2023高考数学艺体生一轮复习 专题16 极值与最值（解析版）

这是一份2023高考数学艺体生一轮复习 专题16 极值与最值（解析版），共30页。
专题16 极值与最值 【题型归纳目录】题型一：求函数的极值与极值点题型二：根据极值、极值点求参数题型三：求函数的最值题型四：根据最值求参数题型五：函数单调性、极值、最值得综合应用题型六：不等式恒成立与存在性问题【考点预测】知识点一：极值与最值1、函数的极值函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．求可导函数极值的一般步骤（1）先确定函数的定义域；（2）求导数；（3）求方程的根；（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值.注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号.②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点.2、函数的最值函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．导函数为（1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．（2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：（1）求在内的极值（极大值或极小值）；（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.【方法技巧与总结】（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则不等式在区间D上恒成立．不等式在区间D上恒成立．（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解不等式在区间D上有解（5）对于任意的，总存在，使得；（6）对于任意的，总存在，使得；（7）若存在，对于任意的，使得；（8）若存在，对于任意的，使得；（9）对于任意的，使得；（10）对于任意的，使得；（11）若存在，总存在，使得（12）若存在，总存在，使得．【典例例题】题型一：求函数的极值与极值点【方法技巧与总结】1、因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．2、原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．例1．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ）A．B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值D．函数的最小值为【答案】C【解析】由题图可知，当时，，所以函数在上单调递增，又a<b<c，所以，故A不正确．因为，，且当时，；当c<x<e时，；当x>e时，．所以函数在x＝c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确．由题图可知，当时，，所以函数在[d，e]上单调递减，从而，所以D不正确．故选：C．例2．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（       ）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】A【解析】由导函数在区间内的图象可知，函数在内的图象与轴有四个公共点，在从左到右第一个交点处导数左正右负，它是极大值点；在从左到右第二个交点处导数左负右正，它是极小值点；在从左到右第三个交点处导数左正右正，它不是极值点；在从左到右第四个交点处导数左正右负，它是极大值点.所以函数在开区间内的极小值点有个.故选：A.例3．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为R，导函数的图象如图所示，则函数（    ）A．无极大值点、有四个极小值点B．有三个极大值点、一个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点【答案】C【解析】设的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为，当或或时，，当或时，，所以函数在，和上递增，在和上递减，所以函数的极小值点为，极大值点为，所以函数有两个极大值点、两个极小值点.故选：C．变式1．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，其导函数的图像如图所示，则函数极值点的个数为（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】如图所示，设导函数的图象与轴的交点分别为，根据函数的极值的定义可知在该点处的左右两侧的导数符号相反，可得为函数的极大值点，为函数的极小值点，所以函数极值点的个数为4个.故选：C.变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为(a，b)，导函数在(a，b)上的图象如图所示，则函数在(a，b)上的极大值点的个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由函数极值的定义和导函数的图象可知，在(a，b)上与x轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故x＝0不是函数f(x)的极值点．其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个．故选：B变式3．（2023·全国·高三专题练习）设函数．(1)求在处的切线方程；(2)求的极大值点与极小值点；(3)求在区间上的最大值与最小值．【解析】（1）由题意得：，则，又，在处的切线方程为，即；（2）令，解得：或，则变化情况如下表：极小值极大值的极小值点为，极大值点为；（3）由（2）知：在上单调递减，在上单调递增；又，，，，.变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在与时，都取得极值．