2022-2023学年安徽省亳州市谯城区蒙城中学学联盟八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省亳州市谯城区蒙城中学学联盟八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列式子中，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列是一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列线段不能组成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

5.  下列运算错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  清明节当天八年级某班组织学生去烈士林园为革命先烈扫墓，以此表达对先烈的追思和崇敬之情，细心灯小明发现革命烈士纪念塔的塔底平面为八边形，这个八边形的内角和(    )

A.  B.  C.  D.

7.  冰墩墩是年北京冬季奥运会的吉祥物，其以国宝熊猫为原型设计创作，将熊猫憨态可掬的形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冬季冰雪运动和现代科技的特点，一经开售供不应求．已知该款吉祥物在某电商平台上月日的销售量为个，月日和月日的总销售量是个．若月日和日较前一天的增长率均为，则满足的方程是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  已知是一元二次方程的一个根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，将四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为已知，大正方形的边长为，则小正方形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，长方形中，，，点为线段上的一个动点，将沿折叠得到，连接，当为直角三角形时，的长为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.  在函数中，自变量的取值范围是______ ．

12.  已知▱中，：：，则______度．

13.  如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为______．
 

14.  已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
的取值范围为______ ；
若为正整数，且该方程的根都是整数，则的值为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：．

16.  本小题分
解方程
配方法；
公式法．

17.  本小题分
在平行四边形中，对角线和交于点若，，求的周长．

18.  本小题分
已知、是一元二次方程的两个根，求的值．

19.  本小题分
如图，一块铁皮图中阴影部分，测得，，，，求阴影部分的面积．
 

20.  本小题分
“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
测得水平距离的长为米；
根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；
牵线放风筝的小明的身高为米．
求风筝的垂直高度；
如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？

21.  本小题分
观察下列各式：
，，，
请写出第个式子；
请你将猜想到的规律用含为正整数的代数式表示出来，并验证你所发现的规律．

22.  本小题分
年月日，神舟十五号发射升空，中国首次实现空间站三船三舱构型，以及名航天员同时在轨驻留某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型已知该模型平均每天可售出个，每个盈利元为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低元，平均每天可以多售出个．
若每个模型降价元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？
在每个模型盈利不少于元的前提，要使“中国空间站”模型每天获利元，每个模型应降价多少元？

23.  本小题分
如图，在中，，，点是边上一动点，连接，以线段为腰作等腰直角，．
求证：是直角三角形；
若，，求的长；
当面积最小时，请你写出线段与线段之间的位置关系和数量关系，并说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是最简二次根式，故选项不符合题意；
B、不是二次根式，故选项不符合题意；
C、不是最简二次根式，故选项不符合题意
D、是最简二次根式，故选项符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义即可解答．
本题主要考查最简二次根式，正确理解最简二次根式的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，符合一元二次方程的定义，故此选项正确，符合题意；
B.，含有两个未知数，故此选项错误，不符合题意；
C.，含有两个未知数，故此选项错误，不符合题意；
D.，是一元一次方程，故此选项错误，不符合题意．
故选：．
本题根据一元二次方程的定义分别进行判断，即可解答．
本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义，通过化简后，只含有一个未知数一元，并且未知数的最高次数是二次的整式方程，叫做一元二次方程．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故选：．
根据算术平方根的非负性即可求解．
本题主要考查了算术平方根，掌握算术平方根的双重非负性是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，能组成直角三角形，
故本选项不符合题意；
B、，
能组成直角三角形，
故本选项不符合题意；
C、，
能组成直角三角形，
故本选项不符合题意；
D、，
不能组成直角三角形，
故本选项符合题意．
故选：．
根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一分析即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
 

5.【答案】 

【解析】解：．


，
则不符合题意；
B.


，
则符合题意；
C.


，
则不符合题意；
D.


