2022-2023学年河南省开封市杞县高中高一（下）第三次月考数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省开封市杞县高中高一（下）第三次月考数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知复数，为虚数单位，则复数的共轭复数为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  圆锥的底面直径和母线长都等于球的直径，则圆锥与球的表面积之比是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，一个水平放置的平面图形的直观图斜二测画法是一个底角为腰和上底长均为的等腰梯形，则这个平面图形的面积是(    )

 

A.  B.  C.  D.

4.  下列命题中正确的是(    )

A. 若、都是单位向量，则
B. 若，则、、、四点构成平行四边形
C. 若，且，则
D. 与是两平行向量

5.  为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论：
样本数据落在区间的频率为；
如果规定年收入在万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有的当地中小型企业能享受到减免税政策；
样本的中位数为万元．
其中正确结论的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若正三棱柱的所有棱长都相等，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  设向量，，且，则向量与的夹角为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知正方体的棱长为，，分别是棱，的中点，动点在正方形包括边界内运动，若面，则线段的长度范围是(    )

A.
B.
C.
D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  年上半年，中国养猪企业受猪价高位的利好影响，大多收获史上最佳半年报业绩，部分企业半年报营业收入同比增长超过倍某养猪场抓住机遇，加大了生猪养殖规模，为了检测生猪的养殖情况，该养猪场对头生猪的体重单位：进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是(    )

A. 这头生猪体重的众数为
B. 这头生猪中体重不低于的有头
C. 这头生猪体重的中位数落在区间内
D. 这头生猪体重的平均数为

10.  如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点、，且，则下列结论中正确的是(    )

A.
B. 平面
C. 三棱锥的体积为定值
D. 的面积与的面积相等

11.  在中，角，，所对的边分别为，，，若，则下列结论正确的是(    )

A.  B.
C.  D. 中的面积为

12.  已知复数为虚数单位在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是(    )

A. 点的坐标为 B.
C. 的最大值为 D. 的最小值为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  若复数满足，则 ______ ．

14.  从某项综合能力测试中抽取人的成绩统计如表，则这人成绩的标准差为______ ．

15.  已知，，，，，，，则 ______ ．

16.  正方体中，是的中点，则与所成角的余弦值为          ．

 

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知中，点在线段上，且，延长到，使设．
用表示向量；
若向量与共线，求的值．

 

18.  本小题分
某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间单位：分钟，并将所得数据绘制成频率分布直方图如图，其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．

Ⅰ求直方图中的值；
Ⅱ如果上学所需时间不少于小时的学生可申请在学习住宿，若该学校有名新生，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；
Ⅲ由频率分布直方图估计该校新生上学所需时间的平均值．

19.  本小题分
如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，是正三角形，，是的中点．
证明：；
求三棱锥的体积．

20.  本小题分
在中，，，分别为内角，，的对边，且
求；
若的面积，求的值．

21.  本小题分

某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西且与该港口相距海里的处，并以海里小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以海里小时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇。

Ⅰ若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

Ⅱ假设小艇的最高航行速度只能达到海里小时，试设计航行方案即确定航行方向与航行速度的大小，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。

22.  本小题分
如图，在直角梯形中，，，，为的中点，沿将折起，使得点到点位置，且，为的中点，是上的动点与点，不重合．

求证：平面平面；
是否存在点，使得二面角的余弦值？若存在，确定点位置；若不存在，说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
则，
故．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：设球的直径为，则圆锥的底面半径为，母线长为，
因为圆锥的额侧面展开图是扇形，
故扇形的半径为母线长，扇形的弧长就是圆锥的底面周长为，
故扇形的面积为，
即圆锥的侧面积为，
所以圆锥的表面积为，
球的表面积为，
所以圆锥与球的表面积之比是．
故选：．
球的直径为，则圆锥的底面半径为，母线长为，利用圆锥的侧面展开图是扇形，结合扇形的面积公式求出圆锥的侧面积，从而得到圆锥的表面积，再利用球的表面积公式求出球的表面积，即可得到答案．
本题考查了空间几何体的应用，涉及了圆锥的侧面展开图的应用、圆的表面积公式的应用，解题的关键是掌握圆锥与侧面展开图的扇形之间的关系．
 

