2022-2023学年陕西省汉中市镇巴县高二（下）期末数学试卷（理科）（含解析）

2022-2023学年陕西省汉中市镇巴县高二（下）期末数学试卷（理科）

一、单选题（本大题共11小题，共55.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  复数，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知命题，命题，则是的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4.  已知锐角满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，在正方体中，为体对角线上一点，且，则异面直线和所成角的余弦值为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图所示为函数的图象，则的解析式可能是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  著名数学家欧几里得著的几何原本中记载：任何一个大于的整数要么是一个素数，要么可以写成一系列素数的积，例如对于，其中，，，均是素数，则从，，，中任选个数，可以组成不同三位数的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知椭圆的左、右焦点分别为，，，过作垂直于轴的直线，在第二象限分别交及圆于点，，若为的中点，为的上顶点，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知函数在上单调递减，且，，则(    )

A.  B.  C.  D.

10.  设，是双曲线：的左、右焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为若
，则双曲线的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共1小题，共5.0分。在每小题有多项符合题目要求）

12.  在长方体中，，，，分别是，的中点，则(    )

A.
B. 与平面相交
C. 与平面所成角的余弦值为
D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知，是两个互相垂直的单位向量，若，则， ______ ．

14.  已知函数满足：，，；当时，则满足这两个条件的一个函数为______ ．

15.  在正四棱锥中，底面正方形的边长为，侧棱长为，则正四棱锥的外接球的体积为______ ．

16.  在中，内角，，的对边分别是，，，且，则 ______ ；若的角平分线与边交于点，且，则 ______ ．

四、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知数列的前项和为，，为常数．
若，求的通项公式；
若，设数列的前项和为，求证：，．

18.  本小题分
如图，在三棱柱中，是边长为的等边三角形，平面平面，为的中点．
证明：平面；
若，求二面角的正弦值．

19.  本小题分
我国综合性太阳探测专用卫星“夸父一号”最新一批科学图像于年月日在京发布，其中多幅图像质量达到国际领先水平，验证了“夸父一号”三台有效载荷的观测能力和先进性“夸父一号”是中国科学院空间科学二期先导专项研制的一颗空间科学卫星，于年月日成功发射卫星以“一磁两暴”为科学目标，即同时观测太阳磁场和太阳上两类最剧烈的爆发现象耀斑和日冕物质抛射，研究它们的形成、演化、相互作用和彼此关联，同时为空间天气预报提供支持某学校为了解该校某兴趣小组对“夸父一号”探测卫星相关知识是否感兴趣，对该兴趣小组的位学生进行了问卷调查，已知被调查学生中男生占调查人数的，其中感兴趣的有人，余下的不感兴趣，在被调查的女生中，感兴趣的有人，其余人不感兴趣．
请补充完整列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为对“夸父一号”探测卫星相关知识感兴趣与学生的性别有关联？

从兴趣小组人中任选人，表示事件“选到的人是男生”，表示事件“选到的人对“夸父一号”探测卫星相关知识不感兴趣”，求；
按性别进行分层，采用分层随机抽样的方法从感兴趣的学生中抽取容量为的样本，再从抽取的人中随机抽取人，随机变量表示人中女生的人数，求的分布列和数学期望．
附：参考公式：，其中．
临界值表：

20.  本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若，证明：．

21.  本小题分
在平面直角坐标系中，顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线经过点．
求的方程；
若关于轴对称，焦点为，过点且与轴不垂直的直线交于，两点，直线交于另一点，直线交于另一点，求证：直线过定点．

22.  本小题分
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
求的极坐标方程；
设，是上的两点，且，，求的面积．

23.  本小题分
已知函数．
当时，求不等式的解集；
若对，恒成立，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
则．
故选：．
先算一元二次不等式，明确集合，再与集合找公共元素．
本题考查集合的运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
则，
故，
．
故选：．
根据已知条件，结合复数模公式，以及复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：命题，命题，
由推不出，由能推出，
则是的必要不充分条件，
故选：．
根据充分必要条件的定义结合三角函数的性质判断即可．
本题考查了充分必要条件，考查三角函数的性质，是一道基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为且为锐角，
所以，
解得，
则．
故选：．
由已知结合二倍角公式先求出，然后结合诱导公式及同角商的关系进行化简即可求解．
本题主要考查了二倍角公式，诱导公式及同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：在正方体中，以为原点，建立如图所示坐标系，

