精品解析：湖北省咸宁市2022-2023学年高一下学期期末数学试题（解析版）

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咸宁市2022-2023学年度下学期高中期末考试高一数学试卷本试卷共8页，时长120分钟，满分150分.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据复数的模逐一验证即可.【详解】因为，所以，A错误；因为，所以，B正确；因为，所以，C错误；因为，所以，D错误.故选：B2. 已知，，则y的最小值为（    ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】D【解析】【分析】由，得到，化简，结合基本不等式，即可求解.【详解】因为，所以，则，当且仅当，即时取等号，故选：D.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中熟记基本不等式的“一正、二定、三相等”的条件，合理运算是解得的关键，着重考查推理与运算能力.3. 若一个圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的高为（    ）A. 1 B.  C.  D. 2【答案】C【解析】【分析】根据侧面展开图的弧长等于底面周长列方程求出底面半径，再利用勾股定理可求出圆锥的高.【详解】设圆锥底面圆半径，因为圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为的扇形，所以，即，所以圆锥的高为，故选：C4. 设，为两个不同的平面，则∥的一个充分条件是（   ）A. 内有无数条直线与平行 B. ，垂直于同一个平面C. ，平行于同一条直线 D. ，垂直于同一条直线【答案】D【解析】【分析】根据面面平行的判定一一判定即可.【详解】对于A：内有无数条直线与平行推不出∥，只有内所有直线与平行才能推出，故A错误；对于B：，垂直于同一平面，得到∥或与相交，故B错误；对于C：，平行于同一条直线，得到∥或与相交，故C错误；对于D：因为垂直与同一条直线的两平面平行，故，垂直于同一条直线可得∥，故：D正确．故选：D5. 定义在上的函数满足，且，则（    ）A.  B. 0 C. 1 D. 3【答案】D【解析】【分析】判断出函数是以4为周期的周期函数，结合函数的周期可求解.【详解】，则，从而，即以4为周期，故.故选：D.6. 若存在实数，使得，则实数的取值范围是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由题意存实数，使得，则满足，然后对参数进行分类讨论即可解决.【详解】依题意可知，；当时，，显然成立；当时，由，令，由在为递增函数，所以在为递增函数，且，因此，即，综上可知.故选：B.7. 如图，已知平面向量满足，则（    ）  A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】设，过分别作的平行线，不妨设，可得，进而可得答案.【详解】设，过分别作的平行线，分别交于，如图，不妨设，所以，则，从而，故.故选：A.  8. 已知四棱锥的底面为平行四边形，为的中点，过两点做一个平面，使得，则平面将四棱锥分的上､下两部分的体积比（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用平面性质作出截面，然后利用重心性质及体积公式求出体积之比即可.【详解】设平面与交于点，因为，而面，则，连接交于点，连接交于点，则三点共线，因为为中点，从而为重心，从而，因为，所以，因为，所以，因此，故.  故选：B二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 若复数满足：为的共轭复数，则（    ）A. B. C. 在复平面对应的点位于第二象限D. 【答案】ABD【解析】【分析】利用复数除法运算法则及幂运算先化简得出复数，在写出它的共轭复数然后逐项分析即可.【详解】因为，所以，所以，所以，故选项A正确；，故选项B正确；复数在复平面内对应的点为，位于第一象限，故选项C错误；，故D正确.故选：ABD.10. 某学校为了普及防溺水安全知识，对本校1000名学生开展了一次防溺水安全知识竞赛答题活动，从中随机抽取100名学生的得分，按照分成六段，整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（    ）  A. 根据直方图，该校竞赛得分落在的频率为0.3B. 根据直方图，该校竞赛得分的第75百分位数估计大于130C. 根据直方图，该校竞赛得分的众数约为135D. 根据直方图，该校竞赛得分的平均分约为121【答案】ABD【解析】【分析】根据频率分布直方图求众数、百分位数、平均分的定义即可得解.【详解】对于A选项，分数在内的频率为，A正确；对于B选项，注意到分数落在的频率为，从而第75百分为数超过，B正确；对于C选项，因为的频率为0.3最大，故众数约为，C错误；对于D选项，平均分：，故D正确.故选：ABD.11. 已知函数，则（    ）A. 当时，的最小正周期是B. 在上单调递增C. 当为奇函数D. 当时，图象关于对称【答案】BCD【解析】【分析】利用可判断A；根据在上均单调递增可判断B；利用奇函数定义判断出是奇函数可判断C；利用诱导公式化简可判断.【详解】对于A，当时，，此时，不恒等于，故A错误；对于，在上均单调递增，则当时，单调递增，故B正确；选项C，易知的定义域关于原点对称，当时，，即是奇函数，故C正确；选项D，则，所以的图象关于直线对称，故正确.故选：BCD.12. 如图，已知分别是四边形的中点，为对角线与的交点，则下列正确的是（    ）A 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】ACD【解析】【分析】对选项A、B，先判断四边形为菱形，再利用菱形的性质判断即可，对选项C、D，利用向量垂直运算及数量积的运算律判断即可.【详解】对于选项，因为分别是四边形的中点，所以且，同理且，所以且，所以四边形为平行四边形，又，所以，所以为菱形，因此，故正确；对于选项，因为四边形为菱形，并不一定有，故错误；对于选项，因为，所以，，同理，，故C正确；对于D选项，因为，所以，故D正确.故选：ACD
