2023年四川省绵阳市游仙区中考数学三诊试卷（含解析）

这是一份2023年四川省绵阳市游仙区中考数学三诊试卷（含解析），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 实数−2023的相反数是( )
A. −2023B. −12023C. 2023D. 12023
2. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列与扬州有关的标识或简图中，不是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3. 2023年“五一”假日期间，群众出游热情高涨，四川省接待游客约4000万人次，实现旅游收入201.23亿元，其中4000万用科学记数法表示为( )
A. 4×107B. 0.4×108C. 4×103D. 40×106
4. 一副直角三角板(∠ACB=30°,∠BED=45°)按如图所示的位置摆放，如果AC//DE，那么∠EBC的度数是( )
A. 15°
B. 20°
C. 30°
D. 35°
5. 劳动教育是学校贯彻“五育并举”的重要举措，某校倡议学生在家做一些力所能及的家务劳动，李老师为了解学生每周参加家务劳动的时间，随机调查了本班20名学生，收集到如下数据：
关于家务劳动时间的描述正确的是( )
A. 众数是6B. 平均数是4C. 中位数是3D. 方差是1
6. 与 2×( 40− 2)最接近的整数是( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
7. 游仙是三国故地，古绵治所，历史悠久，风景优美.富乐山，越王楼，仙海风景区，绵阳科技馆已是游仙响亮的代名词.某校课外兴趣小组设计了4张旅游宣传卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同.将这4张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的卡片正面图案恰好是“富乐山”和“越王楼”的概率为( )
A. 18B. 16C. 14D. 12
8. 某地突发地震，为了紧急安置40名地震灾民，需要搭建可容纳6人或4人的帐篷，若所搭建的帐篷恰好(既不多也不少)能容纳这40名灾民，则不同的搭建方案有( )
A. 2种B. 3种C. 4种D. 6种
9. 已知关于x的方程4x2−(k+5)x−k−9=0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1=−1，0A. −18C. −910. 如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A(0,2)、B(1,0)、C(2,1)，若二次函数y=x2+bx+1的图象与阴影部分(含边界)一定有公共点，则实数b的取值范围是( )
A. b≤−2
B. b<−2
C. b≥−2
D. b>−2
11. 如图，直角三角形BEF顶点F在矩形ABCD的对角线AC上运动，连接AE.∠EBF=∠ACD，AB=6，BC=8，则AE的最小值为( )
A. 5425B. 125C. 145D. 7225
12. 如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD=12，线段PQ在边BA上运动，PQ=12，有下列结论：
①CP与QD可能相等；
②△AQD与△BCP可能相似；
③四边形PCDQ面积的最大值为31 316；
④四边形PCDQ周长的最小值为3+ 372．
其中，正确结论的序号为( )
A. ①④B. ②④C. ①③D. ②③
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13. 多项式2m2n+6mn−4m3n的公因式是______ ．
14. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为中心，把点A(2,1)顺时针旋转90°得到点B(x,y)，则x+y的值为 ．
15. 某水上乐园在一平地推出了“急流勇进”的项目，项目有两条斜坡滑道以满足不同的难度需求，游客可以乘坐垂直升降电梯AB自由上下选择项目难度.其中斜坡轨道BC的坡度为i=5：12，BC=13米，CD=16米，∠D=32°(其中点A、B、C、D均在同一平面内)，则垂直升降电梯AB的高度约为______ 米.(参考数据：sin32°≈0.530，cs32°≈0.848，tan32°≈0.625)
16. 如图所示，扇形OAB中∠AOB=120°，OB=2，点C为AB的中点，点D为AO的中点，连接AB、CD交于点P，则阴影部分图形的面积是______ (结果保留π)．
17. 若关于x的一元一次不等式组x−2318. 如图，在正方形ABCD中，AD=6，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，连接DF交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM.连接DM.交EF于点N.若AF=2.则△EMN的面积是______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题16.0分)
(1)计算：( 3)2+(4−π)0−|−3|+ 2cs45°．
(2)先化简，再求值：(x−1−3x+1)÷x2+4x+4x+1，其中x=|1− 2|−2cs60°．
20. (本小题10.0分)
