人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆精品第1课时练习题

3．1.2　椭圆的简单几何性质

第1课时　椭圆的几何性质

学习目标　1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.2.会用椭圆的几何意义解决相关问题．

知识点　椭圆的简单几何性质

思考　离心率对椭圆扁圆程度有什么影响？

答案　e＝，e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆．

1．椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴长是a.(　×　)

2．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为＋＝1.

(　×　)

3．离心率相同的椭圆是同一个椭圆．(　×　)

4．设F为椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点，M为其上任一点，则|MF|的最大值为a＋c(c为椭圆的半焦距)．(　√　)

一、椭圆的简单几何性质

例1　设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．

解　椭圆方程可化为＋＝1.

(1)当0＜m＜4时，a＝2，b＝，c＝，

∴e＝＝＝，

∴m＝3，∴b＝，c＝1，

∴椭圆的长轴长和短轴长分别是4,2，焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，顶点坐标为A1(－2,0)，A2(2,0)，B1(0，－)，B2(0，)．

(2)当m＞4时，a＝，b＝2，

∴c＝，

∴e＝＝＝，解得m＝，

∴a＝，c＝，

∴椭圆的长轴长和短轴长分别为，4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(－2,0)，B2(2,0)．

反思感悟　用标准方程研究几何性质的步骤

(1)将椭圆方程化为标准形式．

(2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论)

(3)求出a，b，c.

(4)写出椭圆的几何性质．

跟踪训练1　已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．

(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；

(2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质．

解　(1)由椭圆C1：＋＝1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8，

焦点坐标为(6,0)，(－6,0)，离心率e＝.

(2)椭圆C2：＋＝1.几何性质如下：

①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：对称轴：x轴、y轴，对称中心：原点；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)；⑤离心率：e＝，焦距为12.

二、由椭圆的几何性质求标准方程

例2　求适合下列条件的椭圆的标准方程．

(1)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6；

(2) 过点(3,0)，离心率e＝.

解　(1)依题意可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．

如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，

所以c＝b＝3，

所以a2＝b2＋c2＝18，

故所求椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，

由题意，得a＝3，

因为e＝，所以c＝，从而b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1；

当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，

由题意，得b＝3，

因为e＝，所以＝，

把b＝3代入，得a2＝27，所以椭圆的标准方程为＋＝1.

综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.

反思感悟　利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤

(1)确定焦点位置．

(2)设出相应椭圆的标准方程．

(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．

(4)写出椭圆标准方程．

跟踪训练2　(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为______________．

答案　＋＝1

解析　由题意，得

解得

因为椭圆的焦点在x轴上，

所以椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA＝，则椭圆的标准方程是__________．

答案　＋＝1或＋＝1

解析　因为椭圆的长轴长是6，cos∠OFA＝，所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)．

所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，

所以＝，所以c＝2，b2＝32－22＝5，

所以椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.

三、求椭圆的离心率

例3　设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．

答案　

解析　方法一　由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，

故离心率e＝＝＝＝＝.

方法二　由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，

将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，

所以|PF2|＝.

又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|，

故2c＝·，变形可得(a2－c2)＝2ac，

等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e，

解得e＝或e＝－(舍去)．

延伸探究

1．若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的离心率．

解　在△PF1F2中，

∵∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°，

∴∠F1PF2＝60°，

设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，m＋n＝2a，

则在△PF1F2中，有＝＝，

∴＝，

∴e＝＝＝＝.

2．若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围．

解　由题意，知c>b，∴c2>b2.

又b2＝a2－c2，

∴c2>a2－c2，即2c2>a2.∴e2＝>，

∴e>，又0<e<1，

故C的离心率的取值范围为.

反思感悟　求椭圆离心率及取值范围的两种方法

(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．

(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．

跟踪训练3　(1)已知椭圆C：＋＝1的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若∠ABF＝90°，则椭圆C的离心率为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　A

解析　由题意知，A(－a，0)，B(0，b)，F(c，0)，

∵∠ABF＝90°，∴kAB·kBF＝－1，∴＝1，即b2＝ac.

∴c2－a2＋ac＝0，即e2＋e－1＝0，

∴e＝－(舍)或e＝.

(2)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点P使得PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的取值范围为________．

答案　

解析　由PF1⊥PF2，知△F1PF2是直角三角形，

所以c≥b，即c2≥a2－c2，所以a≤c，

因为e＝，0<e<1，所以≤e<1.

1．已知椭圆的离心率为，焦点是(－3,0)和(3,0)，则椭圆方程为(　　)

A.＋＝1   B.＋＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

答案　A

解析　由题意知c＝3，＝，

则a＝6，∴b2＝a2－c2＝27，

∴椭圆方程为＋＝1.

2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率为，则C的方程是(　　)

A.＋＝1   B.＋＝1

C.＋＝1   D.＋y2＝1

答案　C

解析　依题意知，所求椭圆的焦点位于x轴上，

且c＝1，e＝＝，即a＝2，b2＝a2－c2＝3，

因此椭圆的方程是＋＝1.

3．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　A

解析　不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点．

依题意可知，△BF1F2是正三角形．

∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，

|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，

∴cos 60°＝＝，

即椭圆的离心率e＝，故选A.