(1)求，的值；(2)若，求的单调增区间和极值．【解析】（1），由条件可知和，即，解得：，， 所以，检验： 单调递增极大值单调递减极小值单调递增经检验与时，都取得极值，满足条件，所以，；（2），解得：，所以 单调递增极大值单调递减极小值单调递增有表可知，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，函数的极大值是，函数的极小值是.变式5．（2023·全国·高三专题练习）设的导数满足，其中常数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，求函数的极值.【解析】（1）.令，得，① 令，得，②解方程组①②得. 因此，，又，故曲线在点处的切线方程为，即. （2）由（1）知，从而有，令，则或，  ∵当时，，当时，，当时，，    在时取极小值，在时取极大值题型二：根据极值、极值点求参数例4．（2023·全国·高三专题练习）已知没有极值，则实数的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】；在上没有极值，，即，解得：，即实数的取值范围为.故选：C.例5．（2023·全国·高三专题练习）若函数在处有极值10，则（    ）A．6 B． C．或15 D．6或【答案】B【解析】 ， 又 时 有极值10 ，解得 或 当 时， 此时 在 处无极值，不符合题意经检验， 时满足题意 故选：B例6．（2023·全国·高三专题练习）已知，函数的极小值为，则（    ）A． B．1 C． D．【答案】C【解析】，则在和上单调递减，在上单调递增，所以，则，则．故选：C变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是（    ）A．[0，1] B．(－∞，0]∪[1，＋∞) C．[0，2] D．(－∞，0]∪[2，＋∞)【答案】C【解析】由得，根据题意得，解得．故选：C变式7．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内有极小值，则的取值范围是（　　）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，得，当时，在上恒成立，所以在上递增，函数无极值，所以，令，则x＝±，∵函数在（，）上，函数递减，在（，+∞）上，函数递增∴x时，函数取得极小值∵函数在区间（0，1）内有极小值，∴01，∴b∈（0，1）故选：B．变式8．（2023·全国·高三专题练习）若函数=有大于零的极值点，则的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】原命题等价于有大于零的零点，显然在上单调递增，又因为时，，所以，所以故选：A.变式9．（2023·全国·高三专题练习）若函数在上存在唯一极值点，则实数a的取值范围为（     ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意知：，若函数在上存在唯一极值点，则，即，解得.故选：B.变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】对原函数求导得，，因为函数有两个极值点，所以有两个不等实根，即有两个不等实根，亦即有两个不等实根.令，则可知在上单调递增，在上单调递减，所以，又因为当时，，当时，，所以，解得，即a的范围是.故选：B题型三：求函数的最值例7．（2023·全国·高三专题练习）函数在区间上的最小值为__________．【答案】【解析】因为，所以，令，得，当时，，当时，，所以当时，取得极小值，又，所以在区间上的最小值为，故答案为：例8．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为______．【答案】0【解析】函数的定义域为．当时，，此时函数在上为减函数，当时，，则，所以在上单调递增，在上是连续函数，当时，单调递减，当时，单调递增．当时取得最小值为．故答案为：0．例9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则在上的最大值是__________．【答案】【解析】由题意可知，，，．当时，，函数在区间上单调递增，则．故答案为：变式11．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为_________.【答案】【解析】当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，的最小值为.变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是的一个极值点．(1)求b的值；(2)当时，求函数的最大值．【解析】（1），∵是的一个极值点，∴解得．经检验，满足题意．（2）由（1）知：，则．令，解得或x12 +0-0+ 递增递减递增∵，∴函数的最大值为题型四：根据最值求参数例10．（2023·广西·统考模拟预测）已知函数存在最大值0，则的值为（    ）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】因为，，所以当时，恒成立，故函数单调递增，不存在最大值；当时，令，得出，所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以，解得：.故选：B.例11．（2023·全国·高三专题练习）当时，函数取得最大值，则（    ）A． B． C． D．1【答案】B【解析】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．故选：B.例12．（2023·全国·高三专题练习）函数在上的最大值为4，则的值为（    ）A．7 B． C．3 D．4【答案】D【解析】∵，∴∴ 导数在时，，单调递减；导数在时，，单调递增；∵ ，，∴在处取得最大值为，即，故选：D.变式13．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内既存在最大值也存在最小值，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得或，可以判断在处取得极小值，在处取得极大值.