高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第一册 第1章 1.1.2 空间向量的数量积运算(含解析)

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1．1.2　空间向量的数量积运算学习目标　1.会识别空间向量的夹角.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.3.能用空间向量数量积解决简单的立体几何问题．知识点一　空间向量的夹角1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．2．范围：0≤〈a，b〉≤π.特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b.思考　 当〈a，b〉＝0和〈a，b〉＝π时，向量a与b有什么关系？答案　当〈a，b〉＝0时，a与b同向；当〈a，b〉＝π时，a与b反向．知识点二　空间向量的数量积定义已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.性质①a⊥b⇔a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2运算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 思考1　向量的数量积运算是否满足结合律？答案　不满足结合律，(a·b)·c＝a·(b·c)是错误的．思考2　对于向量 a，b，若a·b＝k，能否写成a＝？答案　不能，向量没有除法．知识点三　 向量a的投影1．如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．2．如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．1．向量与的夹角等于向量与的夹角．(　×　)2．若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(　×　)3．对于非零向量b，由a·b＝b·c，可得a＝c.(　×　)4．若非零向量a，b为共线且同向的向量，则a·b＝|a||b|.(　√　)一、数量积的计算例1　如图所示，在棱长为1的正四面体A－BCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：(1)·；(2)·；(3)·；(4)·.解　(1)·＝·＝||||·cos〈，〉＝cos 60°＝.(2)·＝·＝||2＝.(3)·＝·＝||·||cos〈，〉＝cos 120°＝－.(4)·＝·(－)＝·－·＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉＝cos 60°－cos 60°＝0.反思感悟　求空间向量数量积的步骤(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．跟踪训练1　(1) 已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b等于(　　)A．1   B．2C．3   D．4答案　A解析　∵p⊥q且|p|＝|q|＝1，∴a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1.(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________.答案　2解析　∵＝＋＝＋，＝－，∴·＝·(－)＝2 －·＋·－2＝4－0＋0－2＝2.二、利用数量积证明垂直问题例2　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.证明　设＝a，＝b，＝c，则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|.∵＝＋＝＋(＋)＝c＋a＋b，＝－＝b－a，＝＋＝(＋)＋＝a＋b－c，∴·＝·(b－a)＝c·b－c·a＋a·b－a2＋b2－b·a＝(b2－a2)＝(|b|2－|a|2)＝0.于是⊥，即A1O⊥BD.同理可证⊥，即A1O⊥OG.又∵OG∩BD＝O，OG⊂平面GBD，BD⊂平面GBD，∴A1O⊥平面GBD.反思感悟　用向量法证明几何中垂直关系问题的思路(1)要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可．(2)用向量法证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可．跟踪训练2　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.求证：PA⊥BD.证明　在△ADB中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得，BD＝AD，所以AD2＋BD2＝AB2，所以DA⊥BD，则·＝0.由PD⊥底面ABCD，知PD⊥BD，则·＝0.又＝＋，所以·＝(＋)·＝·＋·＝0，即PA⊥BD.三、用数量积求解夹角和模例3　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，点N为AA1的中点．(1)求的模；(2)求cos〈，〉的值．解　由已知得||＝||＝1，||＝||＝2，＝＝.〈，〉＝〈，〉＝〈，〉＝90°，所以·＝·＝·＝0.(1)因为＝－＝＋－＝＋－，所以||2＝2＝2＝2＋2＋2＝12＋×22＋12＝3，所以||＝＝.(2)因为＝－＝＋－，＝＋，所以||2＝2＝(＋－)2＝2＋2＋2＝12＋22＋12＝6，||＝，||2＝2＝(＋)2＝2＋2＝12＋22＝5，||＝，·＝(＋－)·(＋)＝2－2＝22 －12＝3，所以cos〈，〉＝＝＝.延伸探究1．(变结论)本例中条件不变，求与夹角的余弦值．解　由例题知，||＝，||＝，·＝·(＋)＝2－2＝×22 －12＝1.所以cos〈，〉＝＝＝.所以与夹角的余弦值为.2．(变条件)本例中，若CA＝CB＝AA1＝1，其他条件不变，求异面直线CA1与AB的夹角．解　由已知得||＝||＝||＝1，·＝·＝·＝0，因为||2＝2＝(＋)2＝2＋2＝12＋12＝2，所以||＝，因为||2＝2＝(－)2＝2＋2＝12＋12＝2，所以||＝，又因为·＝(＋)·(－)＝－2＝－1.所以cos〈，〉＝＝＝－.所以〈，〉＝120°，所以异面直线CA1与AB的夹角为60°.反思感悟　求向量的夹角和模(1)求两个向量的夹角：利用公式cos〈a，b〉＝求cos〈a，b〉，进而确定〈a，b〉．(2)求线段长度(距离)：①取此线段对应的向量； ②用其他已知夹角和模的向量表示该向量；③利用|a|＝，计算出|a|，即得所求长度(距离)．跟踪训练3　(1)已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，设＝a，＝b，＝c，则〈，〉等于(　　)A．30°   B．60°C．90°   D．120°答案　D(2)已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为(　　)A．6   B.C．3   D.答案　B解析　设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，因此a·b＝b·c＝c·a＝.由＝a＋b＋c得||2＝2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝6.所以||＝，故选B.1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是(　　)A.与B.与C.与D.与答案　A2．设ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，则有(　　)A.·＝a2   B.·＝a2C.·＝a2   D.·＝a2答案　C3．已知空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为(　　)A.  B.  C．－  D．0答案　D解析　·＝·(－)＝·－·＝||||cos∠AOC－||||cos∠AOB＝||||－||||＝0，所以⊥.所以cos〈，〉＝0.4．若a，b，c为空间两两夹角都是60°的三个单位向量，则|a－b＋2c|＝________.答案　解析　|a－b＋2c|2＝(a－b＋2c)2＝a2＋b2＋4c2－2a·b＋4a·c－4b·c＝5.∴|a－b＋2c|＝.5.