3.【答案】 

【解析】解：由已知直观图根据斜二测化法规则画出原平面图形，
如图所示；
这个平面图形的面积为：
．
故选：．
由已知直观图根据斜二测化法规则画出原平面图形，
计算平面图形的面积即可．
本题考查了斜二侧画法的平面图形面积计算问题，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：单位向量模长都相等，但方向未必相同，故A错误；
，则，，，有可能四点共线，故B错误；
当，不共线时，也有，且，故C错误；
是相反向量，故D正确．
故选：．
根据平面向量的基本概念、平面向量共线的概念与性质判断即可，属于基础题．
本题考查平面向量的基本概念和性质，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意，得，
样本数据落在区间的频率为，
万元以内的概率约为成立，
由知，中位数在之间，设为，则由得，故成立，
综上：正确的有个，
故选：．
先求出的值，再根据题意算出所求的问题即可．
考查频率分布直方图求概率，估计总体，求中位数等，基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，连接
是的中点，是正三角形
，
平面平面，平面平面，
平面，
过点作，则由平面，得
由线面垂直的判定定理得平面，
于是即为直线与平面所成角，
由已知，不妨令棱长为，则，
由等面积法得
所以直线与面的正弦值为
故选：．
先证出平面，过点作，证平面，可知即为直线与平面所成角，求其正弦即可．
本题考查正棱柱的性质以及线面角的求法，考查空间想象能力以及点线面的位置关系．
 

7.【答案】 

【解析】解：向量，，且，
所以，
解得．
所以；
又，
所以；
又，所以向量与的夹角为．
故选：．
根据平面向量的坐标运算与数量积的定义，求出向量与的夹角大小．
本题考查了平面向量的数量积与夹角的运算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
取的中点，的中点，连接，，，取中点，连接，证明平面平面，从而得点的轨迹是线段，由此能求出线段的长度范围．

【解答】

解：取的中点，的中点，连接，，，取中点，连接，如图所示，

点，分别是棱长为的正方体中棱，的中点，
，，
平面，平面，
平面，同理，平面，
，，平面，
平面平面，
动点在正方形包括边界内运动，且面，
点的轨迹是线段，
，，
，
当与重合时，的长度取最小值为，
当与或重合时，的长度取最大值为．
线段的长度范围为
故选D．

9.【答案】 

【解析】解：对于，由频率分布直方图可得，这一组数据对应的小长方形最高，
所以这头生猪的体重的众数为，故A错误；
对于，这头生猪的体重不低于的有头，故B正确；
对于，因为生猪的体重在内的频率为，
在内的频率为，且，
所以这头生猪体重的中位数落在区间内，故C正确；
对于，这头生猪的体重的平均数为，故D正确．
故选：．
由众数的概念，结合频率分布直方图可判断；由图象找出体重不低于的那段，计算可判断；由中位数的概念和图象，可判断；由平均数的概念，结合图象计算可判断．
本题考查频率分布直方图的应用，考查读图能力、运算能力，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于选项，连接、，
四边形为正方形，，
平面，平面，
，又，且，平面，
平面，又平面，
，选项正确；
对于选项，平面平面，平面，
平面，选项正确；
对于选项，的面积为，
又点到平面的距离为定值，三棱锥的体积为定值，选项正确；
对于选项，设，取的中点，连接、，
由选项可知平面，即平面，又平面，
，又且，
四边形为平行四边形，
且，
、分别为、的中点，且，
四边形为平行四边形，平面，平面，，
四边形为矩形，，又，，平面，
平面，又平面，
，，
，选项错误．
故选：．
证明平面，可判断选项的正误；利用面面平行的性质可判断选项的正误；利用锥体的体积公式可判断选项的正误；判断到线段的距离与到线段的距离的关系，即可判断选项的正误．
本题考查线线垂直的证明，线面平行的证明，三棱锥的体积的求解，化归转化思想，属中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于，由题意得，所以，
因为，所以，，
因为，所以，
由正弦定理得，所以，所以，
所以，所以A错误；
对于，，
因为，所以，所以B正确；
对于，由正弦定理，得，所以C正确；
对于，，所以D错误，
故选：．
对于，由可求出，再结合，可得角为锐角，从而可求出的值；对于，利用两角和的余弦公式可求得的值，从而可求出角；对于，利用正弦定理求解即可；对于，利用三角形的面积公式直接求解即可．
本题考查了正余弦定理，解三角形，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：复数在复平面内对应的点为，故A正确；
B.复数，所以复数，故B正确；
C.设，所以，所以，表示的是复数和在复平面内对应的点的距离，故的最大值为，最小值为，故C正确，D错误．
故选：．
利用复数的几何意义、圆的方程即可判断出正误．
本题考查了复数的几何意义、圆的方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
所以．
故答案为：．
根据复数的除法运算求得复数，根据复数模的计算即可求得答案．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，