令，得或，令，得或，由题意知函数在开区间内的最大、最小值只能在和处取得，结合函数的图象可得：，解得， 故的取值范围是.故选：A题型五：函数单调性、极值、最值得综合应用例13．（2023·黑龙江大庆·校联考模拟预测）如图是函数的导函数的图象，下列结论中正确的是（    ）A．在上是增函数 B．当时，取得最小值C．当时，取得极大值 D．在上是增函数，在上是减函数【答案】D【解析】根据图象知：当，时，函数单调递减；当，时，函数单调递增.所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故选项A不正确，选项D正确；故当时，取得极小值，选项C不正确；当时，不是取得最小值，选项B不正确；故选：D.例14．（2023·全国·高三专题练习）函数的图像在点处的切线恰好经过点．(1)求；(2)已知函数在其定义域内单调递增，求的取值范围．【解析】（1）由题可知 ，则 ，又，所以函数的图像在点处的切线方程为，即，因为点在切线上，所以，解得；（2）由已知可得 在上恒成立，所以，即，当且仅当 时等号成立，所以的取值范围为；综上，a=-1，的取值范围为.例15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，是的一个极值点．(1)求实数a的值；(2)求在区间上的最大值和最小值．【解析】（1）∵在处有极值，∴，∵，∴，∴，经检验，当时，是的极值点，∴．（2）由（1）知，∴，，令，得，，当x变化时，的变化情况如下表：x－3024 －0＋0－ 5515－15从上表可知:在区间上的最大值是55，最小值是-15．变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在处有极值.（1）求的值；（2）求函数在上的最大值与最小值.【解析】（1）由题可知，，的定义域为，，由于在处有极值，则，即，解得：，，（2）由（1）可知，其定义域是，，令，而，解得，由，得；由，得，则在区间上，，，的变化情况表如下：12 0 单调递减单调递增可得，，，由于，则，所以，函数在区间上的最大值为，最小值为.题型六：不等式恒成立与存在性问题【方法技巧与总结】在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数．例16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中．(1)讨论的单调性；(2)若，，求的最大值．【解析】（1），当时，当恒成立，在上单调递增；当时，令，得，令，得，在上单调递增，在上单调递减，综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．（2）依题意得对任意恒成立，即对任意恒成立，令，则，令，则在上单调递增，，当时，，即；当时，，即，在上单调递减，在上单调递增，，，故的最大值为．例17．（2023·全国·高三专题练习）若函数，满足恒成立，则的最大值为（    ）A．3 B．4 C． D．【答案】C【解析】因为，满足恒成立，所以，令，则，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以的最大值为，故选：C.例18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若，恒成立，则实数k的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在上的最大值是．，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以在上的最小值是，若，，恒成立，则，即，所以，所以实数k的取值范围是．故选:D．变式15．（2023·全国·高三专题练习）若对任意的，且，都有成立，则实数m的最小值是（    ）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】由，且，可得，则等价于，即，所以，故，令，则，因为，所以在上为单调递减函数，又由，解得，所以，所以实数的最小值为.故选：D.【过关测试】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）设直线与函数，的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（　　）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】设函数，求导数得因为，故当时，，函数在上为单调减函数，当时，，函数在上为单调增函数所以x为的极小值点.故当|MN|达到最小时t的值为．故选：B．2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（       ）A．是的极小值点 B．是的极小值点C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零【答案】D【解析】由图像知，当或时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在区间，内单调递增，在区间内单调递减，是的极大值点，3是的极小值点，故ABC错误；又因为，所以曲线在处切线斜率小于零，故D正确.故选：D.3．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中存在极值点的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】对选项A，，故没有极值点；对选项B，，则极值点为，故正确；对选项C，，故没有极值点；对选项D，，故没有极值点；故选：B4．（2023·全国·高三专题练习）函数的极值点的个数是（    ）A． B． C． D．无数个【答案】A【解析】由题，，故无极值点故选：A5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，下列说法正确的是（    ）A．函数在上递增 B．函数无极小值C．函数只有一个极大值 D．函数在上最大值为3【答案】C【解析】因为定义域为，所以，所以当或时，当时，所以在上单调递减，在和上单调递增，所以在处取得极大值，在处取得极小值，即，，又，，故函数在上最大值为；故选：C6．