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则与所成角的大小为________，·＝________.答案　60°　1解析　方法一　连接A1D(图略)，则∠PA1D就是与所成角，连接PD，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝，即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，即与所成角的大小为60°，因此·＝××cos 60°＝1.方法二　根据向量的线性运算可得·＝(＋)·＝2＝1.由题意可得PA1＝B1C＝，则××cos〈，〉＝1，从而〈，〉＝60°.1．知识清单： (1)空间向量的夹角、投影．(2)空间向量数量积、性质及运算律．2．方法归纳：化归转化．3．常见误区：空间向量的数量积的三点注意(1)数量积的符号由夹角的余弦值决定．(2)当a≠0，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0.1．已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于(　　)A．12   B．8＋C．4   D．13答案　D解析　(2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|cos 120°＝2×4－2×5×＝13.2．已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则两直线的夹角为(　　)A．30°   B．60°C．120°    D．150°答案　B解析　设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝－，所以θ＝120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°.3．已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为(　　)A．－6  B．6  C．3  D．－3答案　B解析　由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0，|e1|＝|e2|＝1，所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，所以2k－12＝0，所以k＝6.4．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　)A．a2  B.a2  C.a2  D.a2答案　C解析　·＝(＋)·＝(·＋·)＝＝a2.5．已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是(　　)A.与   B.与C.与   D.与答案　A解析　可用排除法．因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，·＝0，排除D.又由AD⊥AB，AD⊥PA可得AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，所以·＝0，同理·＝0，排除B，C，故选A.6．已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝________.答案　22解析　|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝132＋2a·b＋192＝242，∴2a·b＝46，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝530－46＝484，故|a－b|＝22.7．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________.答案　60°解析　由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，两式相减得46a·b＝23|b|2，所以a·b＝|b|2，代入上面两个式子中的任意一个，得|a|＝|b|，所以cos〈a，b〉＝＝＝，所以〈a，b〉＝60°.8．如图，在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，O，O1分别是对角线AC，A1C1的中点，则〈，〉＝________，〈，〉＝________，〈，〉＝________.答案　0°　0°　90°解析　由题意得，方向相同，是在同一条直线AC上，故〈，〉＝0°；可平移到直线AC上，与方向相同，故〈，〉＝0°；由题意知OO1是正四棱台ABCD－A1B1C1D1的高，故OO1⊥平面A1B1C1D1，所以OO1⊥A1B1，故〈，〉＝90°.9.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求异面直线A1B与AC所成的角．解　不妨设正方体的棱长为1，设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝b·c＝c·a＝0，＝a－c，＝a＋b.∴·＝(a－c)·(a＋b)＝|a|2＋a·b－a·c－b·c＝1，而||＝||＝，∴cos〈，〉＝＝＝，∵0°≤〈，〉≤180°，∴〈，〉＝60°.∴异面直线A1B与AC所成的角为60°.10.如图，正四棱锥P－ABCD的各棱长都为a.(1)用向量法证明BD⊥PC；(2)求|＋|的值．(1)证明　∵＝＋，∴·＝(＋)·＝·＋·＝||||·cos 60°＋||||cos 120°＝a2－a2＝0.∴⊥，∴BD⊥PC.(2)解　∵＋＝＋＋，∴|＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝a2＋a2＋a2＋0＋2a2cos 60°＋2a2cos 60°＝5a2，∴|＋|＝a.11．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC是(　　)A．直角三角形   B．等腰三角形C．等腰直角三角形  D．等边三角形答案　B解析　因为＋－2＝(－)＋(－)＝＋，所以(＋)·(－)＝||2－||2＝0，所以||＝||，即△ABC是等腰三角形．12．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是(　　)A．30°  B．45°  C．60°  D．90°答案　C解析　∵＝＋＋，∴·＝(＋＋)·＝·＋2＋·＝0＋12＋0＝1，又||＝2，||＝1.∴cos〈，〉＝＝＝.∵异面直线所成的角是锐角或直角，∴a与b所成的角是60°.13．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为(　　)A．－13  B．－5  C．5  D．13答案　A解析　∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，∴a·b＋b·c＋c·a＝－＝－13.14. 已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则·的值为________．答案　1解析　由于＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)，而＝＋，则·＝·(＋)＝(＋)2＝1.15．等边△ABC中，P在线段AB上，且＝λ，若·＝·，则实数λ的值为________．答案　1－解析　如图，＝－＋＝－＋λ，故·＝(λ－)·＝λ||2－||||cos A·＝(－λ)·(1－λ)＝λ(λ－1)||2，设||＝a(a＞0)，则a2λ－a2＝λ(λ－1)a2，解得λ＝1－.16.如图所示，已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB＝7，AC＝BD＝24，线段BD与α所成的角为30°，求CD的长．解　由AC⊥α，可知AC⊥AB，过点D作DD1⊥α，D1为垂足，连接BD1，则∠DBD1为BD与α所成的角，即∠DBD1＝30°，所以∠BDD1＝60°，因为AC⊥α，DD1⊥α，所以AC∥DD1，所以〈，〉＝60°，所以〈，〉＝120°.又＝＋＋，所以||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·.因为BD⊥AB，AC⊥AB，所以·＝0，·＝0.故||2＝||2＋||2＋||2＋2·＝242＋72＋242＋2×24×24×cos 120°＝625，所以||＝25，即CD的长为25.