，
．
故答案为：．
从所给的表格中看清楚取得不同分数的人数，做出所有人的总分数，用总分数除以所有人数，得到这人成绩的平均数，再根据方差、标准差的概念直接运算即可．
本小题主要考查平均数、方差、标准差的概念及其运算，比较简单．
 

15.【答案】 

【解析】解：由可得，
故，
代入数据可得，
化简可得，解得
故答案为：
由题意可得，代入数据可得关于的方程，解之可得．
本题考查平面向量数量积的坐标运算，涉及向量的垂直的充要条件，属中档题．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查两条异面直线所成角，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，是中档题．
利用补形平移，构造三角形，根据余弦定理即可求出与所成角的余弦值．

【解答】

解：在正方体补形一个正方体，
点是的中点，设正方体边长为．
过作平行线，交的延长线于点，可得，
过作平行线，交的延长线于点，可得E.
E.
与所成角为或补角．
E.
．
在三角形中：
，，．
那么，
故答案为：．

17.【答案】解：，
为的中点，
，
可得，
而．
由，得，
与共线，
设，
即，
根据平面向量基本定理，得，
解得． 

【解析】本题考查了向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题．
由是中点，得，从而算出，再由向量减法法则即可得到；
根据的结论，可得关于向量的表示式，而，结合向量共线建立方程组，解之即可得到实数的值．
 

18.【答案】解：由直方图可得：，解得
Ⅱ新生上学时间不少于小时的频率为，
因为，所以名新生中有名学生可以申请住宿．
Ⅲ由题可知分钟．
故该校新生上学所需时间的平均值为分钟． 

【解析】本题考查频率分布直方图的理解与应用，属于中档题．
Ⅰ由直方图中各个矩形的面积为建立方程求．
Ⅱ计算出新生上学时间不少于小时的频率，再乘上新生的总人数即可得到申请住宿的人数．
Ⅲ根据直方图求平均值的公式，各个小矩形的面积乘以相应组距的中点的值，将它们相加即可得到平均值．
 

19.【答案】证明：，，
，，，
由余弦定理得，
，，
，，平面，则；
解：由知，平面平面，且平面平面，
是正三角形，取中点，连接，则平面，
，，
是的中点，到平面的距离．
． 

【解析】由已知推出，结合，得到平面，推出；
由是的中点，利用等积法求三棱锥的体积．
本题考查直线与平面垂直的判定及应用，考查空间想象能力及思维能力能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．
 

20.【答案】解：，
由正弦定理可得：，即：
可得：，化简可得：，
，
．
，
，
由，可得：，
，可得：，
由正弦定理可得： 

【解析】由正弦定理化简已知可得，结合范围，即可计算求解的值．
由可求，利用三角形面积公式可求，利用余弦定理可求，由正弦定理即可计算求解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

21.【答案】解：如图设小艇的速度为，时间为相遇，
则由余弦定理得：
即：
当时，取得最小值，此时，
要用时最小，则首先速度最高，即为：海里小时，则由可得：即：解得：，此时
此时，在中，，故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东，航行速度为海里小时，小艇能以最短时间与轮船相遇． 

【解析】如图设小艇的速度为，时间为相遇，则由余弦定理得：，即：再由二次函数法求解最值．
根据题意，要用时最小，则首先速度最高，即为：海里小时，然后是距离最短，则由可得：
即：解得：，再解得相应角．
本题主要考查函数模型的建立和应用，主要涉及了余弦定理，二次函数法求最值，还考查了数形结合的思想．
 

22.【答案】解：证明：由，，，
所以平面，又平面，
故，又，故BC平面，
平面，故E，
又等腰三角形，，
，故E平面，
又平面，
故平面平面；
以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
设，设，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
由，得，
平面的法向量为，
故，
得，
故存在为的中点． 

【解析】根据题意，先证明平面，再利用面面垂直的判定定理，证明结论；
以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，设，设，求出平面的法向量，利用夹角公式求出，得到结论．
考查线面垂直，面面垂直的判定定理与性质定理，考查向量法求二面角的余弦值，考查了空间想象能力和数学运算能力，中档题．