2023高考数学艺体生一轮复习 专题16 极值与最值（原卷版）

专题16 极值与最值

【题型归纳目录】

题型一：求函数的极值与极值点

题型二：根据极值、极值点求参数

题型三：求函数的最值

题型四：根据最值求参数

题型五：函数单调性、极值、最值得综合应用

题型六：不等式恒成立与存在性问题

【考点预测】

知识点一：极值与最值

1、函数的极值

函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．

求可导函数极值的一般步骤

（1）先确定函数的定义域；

（2）求导数；

（3）求方程的根；

（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值.

注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号.

②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点.

2、函数的最值

函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．

导函数为

（1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．

（2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．

一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：

（1）求在内的极值（极大值或极小值）；

（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．

注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；

②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；

③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.

【方法技巧与总结】

（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则

不等式在区间D上恒成立；

不等式在区间D上恒成立；

不等式在区间D上恒成立；

不等式在区间D上恒成立；

（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则

不等式在区间D上恒成立．

不等式在区间D上恒成立．

（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：

不等式在区间D上有解；

不等式在区间D上有解；

不等式在区间D上有解；

不等式在区间D上有解；

（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：

不等式在区间D上有解

不等式在区间D上有解

（5）对于任意的，总存在，使得；

（6）对于任意的，总存在，使得；

（7）若存在，对于任意的，使得；

（8）若存在，对于任意的，使得；

（9）对于任意的，使得；

（10）对于任意的，使得；

（11）若存在，总存在，使得

（12）若存在，总存在，使得．

【典例例题】

题型一：求函数的极值与极值点

【方法技巧与总结】

1、因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．

2、原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．

例1．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ）

A．

B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值

C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值

D．函数的最小值为

例2．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（       ）

A．个 B．个 C．个 D．个

例3．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为R，导函数的图象如图所示，则函数（    ）

A．无极大值点、有四个极小值点

B．有三个极大值点、一个极小值点

C．有两个极大值点、两个极小值点

D．有四个极大值点、无极小值点

变式1．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，其导函数的图像如图所示，则函数极值点的个数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为(a，b)，导函数在(a，b)上的图象如图所示，则函数在(a，b)上的极大值点的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

变式3．（2023·全国·高三专题练习）设函数．

(1)求在处的切线方程；

(2)求的极大值点与极小值点；

(3)求在区间上的最大值与最小值．

变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在与时，都取得极值．

(1)求，的值；

(2)若，求的单调增区间和极值．

变式5．（2023·全国·高三专题练习）设的导数满足，其中常数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）设，求函数的极值.

题型二：根据极值、极值点求参数

例4．（2023·全国·高三专题练习）已知没有极值，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

例5．（2023·全国·高三专题练习）若函数在处有极值10，则（    ）

A．6 B． C．或15 D．6或

例6．（2023·全国·高三专题练习）已知，函数的极小值为，则（    ）

A． B．1 C． D．

变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是（    ）

A．[0，1] B．(－∞，0]∪[1，＋∞) C．[0，2] D．(－∞，0]∪[2，＋∞)

变式7．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内有极小值，则的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

变式8．（2023·全国·高三专题练习）若函数=有大于零的极值点，则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

变式9．（2023·全国·高三专题练习）若函数在上存在唯一极值点，则实数a的取值范围为（     ）

A． B． C． D．

变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

题型三：求函数的最值

例7．（2023·全国·高三专题练习）函数在区间上的最小值为__________．

例8．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为______．

例9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则在上的最大值是__________．

变式11．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为_________.

变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是的一个极值点．

(1)求b的值；

(2)当时，求函数的最大值．

题型四：根据最值求参数

例10．（2023·广西·统考模拟预测）已知函数存在最大值0，则的值为（    ）

A． B． C．1 D．

例11．（2023·全国·高三专题练习）当时，函数取得最大值，则（    ）

A． B． C． D．1

例12．（2023·全国·高三专题练习）函数在上的最大值为4，则的值为（    ）

A．7 B． C．3 D．4

变式13．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内既存在最大值也存在最小值，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

题型五：函数单调性、极值、最值得综合应用

例13．（2023·黑龙江大庆·校联考模拟预测）如图是函数的导函数的图象，下列结论中正确的是（    ）

A．在上是增函数 B．当时，取得最小值

C．当时，取得极大值 D．在上是增函数，在上是减函数

例14．（2023·全国·高三专题练习）函数的图像在点处的切线恰好经过点．

(1)求；

(2)已知函数在其定义域内单调递增，求的取值范围．

例15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，是的一个极值点．

(1)求实数a的值；

(2)求在区间上的最大值和最小值．

变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在处有极值.

（1）求的值；

（2）求函数在上的最大值与最小值.

题型六：不等式恒成立与存在性问题

【方法技巧与总结】

在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数．

例16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中．

(1)讨论的单调性；

(2)若，，求的最大值．

例17．（2023·全国·高三专题练习）若函数，满足恒成立，则的最大值为（    ）

A．3 B．4 C． D．

例18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若，恒成立，则实数k的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

变式15．（2023·全国·高三专题练习）若对任意的，且，都有成立，则实数m的最小值是（    ）

A．1 B． C． D．

【过关测试】

一、单选题

1．（2023·全国·高三专题练习）设直线与函数，的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（　　）

A．1 B． C． D．

2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（       ）

A．是的极小值点 B．是的极小值点

C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零

3．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中存在极值点的是（    ）

A． B．

C． D．

4．（2023·全国·高三专题练习）函数的极值点的个数是（    ）

A． B． C． D．无数个

5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，下列说法正确的是（    ）

A．函数在上递增 B．函数无极小值

C．函数只有一个极大值 D．函数在上最大值为3

6．（2023·全国·高三专题练习）当时，函数取得最小值，则（    ）

A． B．1 C． D．2

7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，a为实数，，则在上的最大值是（    ）

A． B．1 C． D．

8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（e为自然对数的底数，），则关于函数，下列结论正确的是（    ）

A．有2个零点 B．有2个极值点 C．在单调递增 D．最小值为1

10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则（    ）

A．在上单调递增

B．是的极大值点

C．有三个零点

D．在上最大值是

11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．时，取得最大值 D．时，取得最小值

12．（2023·全国·高三专题练习）【多选题】已知函数，则（    ）

A．时，的图象位于轴下方

B．有且仅有一个极值点

C．有且仅有两个极值点

D．在区间上有最大值

三、填空题

13．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为______.

14．（2023·全国·高三专题练习）函数在上无极值，则m＝______．

15．（2023·全国·高三专题练习）若函数在处取得极值，则____________．

16．（2023·全国·高三专题练习）若函数在处取极值，则__________．

四、解答题

17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在处有极值．

(1)求，的值；

(2)求函数在区间上的最大值．

18．（2023·上海·高三专题练习）设，函数.

(1)若函数为奇函数，求实数a的值；

(2)若函数在处取得极小值，求实数a的值.

19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．

(1)若，求曲线在点处的切线方程；

(2)若在处取得极值，求的单调区间及其最大值与最小值．

20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.

(1)求的值及在上的解析式；

(2)若在区间上有极值，求的取值范围.