2023高考数学艺体生一轮复习 专题25 立体几何平行与垂直判断与证明问题（解析版）

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第25讲 立体几何平行与垂直判断与证明问题 【考点预测】1、证明空间中直线、平面的平行关系（1）证明直线与平面平行的常用方法：①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明；②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行.辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；（2）证明面面平行的常用方法：①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；②利用面面平行的判定定理；③利用两个平面垂直于同一条直线；④证明两个平面同时平行于第三个平面.（3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；2、证明空间中直线、平面的垂直关系（1）证明线线垂直的方法①等腰三角形底边上的中线是高；②勾股定理逆定理；③菱形对角线互相垂直；④直径所对的圆周角是直角；⑤向量的数量积为零；⑥线面垂直的性质（）；⑦平行线垂直直线的传递性（∥）.（2）证明线面垂直的方法①线面垂直的定义；②线面垂直的判定（）；③面面垂直的性质（）；平行线垂直平面的传递性（∥）；⑤面面垂直的性质（）.（3）证明面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理（）.【典例例题】例1．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列命题：①若，，则；    ②若，，，则；③若，，则；    ④若，，则.其中正确的命题个数为（    ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D【解析】对于命题①，若，过直线的平面与的交线满足，则，，，，则，命题①正确；对于命题②，若，，，则，命题②正确；对于命题③，若，，则或，或相交但不垂直，或，故③错误；对于命题④，根据面面垂直的判断定理可知，若，，则，命题④正确.故选：D.例2．（2023·山东滨州·高三统考期末）已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ）A．，，则B．，，，，则C．，，，则D．，，，则【答案】D【解析】对于A，，，则或，A错误；对于B，若，，，，则或相交，只有加上条件相交，结论才成立，B错误；对于C，，，无法得到，只有加上条件才能得出结论，C错误；对于D，，，则，又因为，所以，D正确.故选:D.例3．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）设是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中不正确的是（    ）A．若，则B．若，则C．若，，则D．若，则【答案】C【解析】对于A，根据基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行，故A正确；对于B，根据平面平行的传递性，若，则，故B正确；对于C，由，，当时，则，当时，则不一定垂直于，故C错误；对于D，由，设，且，又，则，又，所以，故D正确．故选：C．例4．（2023·高一课时练习）正方体中，、分别为、的中点，、分别是、的中点．(1)求证：E、F、B、D共面；(2)求证：平面平面．【解析】（1）连接，由题意可得：分别为的中点，则，∵，，则为平行四边形，∴，则，故E、F、B、D共面.（2）由题意可得：分别为的中点，则，∵，则，且平面，平面，∴平面，连接，由题意可得：分别为的中点，则，，∵，，则，，即为平行四边形，∴，平面，平面，∴平面，，平面，故平面平面.例5．（2023·全国·高二专题练习）在四棱锥中，底面，四边形为边长为的菱形，，，为中点，为的中点．(1)求证：直线平面；(2)求直线与所成角大小．【解析】（1）取AD的中点E，连接NE，ME，因为为中点，为的中点，所以，，因为平面PCD，平面PCD，所以平面PCD，同理可得平面PCD，因为，平面，所以平面平面PCD，因为平面MNE，所以直线平面；（2）连接AC，四边形为边长为的菱形，，所以，由余弦定理得：，因为，为中点，所以,因为底面，平面ABCD，所以PA⊥AC，PA⊥AD，所以，，因为，所以直线与所成的角或其补角为直线与所成的角，由余弦定理得：，故直线与所成角的大小为.例6．