高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第一册 第2章 微专题3 与圆有关的最值问题(含解析)

微专题3　与圆有关的最值问题

在某些题目中，已知所求代数式的结构特征具有明显的几何意义，可以和直线方程、圆的方程相联系，我们可以利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题．

一、定点到圆上动点距离

例1　(1)已知x，y∈R，且圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求(x＋2)2＋(y－2)2的最大值与最小值．

解　因为(x－1)2＋(y＋2)2＝4表示以C(1，－2)为圆心，半径r＝2的圆，所以表示圆上的动点M(x，y)与定点A(－2,2)的距离(如图)．

连接AC，直线AC与圆C交于A1，A2.

则当M位于A2位置时，取得最大值，

为|AC|＋r＝＋2＝7.

当M位于A1位置时，取得最小值，

为|AC|－r＝－2＝3.

即(x＋2)2＋(y－2)2的最大值为49，最小值为9.

(2) 已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0,1)，设P是圆C上的动点，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值．

解　设P(x，y)，则d＝|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2.

∵|CO|2＝32＋42＝25，∴(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2.

即16≤x2＋y2≤36.

∴d的最小值为2×16＋2＝34.

最大值为2×36＋2＝74.

反思感悟　(1)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．

(2)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离，然后利用数形结合确定距离的最值．

二、可转化为点到直线的距离问题

例2　(1)已知x，y满足x＋2y－5＝0，则(x－1)2＋(y－1)2的最小值为________．

答案　

解析　(x－1)2＋(y－1)2表示点P(x，y)到点Q(1,1)的距离的平方．

由已知可得点P在直线l：x＋2y－5＝0上，所以|PQ|的最小值为点Q到直线l的距离，

即d＝＝，所以(x－1)2＋(y－1)2的最小值为d2＝.

(2)已知点P(x，y)是圆(x＋2)2＋y2＝1上任意一点，求点P到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值和最小值．

解　圆心C(－2,0)到直线3x＋4y＋12＝0的距离d＝＝，大于半径r＝1，

故P点到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值为d＋r＝，最小值为d－r＝.

反思感悟　圆上动点到定直线距离的最值可以先计算圆心到直线的距离，然后利用数形结合确定距离的最值．

三、与斜率、截距有关的最值问题

例3　已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点．

(1)求的最大值与最小值；

(2)求x－2y的最大值与最小值．

解　(1)显然可以看作是点P(x，y)与点Q(1,2)连线的斜率，令＝k，如图所示，

则其最大、最小值分别是过点Q(1,2)的圆C的两条切线的斜率．

对上式整理得kx－y－k＋2＝0，

∴＝1，

∴k＝.

故的最大值是，最小值是.

(2)令u＝x－2y，则u＝x－2y可视为一组平行线，当直线和圆C有公共点时，u的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得．

依题意，得＝1，解得u＝－2±，

故x－2y的最大值是－2＋，最小值是－2－.

反思感悟　 (1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题．

(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋的截距的最值问题．