2022-2023学年广东省深圳市龙岗区德琳学校高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省深圳市龙岗区德琳学校高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知复数在复平面内所对应点的坐标为，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  设集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为(    )

 

A.  B.  C.  D.

4.  计算：(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在内将某种药物注射进患者的血液中．在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量随时间变化的图象是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  的内角，，的对边分别为，，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在中，为的中点，为的中点，设，，以向量、为基底，则可以表示为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  在长方体中，，，则该长方体的外接球表面积为(    )

A.
B.
C.
D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是(    )

A. 圆柱的侧面积为
B. 圆锥的侧面积为
C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等
D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为：：

10.  关于平面向量，下列说法中不正确的是(    )

A. 若且，则
B.
C. 若，且，则
D.

11.  将函数的图象向左平移个单位得到函数，则下列说法正确的是(    )

A. 的周期为 B. 的一条对称轴为
C. 是奇函数 D. 在区间上单调递增

12.  在中，角，，所对的边分别为，，已知：：：：，下列结论正确的是(    )

A. 是钝角三角形 B.
C. 若则的面积是 D. ：：：：

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知，，若与共线，则 ______ ．

14.  如图，在正三棱台中，上底面是边长为的等边三角形，下底面是边长为的等边三角形，侧面是高为的等腰梯形，则该三棱台的体积为______ ．

15.  如图，在正方体中，，依次是和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______．

16.  在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则 ______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知，．
求；
求在方向上的投影向量用坐标表示．

18.  本小题分
已知函数的最小正周期为．
求单调递增区间；
当时，求函数的值域．

19.  本小题分
如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点，求证：
平面；
平面平面．

20.  本小题分
已知函数其中．
Ⅰ求的定义域；
Ⅱ判断的奇偶性，并给予证明；
Ⅲ求使的取值范围．

21.  本小题分
现需要设计一个仓库，由上下两部分组成，如图，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱，正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍若，，求：
仓库的容积含上下两部分；
仓库的表面积不含底面．

22.  本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，已知的面积．
求；
作角的平分线交边于点，记和的面积分别为，，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：复数在复平面内所对应点的坐标为，
，
，
．
故选：．
根据已知条件，结合复数的几何意义，以及共轭复数的定义，即可求解．
本题主要考查复数的几何意义，以及共轭复数的定义，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查补集的求法，考查运算求解能力，是基础题．
利用补集的定义求解即可．

【解答】

解：，，
．
故选：．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查斜二测画法的应用，属于基础题．
将直观图还原成原来的图形，即平行四边形，由题意求出直观图中的长度，根据斜二测画法，求出原图形的高，即可求出原图形的面积．

【解答】

解：由题意正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，

所以原图形为平行四边形，且为其中一边，是其一条对角线
直观图中：计算得，
所以由斜二测画法知，对应原图形，即平行四边形的高为，
所以原图形的面积为：．
故选A．

4.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
利用二倍角公式以及特殊角的三角函数值即可求解．
本题考查了二倍角公式以及特殊角的三角函数值在三角函数求值中的应用，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为直线，且为增函数，排除，，
停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．排除．
能反映血液中药物含量随时间变化的图象是．
故选：．
根据在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减即可得出．
本题考查了直线与指数函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为，
所以由正弦定理，可得，所以，所以，
所以由余弦定理，可得
．
故选：．
由正弦定理化简已知等式可得，进而求出的值，再根据余弦定理求解的值即可．
本题考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为为的中点，
则，
因为为的中点，
则．
所以，
，，
则．
故选：．
利用向量的加减法运算法则，化简求解即可．
本题考查向量的四则运算，向量在几何中的应用，考查计算能力，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：长方体中，，，
所以长方体的对角线，
所以外接球的直径为，
所以外接球的表面积为．
故选：．
根据长方体的对角线是外接球的直径，由此求出外接球的表面积．
本题考查了长方体的结构特征应用问题，是基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：选项，圆柱的侧面积为，故A选项错误．
选项，圆锥的母线长为，
圆锥的侧面积为，故B选项错误．
选项，球的表面积为，
所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C选项正确．
选项，圆柱的体积为，
圆锥的体积为，
球的体积为，
所以圆柱、圆锥、球的体积之比为：：：：，故D选项正确．
故选：．
根据圆柱、圆锥侧面积、表面积、体积等知识求得正确答案．
本题考查了圆柱、圆锥、球的表面积及其体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，若，因为与任意向量平行，所以不一定与平行，故A错；
对于，向量数量积满足分配律，故B对；
对于，向量数量积不满足消去率，故C错；
对于，是以为方向的向量，是以为方向的向量，故D错．
故选：．
利用向量数量积所具备的相关性质逐一进行判断即可．
本题考查命题真假性的判断，掌握向量的相关性质即可，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，
故对于：函数的最小正周期为，故A正确；
对于：当时，，故B错误；
对于：由于函数，故C错误；
对于：当时，，故函数在该区间上单调递增，故D正确．
故选：．
首先利用函数的图象的平移变换求出函数的关系式为，进一步利用函数的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：函数的关系式的平移变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：在中，已知：：：：，
设，，，
对于：利用正弦定理：：：：：，
所以：：：：，与：：：：没有关系，故D错误；
对于：利用余弦定理，即，故B正确；
对于：由于，，，，
所以，
故，，，
利用余弦定理，所以，故，故C正确；
对于：由于，故A为钝角，所以是钝角三角形，故A正确．
故选：．
直接利用正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式的应用及向量的夹角运算判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，与共线，
则，解得．
故答案为：．
根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：取的中点，的中点，连接，，，
设的中心为，的中心为，连接，过点作，垂足为，如图所示，