（2023·北京顺义·高二统考期末）如图，在三棱柱中，，且，底面，E为中点．(1)求证：；(2)求证：平面【解析】（1）底面且平面，，又且，平面，平面，又平面，（2）取的中点，连接，因为分别为的中点可知，，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，同理可得平面，又因为，平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面例7．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD．(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找一点F，使得PA//平面DEF？并证明你的结论．【解析】（1）在底面菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD边的中点，所以BG⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BG⊥平面PAD．（2）连接DE，EF，DF，设DE交AC于点H，连接HF因为PA//平面DEF，PA平面PAC，平面PAC平面DEF，所以；由于底面ABCD为菱形，为的中点，易证，所以，由PA//，可得，所以存在点为棱上靠近的三等分点，可使PA//平面DEF.例8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E为AD的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.【解析】（1）因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD，因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.（2）因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD，且PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以PD⊥平面PAB.又PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.例9．（2023·贵州铜仁·高三统考期末）如图，在直三棱柱中，，，，M，N分别是，的中点．(1)求证：；(2)求三棱锥的体积．【解析】（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以平面平面，且平面平面，因为，，且点是的中点，所以平面，又因为平面，所以；（2）三棱锥,由条件可知是等腰直角三角形，，所以，点到平面的距离，.例10．（2023春·重庆·高三统考开学考试）如图1，在平面四边形中，∥，，将沿翻折到的位置，使得平面⊥平面，如图2所示.(1)设平面与平面的交线为，求证：；【解析】（1）证明:延长相交于点，连接，则为平面与平面的交线，由平面⊥平面，，平面，且平面平面，所以平面，又由∥，所以平面，因为平面，所以，所以，【技能提升训练】一、单选题1．（2023·吉林长春·高三长春市第二中学校考期末）下列说法中正确的是（    ）A．若，，则B．若，，则C．平面内的三个顶点到平面的距离相等，则与平行D．若，，，则【答案】D【解析】对于A，若，，则与可能平行，可能异面，所以A错误，对于B，若，，则有可能，有可能，所以B错误，对于C，若平面内的三个顶点到平面的距离相等，则当三点在的同侧时，∥，∥，因为，，所以与平行，当三点在的两侧时，可得与相交，所以C错误，对于D，因为，，所以，因为，所以，所以D正确，故选：D2．（2023·河南郑州·高三校联考期末）已知在正方体中，交于点，则（    ）A．平面 B．平面C．平面 D．【答案】C【解析】作出图形如图所示，连接，因为，所以平面平面，故平面，其他三个选项易知是错误的.故选：C.二、多选题3．（2023·广东茂名·统考一模）已知空间中三条不同的直线a、b、c，三个不同的平面，则下列说法中正确的是（    ）A．若，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，则【答案】ACD【解析】对于A，，，则一定成立，A正确；对于B，如图，正方体两两相交的三个平面,平面,平面,平面平面，平面平面,平面平面，但不平行，故B错误；对于C，若，，则或，但，所以，C正确；对于D，，，则，D正确. 故选:ACD.4．