，
则不符合题意；
故选：．
根据二次根式的除法法则进行计算即可．
本题考查二次根式的除法运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

6.【答案】 

【解析】解：八边形的内角和为：，
故选：．
利用多边形内角和公式即可求得答案．
本题考查多边形的内角和公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意可得：
月日的销量为：，
月日的销量为：，
故．
故选：．
根据题意分别表示出月日和月日的销量，进而相加得出等式即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出月日的销量是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：把代入方程得，
所以，
所以．
故选：．
把代入方程得，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：，
每一个直角三角形的面积为：，
，
，
即小正方形的面积为．
故选：．
由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的面积．
本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．
 

10.【答案】 

【解析】解：沿折叠得到，
，，，
是直角三角形，点在线段上，即，
、、三点共线，
，
又，
，
，
在中，，
，
故选：．
由折叠性质得到，，，进而得到、、三点共线，根据等面积法可求得的长，再利用勾股定理求得，即可求解．
本题考查折叠性质、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握折叠性质，会利用等面积法求出是解答的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据分式的分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握分式的分母不为是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
：：，
，
．
故答案为：．
由在平行四边形中，已知：：，根据平行四边形的邻角互补，即可求得答案．
此题考查了平行四边形的性质．注意掌握平行四边形的邻角互补定理的应用是解此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
由勾股定理可得，再用三个等腰直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，代入计算即可求得阴影部分的面积．
【解答】
解：因为，
所以．
故答案为：．
【点评】
本题主要考查了勾股定理的应用，运用勾股定理得出阴影部分的面积与之间的关系是解题关键．  

14.【答案】   

【解析】解：根据题意得：，
解得：；
故答案为：；
由为正整数，得到或，
利用求根公式表示出方程的解为，
方程的解为整数，
为完全平方数，
则的值为，
故答案为：．
根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围；
找出范围中的整数解确定出的值，经检验即可得到满足题意的值．
此题考查了一元二次方程根的判别式及公式法解一元二次方程，弄清题意是解本题的关键．
 

15.【答案】解：原式

． 

【解析】先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可．
本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

16.【答案】解：，
，
，
，；

这里，，，
，
，
则，． 

【解析】利用平方根的定义开方转化为两个一元一次方程来求解；
找出，及的值，计算出根的判别式的值大于，代入求根公式即可求出解．
此题考查了解一元二次方程公式法，以及配方法，熟练掌握解法是解本题的关键．
 

17.【答案】解：四边形是平行四边形，且，，，
，，
的周长为：． 

【解析】由四边形是平行四边形，且，，，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得与的长，继而可求得答案．
本题重点考查了平行四边形的性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：平行四边形两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分．
 

18.【答案】解：、是一元二次方程的两个根，
，，



． 

【解析】根据根与系数的关系得到，，代入所求代数式即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

19.【答案】解：如图，连接         
在中，，，，
．
，，，
，
是直角三角形，
．
故阴影部分的面积是． 

【解析】先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，进而可得出结论．
本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，三角形的面积等知识，先根据题意判断出是直角三角形是解答此题的关键．
 

20.【答案】解：在中，
由勾股定理得，，
所以，负值舍去，
所以，米，
答：风筝的高度为米；
设风筝从点下降到点，连接，

由题意得，米，
米，
米，
，
他应该往回收线米． 

【解析】利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
 

21.【答案】解：观察规律可得，第个式子为：；
第个式子为，
验证如下：
当时，，
当时，． 

【解析】观察规律可写出第个式子；
结合用表示，再验证即可．
本题考查算术平方根，解题的关键是观察得到各式的规律．
 

22.【答案】解：

个；


元．
答：若每个模型降价元，平均每天可以售出个模型，此时每天获利元；
设每个模型应降价元，则每个模型可盈利元，平均每天可售出个，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又每个模型盈利不少于元，
．
答：每个模型应降价元． 

【解析】利用平均每天的销售量每个模型降低的价格，可求出平均每天的销售量；利用总利润每个的销售利润日销售量，可求出此时每天获得的总利润；
设每个模型应降价元，则每个模型可盈利元，平均每天可售出个，利用总利润每个的销售利润日销售量，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

23.【答案】证明：，，
，
是等腰直角三角形，，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
是直角三角形；
解：是等腰直角三角形，，
，
，
，，
，
，
，
由知，≌，是直角三角形，
，
，
；
解：，，理由如下：
当面积最小时，最小，
当时，最小，
，
，
，
，
综上，当面积最小时，，． 

【解析】根据等腰直角三角形的性质及角的和差推出，利用证明≌，根据全等三角形的性质推出，进而得出，据此即可得解；
根据等腰直角三角形的性质及勾股定理求出，，根据线段的和差求出，根据全等三角形的性质及勾股定理求出，据此求解即可；
根据三角形面积公式推出当面积最小时，最小，根据垂线段最短推出当时，最小，根据三角形内角和定理求出，根据等腰三角形的判定及等腰三角形的性质即可得解．
此题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题的关键．