（2023·全国·高三专题练习）当时，函数取得最小值，则（    ）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】，当时，；当时，．所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值．故选：A.7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，a为实数，，则在上的最大值是（    ）A． B．1 C． D．【答案】A【解析】，，，，，，令，则或，当或时，，即函数在和上单调递增；当时，，函数在上单调递减；所以在处取得极大值，在处取得极小值，又，，故函数在区间上的最大值为，故选：A．8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】若在上恒成立，则在上恒成立等价于在上恒成立，令，则，令，解得，令，解得，故在上单调递减，在上单调递增，故，故.故选：B.二、多选题9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（e为自然对数的底数，），则关于函数，下列结论正确的是（    ）A．有2个零点 B．有2个极值点 C．在单调递增 D．最小值为1【答案】BC【解析】定义域为R，，令得：或1，当时，，当时，，如下表：01-0+0-递减极小值1递增极大值递减从而判断出函数有两个极值点，在上单调递增，BC正确， 由于恒成立，所以函数无零点，A错误，当时，，故函数无最小值，D错误；.故选：BC10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则（    ）A．在上单调递增B．是的极大值点C．有三个零点D．在上最大值是【答案】BCD【解析】因为所以，令，解得或，与随的变化情况如下表：200极大值极小值因此函数在，上单调递增，在上单调递减，故错误；是的极大值点，故正确；因为，，，，由函数的单调性及零点存在性定理可知有三个零点，故正确；当的定义域为时，在，上单调递减，在，上单调递增，又， ，所以在，上的最大值是4，故正确．故选：．11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）A． B．C．时，取得最大值 D．时，取得最小值【答案】AB【解析】由图象可知：当时，；当时，；在，上单调递增，在上单调递减；对于A，，，A正确；对于B，，，B正确；对于C，由单调性知为极大值，当时，可能存在，C错误；对于D，由单调性知，D错误.故选：AB.12．（2023·全国·高三专题练习）【多选题】已知函数，则（    ）A．时，的图象位于轴下方B．有且仅有一个极值点C．有且仅有两个极值点D．在区间上有最大值【答案】AB【解析】由题，函数 满足 ，故函数的定义域为由 当 时 ，所以则的图象都在轴的下方，所以A正确；又，再令 则 ，故 故单调递增，当时，由，故存在唯一的，使得，此时当,，单调递减，当，单调递增.又当时，，故此时恒成立，即单调递减，综上函数只有极值点且为极小值点，所以B正确，C不正确；又 所以函数在先减后增，没有最大值，所以D不正确.故选：AB.三、填空题13．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为______.【答案】1【解析】由题设知：定义域为，∴当时，，此时单调递减；当时，，有，此时单调递减；当时，，有，此时单调递增；又在各分段的界点处连续，∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；∴故答案为：1.14．（2023·全国·高三专题练习）函数在上无极值，则m＝______．【答案】3【解析】函数在上无极值即导函数在上无根．在上恒有 ①；而，当时，①式解为或；显然时，①式不成立；当时，①式解为或；显然时，①式不成立；当m－1＝2时，①式解为x＝2，m＝3．故答案为：3．15．（2023·全国·高三专题练习）若函数在处取得极值，则____________．【答案】【解析】，因为函数在处取得极值，所以，，解得，此时，，故当时，，单调递减；当和时，，单调递增；所以，函数在处取得极小值，满足题意，所以，所以故答案为：16．（2023·全国·高三专题练习）若函数在处取极值，则__________．【答案】【解析】，又在处取极值，，；当时，，，则当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，在处取极值，满足题意；.故答案为：.四、解答题17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在处有极值．(1)求，的值；(2)求函数在区间上的最大值．【解析】(1)因为函数在处有极值，且，所以，解得.(2)由（1）得：， ，令，得，令，得或，故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故的最大值是或，而，故函数的最大值是2．18．（2023·上海·高三专题练习）设，函数.(1)若函数为奇函数，求实数a的值；(2)若函数在处取得极小值，求实数a的值.【解析】（1）由已知，得，，，∵为奇函数，∴，，即，∴；（2），当x变化时，的变化情况如下表：xa+0-0+极大值极小值∴，∴.19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)若在处取得极值，求的单调区间及其最大值与最小值．【解析】（1）当时，定义域为，，，，故在点处的切线方程为：，即；（2）由题意得：，，故，此时，经检验，符合要求，，令时，，，令得：或，令得：，的单调递增区间为，，单调递减区间为；又当时，恒成立，当时，恒成立，故，，即最大值为，最小值为.20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.(1)求的值及在上的解析式；(2)若在区间上有极值，求的取值范围.【解析】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，取得，即，所以，所以时.设，则，所以，又，所以，所以.（2）由可知在处取得极值，所以或，解得或，即，所以的取值范围是.