（2023春·山西忻州·高三校联考开学考试）已知直线，两个不同的平面和，下列说法正确的是（    ）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】BC【解析】若，，则或，A错误；若，，则，B正确；若，，则由面面平行的性质可得，C正确；若，，则与平行或相交，D错误；故选：BC5．（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）已知m，n是空间中两条不同的直线，，β是两个不同的平面，Q是空间中的一个点，下列命题正确的是（    ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】CD【解析】对于A，若，直线m与平面可能相交，故A错误；对于B，若可知n上有一点在内，根据两点确定一条直线可知，n不一定在β内，故B错误；对于C，∵，故C正确：对于D，β，故D正确．故选:CD6．（2023·河北保定·高三统考期末）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中（    ）A．AB与CD平行 B．CD与GH是异面直线C．EF与GH成角 D．CD与EF平行【答案】CD【解析】该正方体的直观图如下：与是异面直线，故A错；与相交，故B错；因为该几何体为正方体，所以，三角形为正三角形，直线与直线所成角为，则与所成角为，故CD正确.故选：CD.7．（2023·福建龙岩·高三校联考期末）已知正方体中，M为的中点，则下列直线中与直线BM是异面直线的有（    ）A． B． C． D．【答案】AC【解析】显然，，BD错误；与与直线BM既不平行，也不相交，是异面直线，AC正确.故选：AC8．（2023·河北唐山·高三统考期末）已知是三条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的有（    ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】BD【解析】A选项，若，则可能异面，A选项错误.B选项，若，则，B选项正确.C选项，若，则可能相交，C选项正确.D选项，若，则，D选项正确.故选：BD9．（2023·山西晋城·高二校考期末）如图，在正方体中，下列结论正确的是（    ）A．平面 B．平面C．平面平面 D．平面平面【答案】ACD【解析】因为平面平面，所以平面，故A正确；与不垂直，则与不垂直，故平面不正确，故B错误；因为平面，平面，所以平面，同理平面，又，平面，所以平面平面，故C正确；正方体中，有平面，因为平面，则，又，，平面，可得平面，因为平面，从而平面平面，故D正确.故选：.三、填空题10．（2023·高三课时练习）已知a、b、c是空间中的三条直线，下列说法中错误的是______．（写出所有满足条件的说法序号）①若，，则；②若a与b相交，b与c相交，则a与c也相交；③若a、b分别在两个相交平面上，则这两条直线可能平行、相交或异面；④若a与c相交，b与c异面，则a与b异面．【答案】②④【解析】对于①：根据公理可得①正确.对于②如图：把直线看成直线，直线看成，直线看成可知，直线a与c异面，故②错误.对于③如图，可得③正确.对于④，如图选项②的图，把直线看成，直线看成，直线看成，所以直线相交，故④错误.故答案为：②④11．（2023·高一课时练习）下面四个正方体中，点A、B为正方体的两个顶点，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形序号是______．（写出所有符合条件的序号）【答案】①②【解析】对于①，如图1.因为点M、N、P分别为其所在棱的中点，所以，.又，所以.因为平面，平面，所以平面.同理可得平面.因为平面，平面，，所以平面平面.又平面，所以平面，故①正确；对于②，如图2，连结.因为点M、P分别为其所在棱的中点，所以.又，且，所以，四边形是平行四边形，所以，所以.因为平面，平面，所以平面，故②正确；对于③，如图3，连结、、.因为点M、N、P分别为其所在棱的中点，所以，.因为平面，平面，所以平面.同理可得平面.因为平面，平面，，所以平面平面.显然平面，平面，所以平面，且与平面不平行，所以与平面不平行，故③错误；对于④：如图4，连接，因为为所在棱的中点，则，故平面即为平面，由正方体可得，而平面平面，若平面，由平面可得，故，显然不正确，故④错误.故答案为：①②.四、解答题12．（2023·四川凉山·统考一模）如图，底面为等边三角形的直三棱柱中，，，为的中点．(1)当时，求证：平面；(2)求三棱锥的体积．【解析】（1）证明：，取中点，连接，，如图所示， ∵为的中点，∴且，又当时，则为的中点，又∵，且，∴，且，∴，且，∴四边形为平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴平面．