2022-2023学年陕西省榆林市绥德县等四校高二（下）第一次联考数学试卷（文科）（含解析）

2022-2023学年陕西省榆林市绥德县等四校高二（下）第一次联考数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知复数为虚数单位，则复数的实部为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则的大小为(    )

A.  B.  C.  D. 或

4.  已知是平面内不共线的两个向量，且，若，则实数(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知，是两个不重合的平面，且直线，则“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

6.  已知一组数据，，，，，，则该组数据的方差是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若函数为奇函数，则实数(    )

A.  B.  C.  D.

8.  用反证法证明“若，则或”时，应假设(    )

A. 或 B. 或 C. 且 D. 或

9.  已知，，，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  我国著名的数学家秦九韶在数书九章提出了“三斜求积术”，他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被除，所得的数作为“实”，作为“隅”，开平方后即得面积所谓“实”、“隅”指的是在方程中，为“隅”，为“实”这个求三角形面积的方法，可用如图所示的程序框图表示，若中，，，，利用这种方法可求出的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

11.  已知直线：与轴，轴分别交于，两点，点是圆：上的动点，若的面积的取值范围是，则(    )

A.  B.  C.  D.

12.  已知函数的定义域为，为的导函数，且，则不等式的解集是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  如图，将若干个点摆成三角形图案，每条边包括两个端点有个点，相应的图案中点的总数记为，则等于______ ．

14.  设复数，则 ______ ．

15.  若直线与曲线相切于点，则 ______ ．

16.  粽，即粽粒，俗称粽子，主要材料是糯米、馅料，用籍叶或箬叶、簕古子叶等包裹而成，形状多样，主要有尖角状、四角状等粽子由来久远，最初是用来祭祀祖先神灵的贡品某地流行的四角状的粽子，其形状可以看成一个棱长为的正四面体，现需要在粽子内部放入一个肉丸，肉丸的形状近似地看成球，则这个肉丸的体积的最大值是______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知曲线的参数方程是为参数，直线的方程为为参数．
求曲线与直线的普通方程；
求曲线上的点到直线的最大距离．

18.  本小题分
年月日下午，“天宫课堂”第三课在中国空间站问天实验舱开讲，神舟十四号飞行乘组航天员陈冬、刘洋、蔡旭暂在轨介绍了问天实验舱基本情况和植物生长研究项目，演示了微重力环境下毛细效应实验、水球变“懒”实验、太空趣味饮水、会调头的扳手等趣味实验某市组织全市中小学生观看了“天宫课堂”第三课，并随机抽取名中小学生进行了一次“飞天宇航梦”的调查，得到如下列联表：

若将样本频率视为概率，求从全市中小学生中随机选择名学生，此学生有“飞天字航梦”的概率；
完成上面的列联表，能否有的把握认为学生性别和有“飞天字航梦”有关？
附：，其中．
临界值表：

19.  本小题分
已知数列是由正数组成的等比数列，且，．
求数列的通项公式；
设数列满足，求数列的前项和．

20.  本小题分
已知．
求函数的最小正周期；
已知，均为锐角，，，求的值．

21.  本小题分
已知函数．
若，求的极值；
求在区间上的最小值．

22.  本小题分
已知，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且．
求椭圆的方程；
已知，两点的坐标分别是，，若过点的直线与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过点，求出直线的所有方程．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为，，
则．
故选：．
由已知结合基本的并集运算即可求解．
本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为，
所以的实部为．
故选：．
先根据复数的乘法求出，然后根据定义得到实部．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为，，，
由正弦定理得，
因为．
所以，
则．
故选：．
由已知结合正弦定理先求出，然后结合三角形大边对大角即可求解．
本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，共线则存在使，
即
，解得：．
故选：．
利用向量共线的充要条件列出方程，利用平面向量的基本定理求出．
本题考查向量共线的充要条件、平面向量的基本定理，掌握平面内任一向量都可以用两个不平行向量来表示；掌握基底的概念，并能够用基表示平面内的向量．
 