 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 函数的图像一定过定点，则点的坐标是__________.【答案】【解析】【分析】用指数函数恒过点推理指数型函数恒过点即可.【详解】因为函数，所以，令，解得，此时，所以函数的图象过定点.故答案为：.14. 已知半球的半径为2，如图，截面圆平行于半球的底面的，以该截面圆为底面挖去一个圆柱，则剩下的几何体的表面积的最大值为__________.  【答案】【解析】【分析】画图，设球的半径为，圆柱的高为，底面半径为，建立方程由基本不等式求出的最大值，然后求出剩下的几何体的表面积【详解】依题意，设球的半径为，圆柱的高为，底面半径为，如图所示：  则，所以，当且仅当时，取到等号，因此剩下的几何体的表面积为：.故答案为：.15. 如图，已知正六边形的顶点分别是正六边形的边上的点，其中，若正六边形和的面积分别为，且满足，则的值为__________.【答案】##【解析】【分析】利用全等得出，由，得出，设，则，结合余弦定理即可求出，，然后利用余弦定理求解即可.【详解】题意可知，，则，由，设，则，由余弦定理，，即，故，解得或（舍去），则，从而.即.故答案为：16. 已知均为锐角，，则的最小值为______.【答案】##【解析】【分析】化切为弦，然后利用两角和余弦公式展开，利用基本不等式求解最值即可.【详解】，因为均为锐角，则，因此，因此，当且仅当时，等号成立.故答案为：四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 设集合.（1）若，求实数a的取值范围；（2）若中只有一个整数，求实数的取值范围.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）解一元二次不等式得集合A，然后分和讨论可解；（2）利用数轴分析即可求解.【小问1详解】，因为，所以，当时，则，故符合题意，当时，则，可知，即，综上可知，.【小问2详解】或，因为中只有一个整数，因此该整数为3，如图，      由，所以，所以.18. 已知向量，且.（1）求的值；（2）求在方向上的投影向量的坐标.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由求出，可求出的值，进而可得答案；（2）利用投影向量的定义，平面向量的夹角公式以及平面向量数量积的运算法则求解即可.【小问1详解】根据条件，，则，即.【小问2详解】根据投影向量的计算公式，在方向上的投影向量，其中为，是与同向的单位向量，即，由夹角公式，，则，而.故.19. 如图，在五面体中，四边形为等腰梯形，，且.  （1）证明：；（2）若等边三角形，且面面，求与面所成角.【答案】（1）证明见解析    （2）.【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理和性质定理，结合直线平行的传递性可证；（2）利用面面垂直性质定理证明面，然后可知即为所求，根据三角函数定义可得.【小问1详解】依题意面面，所以平面，又面，面面，所以，所以.【小问2详解】在等腰梯形中，不妨设，，分别过作的垂线EG，FH，则，故所以，所以，所以，又面面，面面面，因此面，从而与平面所成角即为，，其中，因而，故，从而与平面所成角为.  20. 已知的部分图象如图所示，两点是与轴的交点，为该部分图像上一点，且的最大值为4；  （1）求的解析式；（2）将图像向左平移个单位得到的图像，设在上有三个不同的实数根，求的值.【答案】（1）    （2）1【解析】【分析】（1）根据图形求得，可得，根据为对称轴，求得，根据的最大值为2，求得；（2）求出，则，利用三个零点满足即可求解.【小问1详解】依题意，，故，从而，而为对称轴，故，则，根据可知，，设为的中点，则，则的最大值为2，因此，从而.【小问2详解】依题意，，则在存在三个实数根，设，的三个零点满足，从而，故.21. 在中，所对的边分别为，已知.（1）若，求的值；（2）若为锐角，求的取值范围.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理角化边，结合已知联立求解可判断三角形形状，然后可得；（2）根据正弦定理边化角，利用和差公式、平方关系，结合已知化简可得，然后利用换元法，函数单调性可得.【小问1详解】依题意，由正弦定理可知，，根据余弦定理，，即，又，则，即，即或（舍去），所以，因此为等腰直角三角形，故.【小问2详解】由条件，则，即，且，根据正弦定理可得：，因为A为锐角，所以，所以，令，而在上单调递增，故在上单调递增，因此，即，即的取值范围是.22. 已知，其中.（1）若，求取值范围.（2）设，若，恒有，求的取值范围.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根据的奇偶性与单调性列式求解即可；（2）根据题意分析可得，结合单调性求最值，代入运算求解即可.【小问1详解】注意到，即为偶函数，当时，，当时，，则，当时，，则，因此对时，，即在上单调递增，则，即，故，平方可得，即，解得，所以的取值范围.【小问2详解】设，依题意可知，因为，则，当时，由（1）可知，在上单调递增，在上单调递增，则在上单调递增，可得在上单调递减，所以，又因为，且在上单调递增，则在上单调递增，可得在上单调递增，所以，，因此恒成立，设，即，则，解得，即，解得，结合可知，可得，所以的取值范围.【点睛】结论点睛：1.对，，则等价于；2.对，，则等价于；3.对，，则等价于；4.对，，则等价于.