易知为该三棱台的高，且四边形为矩形，
依题意，，
则，
又，
则，
又，
所以该三棱台的体积为．
故答案为：．
取的中点，的中点，设的中心为，的中心为，连接，过点作，根据已知数据可求得的长，即为棱台的高，再由棱台的体积公式求解即可．
本题考查棱台的结构特征以及棱台的体积计算，考查运算求解能力，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：在正方体中，
，依次是和的中点，
，是异面直线与所成角或所成角的补角，
设正方体中棱长为，则，
．
异面直线与所成角的余弦值为．
故答案为：．
推导出，从而是异面直线与所成角或所成角的补角，由此能求出异面直线与所成角的余弦值．
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：，，
则，
故．
故答案为：．
根据已知条件，推得，再结合三角函数的诱导公式，即可求解．
本题主要考查三角函数的诱导公式，属于基础题．
 

17.【答案】解：根据题意，，，
则，故．
根据题意，，，
则，，
则在方向上的投影向量为 

【解析】根据题意，求出的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案；
根据题意，由投影向量的计算公式计算可得答案．
本题考查平面向量数量积的计算，涉及投影向量的计算，属于基础题．
 

18.【答案】解：函数的最小正周期为且，
，即，得，
则，
由，，
得，，得，，
即函数的单调递增区间为，．
，，，
当或时，函数取得最小值，函数的最小值为，
当时，函数取得最大值，函数的最大值为，
即函数的值域为 

【解析】根据三角函数最小正周期的定义求出，求出的解析式，根据函数单调性进行求解即可．
求出角的范围，结合正弦函数的最值性质进行求解即可．
本题主要考查三角函数的图像和性质，根据周期公式求出函数的解析式，利用函数的单调性的性质和函数的最值性质进行求解是解决本题的关键，是基础题．
 

19.【答案】证明：连接，如图所示：

，分别是，的中点，
，
又平面，平面，
直线平面；
连接，如图所示：
，分别是，的中点，
，
又平面，平面，
平面，
由得平面，且平面，平面，，
平面平面． 

【解析】连接，则，利用线面平行的判定定理，即可证明结论；
连接，利用面面平行的判定定理，即可证明结论．
本题考查棱柱的结构特征，考查转化思想，考查逻辑推理能力和直观想象，属于中档题．
 

20.【答案】解：Ⅰ由函数其中，可得，即，
即，解得，故函数的定义域为．
Ⅱ由于函数的定义域关于原点对称，且满足，
故函数为奇函数．
Ⅲ由可得，即，，
解得，故所求的的取值范围为． 

【解析】Ⅰ由函数的解析式可得，即，由此求得故函数的定义域．
Ⅱ由于函数的定义域关于原点对称，且满足，可得函数为奇函数．
Ⅲ由可得，即，由此求得的取值范围．
本题主要考查对数函数的定义域，函数的奇偶性的判断，解分式不等式，属于中档题．
 

21.【答案】解：，，
，
，
，
仓库的容积；
，，
，
的面积为，
仓库的表面积． 

【解析】求出四棱锥的体积正四棱柱的体积，然后求解几何体的体积即可；
利用勾股定理求出，进而求出的面积，然后求解仓库的表面积不含底面．
本题考查几何体的体积和表面积的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：的面积．
，
即，
即，
，．
和的面积分别为，，
由正弦定理得，
，，
即 

【解析】结合三角形的面积公式建立方程进行求解即可
结合三角形的面积公式以及正弦定理进行化简求解即可
本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及正弦定理是解决本题的关键．