设正方体的棱长为，则，，，
，，，
因为为体对角线上一点，且，所以，
，
设异面直线和所成角为，
则．
故选：．
建立适当的空间直角坐标系，根据空间向量法，求出异面直线夹角的余弦值．
本题考查异面直线的夹角，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由图象可知，函数的定义域为，图象关于原点对称，
对于，函数的定义域为，不满足题意，排除；
对于，函数，定义域为，
且，所以为奇函数，
当是，，不满足题意，排除；
对于，函数，定义域为，
且，所以为偶函数，图象关于轴对称，不满足题意，排除；
对于，函数，定义域为，
且，所以为奇函数，
当时，，符合题意，所以的解析式可能是，故D正确．
故选：．
根据函数的定义域，奇偶性判断即可．
本题主要考查了函数的图象变换，考查了函数奇偶性的判断，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
即的分解式中从，，，，，这个素数中任取个组成三位数，有下列几种情况：
若数字含有重复数字，
则选，，有种，
选，，，有种，
选，，，有种，
选，，，有种，
选，，，有种，
选，，，有种，
若数字不含重复数字，则从，，，选个有种，
合计个不同的三位数．
故选：．
先找出的素数，然后利用分类讨论思想进行计算即可．
本题主要考查简单的计数问题，求出的素数，利用排列组合进行计算是解决本题的关键，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：椭圆的左、右焦点分别为，，
过作垂直于轴的直线，
在第二象限分别交及圆于点，，为的中点，
可得，，，可得，所以，，
，，．
故选：．
利用已知条件求解椭圆的长半轴与短半轴的关系，然后转化求解即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，是中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：因为函数，
当时，，
因为函数在上单调递减，
则，其中，
所以，其中，解得，
所以，解得，又因为且，则，
所以，因为，，即，
所以，解得，因此，．
故选：．
根据函数在上单调递减，结合正弦型函数的单调性可求得的取值范围，由已知可得出，可得出的表达式，即可得出的值．
本题考查三角函数性质，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，

在中，，
在中，由余弦定理得，
即，
所以，所以，
所以．
故选：．
先根据点到直线的距离公式求出，在中，求出，在中，利用余弦定理构造，，的齐次式，即可得解．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：令，则，
由得，
在上单调递增，
，
又，，，
．
故选：．
由题意设，则，由得，可得在上单调递增，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，取的中点，连接，，，

对于，因为为的中点，所以．
由长方体的性质可知平面，则平面，
又因为平面，所以．
依题知，四边形是正方形，所以，
因为，所以平面，
又因为平面，所以，故A正确；
对于，因为，分别为的中点，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以且平面，所以与平面相交，故B正确；
对于，连接，由长方体的性质知平面，所以是与平面所成角，
在中，，故C错误；
对于，在中，，在中，，
在中，，因为，所以．
因为且，所以四边形是平行四边形，
所以，所以，故D正确．
故选：．
由空间中点、直线、平面的位置关系的相关知识逐一判断各选项即可．
本题考查空间中点、直线、平面的位置关系，还考查了空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意，，，
，
，
．
故答案为：．
根据题设条件，分别求出与的数量积，的模，代入夹角公式即可求得．
本题考查平面向量的数量积及模和夹角的计算，属基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：令，，则，则，
令，则，
则为常数，则为等比型函数，
则设，则满足，
当时，，
为减函数，则，
不妨设，
则满足条件的．
故答案为：．
根据抽象函数关系，结合指数型，对数型和幂函数型函数进行判断即可．
本题主要考查抽象函数的应用，根据条件进行推理是解决本题的关键，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：在正四棱锥中，底面正方形的边长为，侧棱长为，
如图所示：

根据勾股定理：，故AE，，
设外接球的半径为，在中，满足，解得．
故．
故答案为：．
首先利用四棱锥和球的关系求出球的半径，进一步求出球的体积．
本题考查的知识要点：球和四棱锥的关系，球的半径的求法，球的体积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
 

16.【答案】  

【解析】解：因为，则，，
由正弦定理可得
，
因为，则，整理可得，所以，，
因为，则；
因为，即，
所以，，因此，．
故答案为：．
利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值，利用等面积法可得出，结合三角形的面积公式可求得的值．
本题考查了正弦定理和三角形的面积公式，属于中档题．
 

17.【答案】解：若，，则有，
又，所以是首项为，公比为的等比数列，
，；
证明：若，，则，
则是首项为，公差为的等差数列，
，，
，
当时，，
当时，
当时，
，
综上，，． 