（2）由题意知，在等边中，D为BC中点，则，，又∵，∴，∵，平面，平面，∴平面，又∵，∴，即三棱锥的体积为．13．（2023·辽宁沈阳·高二学业考试）已知在四棱锥中，底面，且底面是正方形，F、G分别为和的中点.(1)求证：平面；(2)求证：.【解析】（1）连接AC，由已知F、G分别为和的中点，，又面ABCD，面ABCD，平面；（2）底面是正方形，，又底面，面ABCD，，面，面，面，又面，.14．（2023·高一课时练习）点是所在平面外一点，是中点，在上任取点，过和作平面交平面于．证明：．【解析】证明：连结，交于点，连结.因为四边形为平行四边形，所以是的中点.又是中点，所以.因为平面，平面，所以平面.又平面平面，平面，所以．15．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，为的中点．(1)求证：平面；(2)上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由．【解析】（1）证明：如图，连接交于，连接.因为为正方体，底面为正方形，对角线，交于点，所以为的中点，又因为为的中点，所以在中，是的中位线，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）当上的点为中点时，即满足平面平面，理由如下：连接，，因为为的中点，为的中点，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.由（１）知平面，又因为，，平面，所以平面平面.16．（2023·高一课时练习）如图，E、F分别是空间四边形中边和的中点，过平行于的平面与交于点．求证：是中点．【解析】证明：由已知可得，平面.又平面，平面平面，所以.又因为点是的中点，所以是中点．17．（2023·河南南阳·高三统考期末）如图,四棱锥的底面为直角梯形,,底面, ,设平面与平面的交线为．(1)证明:;(2)证明:平面;(3)求点到平面的距离．【解析】（1）证明:由题可知,平面,平面,故平面,平面,平面平面,;（2）证明:底面,,底面为直角梯形,且,,平面,平面,平面,由(1)知,平面;（3）由题知,且,连接,如图所示:可得,,底面,,,,,为直角三角形,设点到平面的距离为,,即,即,解得:,故点到平面的距离为.18．（2023·全国·高三专题练习）如图，三棱柱在圆柱中，等腰直角三角形，分别为上、下底面的内接三角形，点，分别在棱和上，，，平面，求的值【解析】如图，过点作交于点，连接，，，与确定一个平面，平面，平面平面，，四边形为平行四边形，，又，，，.19．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，平面PAD，，求证：.【解析】在四棱锥中，平面，平面，平面平面，所以.20．（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方体中，，分别是线段，的中点，证明：平面【解析】取的中点，连接，，则，，又平面，平面，平面，所以平面，平面，又平面，所以平面平面，又平面，所以平面；21．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形ABCD为长方形，，，点E、F分别为AD、PC的中点．设平面平面．(1)证明：平面PBE；(2)证明：．【解析】（1）取PB中点，连接FG，EG，因为点E、F分别为AD、PC的中点，所以，，因为四边形ABCD为长方形，所以，且，所以，，所以四边形DEGF为平行四边形，所以因为平面PBE，平面PBE，平面PBE；（2）由（1）知平面PBE，又平面PDC，平面平面，所以.22．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．求证：平面；【解析】取的中点为，连接，由三棱柱可得四边形为平行四边形，，则，又平面，平面，故平面，，则，同理可得平面，而，平面，故平面平面，又平面，故平面23．（2023·高三课时练习）如图，在直三棱柱中，，，，E，F分别是棱、AB的中点．(1)求证：；(2)求四棱锥的体积；(3)判断直线CF和平面的位置关系，并加以证明．【解析】（1）因为三棱柱是直棱柱，所以平面ABC，又因为平面ABC，所以；（2）因为平面ABC，又平面ABC，所以，由，即，且，平面，所以平面，由E是棱的中点，则，所以四边形的面积为，所以四棱锥的体积为；（3）平面．如图，取的中点G，连接EG、FG，因为F、G分别是棱AB、的中点，所以，，又，，所以，FG=EC，所以四边形FGEC是平行四边形，进而得，又平面，平面，所以平面．24．（2023·高一课时练习）已知在平面外，满足，，平面，垂足为，求证：为底面的垂心．