最小值；

(2)若在为单调函数，求的值；

(3)在区间上的最大值为4，求实数的值．

变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．

(1)当时，写出函数的单调区间和值域（不用写过程）；

(2)求的最小值的表达式．

变式13．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数满足且，．

(1)求的解析式．

(2)设函数，．

(ⅰ)若在上具有单调性，求的取值范围；

(ⅱ)讨论在上的最小值．

【过关测试】

一、单选题

1．（2023·甘肃平凉·静宁县第一中学校考一模）关于x方程在内恰有一解，则（    ）

A． B． C． D．

2．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考开学考试）关于的方程的两根都大于2，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

3．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）若方程的两实根中一个小于，另一个大于2，则 的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

4．（2023·全国·高三专题练习）幂函数在x（0，+∞）上是减函数，则m＝（    ）

A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．1

5．（2023·全国·高三专题练习）幂函数的图象关于轴对称，且在上是增函数，则的值为（    ）

A． B． C． D．和

6．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数的图象经过点，则的值等于（    ）

A． B．4 C．8 D．

7．（2023·全国·高三专题练习）“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数为偶函数，则实数的值为（    ）

A．3 B．2 C．1 D．1或2

二、多选题

9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则下列结论中错误的是（    ）

A．的值域为 B．的图象与直线有两个交点

C．是单调函数 D．是偶函数

10．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的有（    ）

A．函数是偶函数 B．函数是增函数

C．当时， D．当时，

三、填空题

11．（2023·全国·高三专题练习）（1）函数的定义域是________，值域是________；

（2）函数的定义域是________，值域是________；

（3）函数的定义域是________，值域是________；

（4）函数的定义域是________，值域是________．

12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是幂函数，则的值为_____．

13．（2023·全国·高三专题练习）若幂函数的图像关于y轴对称，则实数______．

14．（2023·全国·高三专题练习）写出一个在区间上单调递减的幂函数__________.

15．（2023·全国·高三专题练习）写出一个同时具有下列性质①②③的函数______．

①；

②当时，；

③；

16．（2023·全国·高三专题练习）幂函数在上单调递增，在上单调递减，能够使是奇函数的一组整数m，n的值依次是__________．

17．（2023·全国·高三专题练习）已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个公共点，则实数的取值范围是________.

18．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数的图象如图所示，则______．（写出一个正确结果即可）

19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图像关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述条件的幂函数可以为______．

四、解答题

20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.

(1)若，求不等式的解集；

(2)已知在上单调递增，求的取值范围；

(3)求在上的最小值.

21．（2023·全国·高三专题练习）若函数y=f(x)=x2-6x+10在区间[0，a]上的最小值是2，求实数a的值.

22．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数在上单调递增，函数.

(1)求的值；

(2)当时，记的值域分别为集合，若，求实数的取值范围.

23．（2023春·福建莆田·高三莆田第二十五中学校考期中）已知幂函数在上是减函数，．

(1)求的解析式；

(2)若， 求的取值范围．

24．（2023春·福建·高三校联考阶段练习）已知幂函数在上是减函数.

(1)求的解析式；

(2)若，求的取值范围.