5.【答案】 

【解析】解：由，若，则，可能平行或，充分性不成立；
由，，由面面垂直的判定知，必要性成立．
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
由线面、面面关系，结合平面的基本性质判断线面关系，根据面面垂直的判定判断线面是否平行，再由充分、必要性定义判断条件间的充分、必要关系．
本题考查线面，面面的位置关系以及充要条件的判断，考查逻辑推理能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：数据的平均数为，
则该组数据的方程为．
故选：．
根据已知条件，结合方差和平均数公式，即可求解．
本题主要考查方差和平均数公式，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为函数为奇函数，定义域为，
所以，即，解得，
经检验，当时，是奇函数．
故选：．
由函数为上的奇函数，可得，进而可得出答案．
本题主要考查了奇函数定义的应用，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：命题“若，则或”的结论为或，
则应假设且．
故选：．
根据反证法的定义，将结论取反，即可求解．
本题主要考查反证法的应用，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，，
即，，
则的最大值为，
当且仅当，即，取等号．
故选：．
直接利用基本不等式即可．
本题考查基本不等式，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据程序框图直接将，，，代入，得，
执行下一步，得，
故输出的值为．
故选：．
根据条件，将数值直接代入计算即可．
本题主要考查了程序框图的应用问题，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意可得，，，所以，
点到直线的距离，
设点到直线的距离为，则，
因为的面积的取值范围是，
所以，因此直线与圆相离，
所以，即，
所以，解得．
故选：．
求得，，，可得到直线的距离，设点到直线的距离为，从而可得，利用可求．
本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意，构造函数，
则，
所以函数在上单调递增，
又，即，
所以，即，解得．
故选：．
构造，由导函数得到其单调性，从而由单调性解不等式求出答案．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意，分析可得，，，，
归纳可得：，
故．
故答案为：．
根据题意，分析、、、的值，归纳数列的通项，计算可得答案．
本题考查归纳推理的应用，注意分析图表中点数的规律，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为，，
则．
故答案为：．
由已知结合复数的四则运算及复数的模长公式即可求解．
本题主要考查了复数的四则运算及复数的模长公式的应用，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由得，直线与曲线相切于点，
，解得．
故答案为：．
求出原函数的导函数，由已知可得关于，，的方程组，求解得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：当肉丸的体积最大时，肉丸所成的球是该正四面体的内切球，
如图，设正四面体的高为，内切球的半径为，
所以，所以，
正四面体的表面积为，
根据等体积法，得，即，
解得，所以，
即肉丸的体积的最大值为．
故答案为：．
由题意，当肉丸的体积最大时，肉丸所成的球是该正四面体的内切球，计算正四面体的表面积与体积，再根据等体积法求解出内切球的半径，代入球的体积公式计算即可．
本题考查球的体积相关计算，属于中档题．
 

17.【答案】解：曲线的参数方程是为参数，
则消去参数可得，，
直线的方程为为参数，
则消去参数可得，；
设曲线上的点，
则到直线的距离，
当时，取得最大值． 

【解析】根据已知条件，依次消去参数，，即可求解；
根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及三角函数的有界性，即可求解．
本题主要考查参数方程的应用，考查转化能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：由表中数据可知，名学生中，有名学生有“飞天宇航梦”，
将频率视为概率，从全市中小学生中随机选择名学生，
此学生有“飞天字航梦”的概率，
列联表如下：

提出零假设：学生性别与“飞天宇航梦”无关．
由表中数据可得，
根据小概率值的独立性检验可知，零假设不成立，
即学生性别和“飞天宇航梦“有关，此推断犯错误的概率不超过，
故有的把握认为学生性别和“飞天宇航梦“有关． 

【解析】将频率视为概率，用有“飞天宇航梦”的学生人数除以总人数即可得所求事件概率；
根据独立性检验的基本思想和卡方公式即可得出结论．
本题考查统计中的独立性检验，属基础题．
 

19.【答案】解：设等比数列的公比为，
由，得，
即，解得或舍去，
又，，解得，
所以；
，
所以

． 

【解析】设等比数列的公比为，由已知可得，可求公比，进而可得首项，进而可求数列的通项公式；
，利用分组求和法可求数列的前项和．
本题考查求等比数列的通项公式，考查利用分组求和法求数列的前项和，属中档题．
 

20.【答案】解：

，
故函数的最小正周期；
，
则，解得，
，均为锐角，，
，，
． 

【解析】根据已知条件，结合三角函数的恒等变换，以及最小正周期公式，即可求解；
根据已知条件，结合三角函数的同角公式，以及正弦的两角差公式，即可求解．
本题主要考查三角函数的恒等变换，考查转化能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：由题设且，
则，
当或时，，当时，，
故在、上递增，在上递减，
所以极大值，极小值．
由，
当时，在、上，，在上，，
所以在、上递增，在上递减，
故上最小值为；
当时，在上，，
即在上递增，
故上最小值为；
当时，在、上，，在上，，
所以在、上递增，在上递减，
若，上最小值为；
若，上最小值为；
若，上最小值为；
综上，时，最小值为；时，最小值为；时，最小值为． 

【解析】利用导数研究的单调性，进而判断并求出的极值；
对求导，讨论、、对应的符号确定的单调性并求最值，注意时讨论与区间位置关系求最值，即可得结果．
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值和最值，考查运算求解能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：点在椭圆上，且．
，即，则，
，则，
则，即，
则，
即椭圆方程为．
，，
若直线的斜率不存在，此时：，，，则以为直径的圆过点，满足条件，此时，
若存在，则直线方程为，代入得，
设，，
则，
，，
若为直径的圆过点，则，
即，即，
即，
即，
，
，即，
即
即，
即，得满足判别式，此时：，
综上直线的方程为或． 

【解析】利用点在椭圆上，且求出和，即可．
设出直线方程，联立方程根据圆直径性质得到，利用设而不求思想进行转化求解即可．
本题主要考查椭圆方程的求解以及直线和椭圆位置关系的应用，联立方程组，利用韦达定理以及设而不求思想进行求解是解决本题的关键，是中档题．