【解析】证明：如图，连接，因为平面，平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，又平面，所以，因为，所以同理可证平面，因为平面，所以，所以为底面的垂心．25．（2023·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）如图所示，四棱台的上､下底面均为正方形，且底面ABCD.(1)证明：；【解析】（1）平面平面，如图，连接四边形为正方形，，又平面，平面，平面.26．（2023·广西桂林·统考模拟预测）如图，正方体中，E是的中点，M是AD的中点．(1)证明：平面；【解析】（1）如图，取中点F，连接EF，AF交于O，∵E，F分别为和中点，∴平行且相等，∵ 平行且相等，∴平行且相等，∴四边形为平行四边形，∴，∵与相似，∴，∴，即，∴，∵平面，且平面，∴，∵平面，平面，∴平面；27．（2023·全国·高三专题练习）如图多面体中，四边形是菱形，，平面，，.(1)证明：平面平面；(2)求点到平面的距离.【解析】（1）证明：取的中点，连接交于，连接，，因为是菱形，所以，且是的中点，所以且，又，，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以，又因为，平面，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）设到平面的距离为，因为平面，平面,所以,因为,平面，所以平面，且平面,所以,因为，，所以，所以,,,所以且,所以,取中点为，连接,因为是菱形，，所以为等边三角形，所以,且,又因为平面，平面,所以,且平面,所以平面,又因为,因为，即,所以.28．（2023·四川成都·统考一模）如图①，在等腰直角三角形中，分别是上的点，且满足.将沿折起，得到如图②所示的四棱锥.(1)设平面平面，证明：⊥平面；【解析】（1）平面平面，平面.平面，平面平面，.由图①，得，.平面，平面；29．（2023春·安徽·高三统考开学考试）如图，在几何体中，四边形为矩形，，，，.(1)证明：；【解析】（1）证明：由题意得，四边形为直角梯形，又，，易知，，所以，所以.又因为，，平面，所以平面，平面，所以.30．（2023·全国·高三专题练习）如图，圆锥的高为是底面圆的直径，为圆锥的母线，四边形是底面圆的内接等腰梯形，且，点在母线上，且．(1)证明：平面平面；【解析】（1）连接，由已知，，且，∴四边形为菱形，∴，在圆锥中，∵平面，平面，∴．∵，平面，平面，∴平面．又∵平面，∴平面平面．31．（2023·江苏·高三专题练习）如图，在三棱柱中，，，平面平面．(1)求证：平面；【解析】（1）作于H，∵平面平面，平面平面∴平面∵平面，∴，∵，平面，∴平面；32．（2023·全国·高三专题练习）如图，三棱柱中，点在平面内的射影在上，，.(1)证明:；【解析】（1）∵ 点在平面内的射影在上，∴平面，又平面，∴，∵ ，，平面，∴ 平面，平面，∴ ，∵ ，四边形为平行四边形，∴ 四边形为菱形，故，又，平面，∴ 平面，平面，∴；33．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，，点是的中点.(1)求证：平面；(2)若侧面为菱形，求证：平面.【解析】（1）连接交于，连接，由为三棱柱，则为平行四边形，所以是中点，又是的中点，故在△中，面，面，所以平面.（2）由，而，面，所以面，又面，则，由侧面为菱形，故，又，面，故平面.34．（2023·全国·高三专题练习）如图，和都垂直于平面，且，，是的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面．【解析】（1）证明：（1）取的中点，连接，，∵是的中点，∴，，∵和都垂直于平面，∴，∵，∴，，∴四边形为平行四边形，从而，∵平面，平面，∴平面．（2）证明∵垂直于平面，平面，∴，∵，∴，∵，平面，∴平面，由（1）可知：，∴平面．35．（2023春·河南开封·高三统考开学考试）如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，．(1)证明：平面PCD⊥平面PBC；(2)若，求三棱锥的体积．【解析】（1）连接，因为，所以,又因为，，所以，即,又因为底面ABCD，底面ABCD，所以 BC，又因为平面PCD，，所以平面PCD,又因为平面PBC，所以平面PCD⊥平面PBC.（2）在直角三角形中，在直角三角形中，所以，所以，所以.36．（2023·江苏泰州·高三统考期末）如图,在三棱台中,已知平面平面,,,(1)求证:直线平面;【解析】（1）证明:在等腰梯形中,过作于点,画图如下:所以,且,,所以,即,即,因为平面平面,平面平面,平面,,所以平面;