4．若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m的值为________．

答案　

解析　∵椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，∴＝2，∴m＝.

5．已知椭圆的一个顶点是(0，)，且离心率e＝，则椭圆的标准方程是____________．

答案　＋＝1或＋＝1

解析　∵＝＝＝，∴a＝2b，

若椭圆的焦点在x轴上，则b＝，a＝2；

若椭圆的焦点在y轴上，则a＝，b＝.

∴椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.

1．知识清单：

(1)椭圆的简单几何性质．

(2)由椭圆的几何性质求标准方程．

(3)求椭圆的离心率．

2．方法归纳：直接法、方程法(不等式法)．

3．常见误区：忽略椭圆离心率的范围0＜e＜1及长轴长与a的关系．

1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为(　　)

A．(－1,0)，(1,0)   B．(－6,0)，(6,0)

C．(－，0)，(，0)   D．(0，－)，(0，)

答案　D

解析　∵椭圆方程化为标准式为＋x2＝1，

∴a2＝6，且焦点在y轴上，

∴长轴端点坐标为(0，－)，(0，)．

2．已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　∵a2＝4＋22＝8，∴a＝2，∴e＝＝＝.

3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且过点(4，0)的椭圆的方程是(　　)

A.＋＝1   B.＋＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

答案　D

解析　由＋＝1可知，

所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝5，故A，C不正确；

再将点(4，0)分别代入B，D检验可知，只有D选项符合题意．

4．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为(　　)

A.＋＝1   B.＋＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

答案　A

解析　依题意得c＝2，a＋b＝10，又a2＝b2＋c2，所以解得a＝6，b＝4.

5．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　A

解析　以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，

由原点到直线bx－ay＋2ab＝0的距离d＝＝a，得a2＝3b2，

所以C的离心率e＝＝.

6．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________．

答案　

解析　依题意，得b＝3，a－c＝1.

又a2＝b2＋c2，解得a＝5，c＝4，

∴椭圆的离心率为e＝＝.

7．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e≤，则长轴长的取值范围为________．

答案　(2,4]

解析　∵e＝，b＝1,0<e≤，

∴≤，

则1<a≤2，∴2<2a≤4，

即长轴长的取值范围是(2,4]．

8．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为_______________．

答案　＋＝1

解析　设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由e＝，知＝，故＝.

由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝16，

∴a＝4，∴b2＝8，

∴椭圆C的方程为＋＝1.

9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，且椭圆C经过点M，求椭圆C的离心率．

解　2a＝|MF1|＋|MF2|＝＋＝2.

所以a＝.

又由已知c＝1，所以椭圆C的离心率e＝＝＝.

10．(1)求与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程；

(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程．

解　(1)∵c＝＝，

∴所求椭圆的焦点为(－，0)，(，0)．

设所求椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．

∵e＝＝，c＝，∴a＝5，b2＝a2－c2＝20，

∴所求椭圆的方程为＋＝1.

(2)∵椭圆的焦点在x轴上，

∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)，

∵2c＝8，∴c＝4，

又a＝6，∴b2＝a2－c2＝20.

∴椭圆的方程为＋＝1.

11．若O和F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)

A．2  B．3  C．6  D．8

答案　C

解析　由题意得点F(－1,0)．设点P(x0，y0)，则有＋＝1，可得y＝3.

∵＝(x0＋1，y0)，＝(x0，y0)，

∴·＝x0(x0＋1)＋y＝x0(x0＋1)＋3＝＋x0＋3.

此二次函数的图象的对称轴为直线x0＝－2.

又－2≤x0≤2，所以当x0＝2时，·取得最大值，最大值为＋2＋3＝6.

12．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为(　　)

A.   B.

C.－   D.－1

答案　D

解析　设椭圆的焦点是F1，F2，圆与椭圆的四个交点是A，B，C，D，

设|F1F2|＝2c，|AF1|＝c，|AF2|＝c(c>0),

|AF1|＋|AF2|＝2a⇒c＋c＝2a，

e＝＝＝－1.

13．经过点M(1,2)，且与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆的标准方程为________．

答案　＋＝1或＋＝1

解析　由题意知e2＝1－＝，所以＝，即a2＝2b2，

设所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.

将点M(1,2)代入椭圆方程得

＋＝1或＋＝1，解得b2＝或b2＝3.

故所求椭圆方程为＋＝1或＋＝1.

14．在平面直角坐标系中，椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率e＝________.

答案　

解析　如图，切线PA，PB互相垂直，

又半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，＝a.

解得＝，

则离心率e＝.

15．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　A

解析　设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形．

∵|AF|＋|BF|＝4，

∴|AF|＋|AF0|＝4，

∴a＝2.

设M(0，b)，则≥，∴1≤b＜2.

离心率e＝＝＝＝∈，

故选A.

16．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.

(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；

(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．

解　(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1.

因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，

|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，

故|AF2|＝8－3＝5.

(2)设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.

由椭圆定义可得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.

在△ABF2中，由余弦定理可得

|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B，

即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)(2a－k)．

化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k.

于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.

因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，

故△AF1F2为等腰直角三角形．

从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝.