高考数学一轮复习基础版讲义（适合艺术生、基础生一轮复习）——平面向量基本定理及坐标表示

第26讲 平面向量基本定理及坐标表示坐标运算

1.平面向量的基本定理

如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量， 有且只有一对实数λ1，λ2，使.其中，不共线的向量，叫作表示这一平面内所有向量的一组基底. 

2.平面向量的坐标运算

(1)平面向量的坐标运算

(2)向量的坐标求法

 已知，，则 

3.平面向量共线的坐标表示

设，，其中，则

题型一：用基底表示向量

1．（全国高三专题练习）如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（    ）．

A． B． C．1 D．

【答案】A

【详解】

由平面向量基本定理，

化简

，

所以，即，

故选：A．

2．（三亚华侨学校高三月考）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

连结，则为的中位线，

，

故选：A

3．（汕头市潮南区陈店实验学校）已知△ABC的边BC上有一点D满足，则可表示为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

由，

可得，

整理可得，

所以，

故选：A

4．（巍山彝族回族自治县第二中学高一月考）已知为所在平面内一点，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

解：因为为所在平面内一点，，

所以.

故选：A．

5．（福建厦门一中高二开学考试）如图，在平行四边形中，，，，则（    ）（用，表示）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由题意，在平行四边形中，，，，

根据平面向量的线性运算法则，可得

.

故选：D.

6．（广东普宁·高一期中）如图，在平行四边形中，E是的中点，若，，则等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

∵，

∴.

故选：D.

7．（陕西富平·高一期末）如图，在平行四边形中，E是的中点．若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

.

故选：A

8．（福建省福州第八中学高一期中）在中，点为对角线上靠近点的三等分点，连结并延长交于，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

解：因为点为对角线上靠近点的三等分点，

所以，

因为四边形是平行四边形，所以∥，

所以，所以，所以，

,

故选：B

9．（江西省万载中学高一期末（理））如图，已知，用，表示，则等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

，

故选：A.

10．（正阳县高级中学高三模拟预测（理））在中，点是线段上靠近的五等分点，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

，

故选：A．

题型二：用坐标表示向量

1．（浑源县第七中学校高一月考（文））已知A(3，1)，B(2，－1)，则的坐标是（    ）

A．(－2，－1) B．(2，1) C．(1，2) D．(－1，－2)

【答案】C

【详解】

因为A(3，1)，B(2，－1)，

所以＝(3，1)－(2，－1)＝(3－2，1＋1)＝(1，2)．

故选：C

2．（重庆实验外国语学校高一期中）设、是平面直角坐标系内分别与轴、轴正方向相同的两个单位向量，为坐标原点，若，，则的坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由已知条件可得，，因此，.

故选：B.

3．（江苏海陵·泰州中学高一期中）已知两点，，则与向量同向的单位向量是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

因为，

所以，

所以与同向的单位向量为.

故选：A

4．（北京景山学校远洋分校高一期中）已知平面直角坐标系内一点，向量，向量，那么中点坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

由题意点坐标为，点坐标为，

所以中点坐标为．

故选：A．

5．（博野县实验中学）设，是平面直角坐标系内分别与轴、轴正方向相同的两个单位向量，为坐标原点，若，，则的坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

因为，，

所以．

故选：D.

6．（浙江）已知，，则与向量共线的单位向量为（    ）

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】B

【详解】

因为，，

所以向量，

所以与向量共线的单位向量为或.

故选：B

7．（云南昆明八中高一期中）已知四边形是边长为2的正方形，为平面内一点，则的最小值为（    ）.

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

建立如图所示的直角坐标系，

则，，.

设，

则，，，，

所以

.

所以当，时，取得最小值.

故选：C

题型三：平面向量线性运算的坐标表示

1．（全国高一单元测试）如果点按向量平移后得到点，则点按向量平移后得到点N的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

因为，所以点N的坐标为．

故选：C．

2．（全国高一单元测试）设，向量，.若，则m，n的值分别是（    ）

A．1，-1 B．1，-3 C．1，-2 D．1，2

【答案】A

【详解】

因为，所以，解得．

故选：A．

3．（全国高一单元测试）在中，，的中点为，的重心，则B，C的坐标分别为（    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】B

【详解】

设，所以，解得，

，解得，所以B，C的坐标分别为，．

故选：B．

4．（湖南高二学业考试）已知向量，，若，则（    ）

A．-2 B． C． D．2

【答案】C

【详解】

因为向量，，，所以，所以所以．

故选：C

5．（全国高三专题练习）已知向量，则（    ）

A． B．2

C． D．50

【答案】A

【详解】

由已知，，

所以，

故选：A.

6．（山东枣庄·高一期中）已知向量，，．若λ为实数，()∥，则λ＝（    ）.

A．  B．  C．1 D．2

【答案】B

【详解】

因为向量，，

所以，

因为()∥，，

所以，解得，

故选：B

7．（四川巴中·高一期末（理））若三点、、共线，则实数（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

，，由题意可得，则，解得.

故选：A.

8．（沧源佤族自治县民族中学高二期末）向量，，，若与共线，则（    ）

A．-3 B．-2 C．-1 D．1

【答案】D

【详解】

由条件得，又与共线，

则，解得，

故选：D.

9．（贵州贵阳一中高三月考（文））已知向量，若与共线，则实数（    ）

A．0 B．1 C． D．2

【答案】C

【详解】

由题得，

因为与共线，

所以，

解得.

故选：C．

10．（全国高三专题练习（文））已知向量，向量，若，则（    ）

A． B．5 C． D．

【答案】A

【详解】

向量，向量，且，

所以，解得，

所以，所以．

故选：A.