【解析】变形得，由此构造数列即可；先将表示出来，然后利用放缩法，裂项求和即可．
本题考查构造等比数列，考查放缩法，裂项求和，属于中档题．
 

18.【答案】解：证明：连接交于点，连接，
则为的中点，
因为为的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
取的中点，连接，
因为，
所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
因为，为的中点，
所以，
所以，，，两两垂直，
以为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，

则，．
所以，
设平面的一个法向量，
则，即，
令，解得，，
故，
显然是平面的一个法向量，
所以，
设二面角的大小为．
则． 

【解析】连接交于点，证明，再由线面平行的判定得证；
建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，利用向量的夹角公式即可得解．
本题考查线面平行的判定定理，考查利用空间向量求解二面角的正弦值，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．
 

19.【答案】解：调查的男生人数为人，调查的女生人数为人，
所以列联表如下所示：

零假设为：对“夸父一号”卫星相关知识感兴趣与学生的性别无关联，
根据列联表中的数据，经计算得，
所以根据小概率值的独立检验，推断不成立，
即认为对“夸父一号”探测卫星相关知识是否感兴趣与学生的性别有关联，此时推断犯错误的概率不大于；
依题意可知，，
根据条件概率公式可知，所求概率为；
按比例分配的分层随机抽样的方法抽取的男生数为人，女生人数为人，
所以的可能取值为，，，
对应概率为，
所以的分布列：

所以． 

【解析】完善列联表，计算出卡方，即可判断；
根据条件概率概率公式计算可得；
依题意的可能取值为，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望．
本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题．
 

20.【答案】解：已知函数，函数定义域为，
当时，，
可得，
所以，
又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即；
证明：要证，
即证，
先证，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，取得极小值，也是最小值，，
此时，
则成立；
再证，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，取得极小值，也是最小值点，，
此时，
综上，成立． 

【解析】由题意，将代入函数的解析式中，对函数进行求导，得到和的值，代入切线方程中即可求解；
要证，即证，先证，构造函数，对进行求导，利用导数的几何意义得到函数的单调性和最值，进而可得成立；再证，构造函数，对进行求导，利用导数的几何意义得到函数的单调性和最值，进而可得，故成立．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
 

21.【答案】解：若的焦点在轴上，
不妨设抛物线的方程为，
因为抛物线经过点，
所以，
解得，
则的方程为；
若的焦点在轴上，
不妨设抛物线的方程为，
因为抛物线经过点，
所以，
解得，
则的方程为，
综上，的方程为或；
证明：若关于轴对称，焦点为，
由知抛物线的方程为，
设，，，，
因为直线的斜率存在且不为，
则直线的斜率，
所以直线的方程为，
即，
同理可得直线，的方程分别为，
，
因为直线过定点，
所以，
又直线，过焦点，
则，
易知直线的方程为，
由，
所以，
即，
又，
所以，
则，
解得，
故直线恒过定点，
若直线经过点，直线即为直线，
其方程为，
即，
显然该直线过点，
综上，直线过定点． 

【解析】由题意，对的焦点在轴上和在轴上这两种情况进行讨论，结合待定系数法，列出等式即可求出的方程；
结合中所求，得到抛物线的方程为，设出点，，，，求出直线，，的方程，根据直线过定点以及直线，过焦点列出等式得到，结合直线的方程，对方程进行整理，列出等式求解即可得到直线恒过定点，若直线经过点，直线即为直线，得到该直线方程，进而可得该直线经过定点．
本题考查抛物线的性质以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．
 

22.【答案】解：对于曲线的参数方程为参数，
由，解得，
则，
所以，，，
即，，
所以，曲线表示圆的上半圆，
化为极坐标方程即为，
即，其中．
解：设点、的极坐标分别为，
则，解得，
则，
所以，
即，
因为，则，
所以，可得，
所以，
则，
因此，，
即的面积为． 

【解析】将曲线的参数方程化为普通方程，可知曲线表示圆的上半圆，然后将曲线的方程化为极坐标方程即可得解；
设点、的极坐标分别为，求得，利用求出的值，再利用三角形的面积公式可求得结果．
本题考查了参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，还考查了极径的意义，属于中档题．
 

23.【答案】解：当时，，
当时，则，解得，即，
当时，则恒成立，即，
当时，则，解得，即，
综上所述，原不等式的解集为．
因为，
所以，即或，解得或，
故的取值范围为． 

【解析】分类讨论去绝对值即可求得当时不等式的解集；
利用绝对值不等式的性质构造关于的不等式，解之即可求得的取值范围．
本题主要考查含绝对值不等式的解法，还考查了绝对值不等式的性质，属于中档题．