天舟六号是世界现役运输能力最大的货运飞船，5月10日，由中国航天科技集团五院研制的天舟六号货运飞船由长征七号遥七运载火箭发射升空，随后顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功.为庆祝我国航天事业取得的辉煌成就，学校开展了航天知识竞赛活动，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A组(60≤x<70)；B组(70≤x<80)；C组(80≤x<90)；D组(90≤x<100)，并绘制出如图不完整的统计图．
(1)求被抽取的学生成绩在C组的有多少人？并把条形统计图补完整；
(2)若该学校有1500名学生，估计这次竞赛成绩在A组的学生有多少人？
(3)现学校为获得最高分的甲、乙、丙三名同学颁发荣誉证书，在不知道证书内姓名的情况下随机发给三名同学，请用列表法或树状图法求出每个同学拿到的证书恰好都是自己的概率．
21. (本小题12.0分)
我市创全国卫生城市，某街道积极响应，决定在街道内的所有小区安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买4个垃圾箱比购买5个温馨提示牌多350元，垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．
(1)求垃圾箱和温馨提示牌的单价各是多少元？
(2)如果该街道需购买温馨提示牌和垃圾箱共3000个．
①求购买温馨提示牌和垃圾箱所需费用w(元)与温馨提示牌的个数m的函数关系式；
②若该街道计划购买温馨提示牌与垃圾箱的总费用不超过35万元，而且垃圾箱的个数不少于温馨提示牌的个数的1.5倍，问：该街道所购买的温馨提示牌多少个时，所需费用最省？最省费用是多少？
22. (本小题12.0分)
如图，已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，E，F分别在边AB，AD上，△ECF是等边三角形，对角线AC交EF于点M，点N在AC上，且AN=BE．
(1)求证：∠BCE=∠FCM；
(2)若BC=3，BE=1，求MN的值．
23. (本小题12.0分)
如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为(8,4)，OA，OC分别落在x轴和y轴上，将△OAB绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到△ODE，OD与CB相交于点F，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点F，交AB于点G．
(1)求k的值；
(2)若点P在坐标轴上运动，求动点P的坐标，使S△PFG=S△BFG．
24. (本小题14.0分)
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，F为⊙O过点B的切线上的一点，连接AF、BC交于点E，AF交⊙O于点D，∠CBF=2∠BAF．
(1)求证：点D为弧BC的中点；
(2)连接BD，过点D作DG⊥AB于点H，交⊙O于点G，连接CG，交AD于点N，求证：CN+BD=NG．
(3)在(2)的条件下，CN=6，tan∠G=12，求⊙O的半径．
25. (本小题14.0分)
如图，二次函数的图象分别交x轴于点A(−1,0)、点B(m,0)，交y轴于点C(0,m)(其中m>1)，连接AC、BC，点D为△ABC的外心，连接AD、BD、CD．
(1)这条抛物线的表达式为______ (用m的代数式表示)；
(2)若△CDB的面积为 52，请求出m的值；
(3)在(2)的条件下，连接OD，在直线BC上是否存在一点P，使得以点B、D、P为顶点的三角形和△AOD相似，若存在，求出点P的纵坐标，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：实数−2023的相反数是2023．
故选：C．
根据相反数的定义，即可解答．
本题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了轴对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可．
【解答】
解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
3.【答案】A
【解析】解：4000万=40000000=4×107．
故选：A．
根据科学记数法的概念，即可解答．
本题考查了科学记数法的概念，即把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式(1≤|a|<10,a不为分数形式，n为整数)，这种记数法叫做科学记数法，熟知概念是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵∠E=45°，AC//DE，
∴∠BED=∠AGB=45°，
∵∠ACB=30°，
∴∠EBC=∠AGB−∠ACB=45°−30°=15°．
故选：A．
在Rt△BDE中，由两角互余得∠BED=45°，根据直线AC//DE得∠BED=∠AGB，再由三角形外角的性质即可求解．
本题综合考查了平行线的性质，三角形的外角的性质等相关知识，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，三角形的外角的性质等知识．
5.【答案】B
【解析】解：A.每周参加家务劳动的时间为5 h和3 h出现的次数最多，故众数是5和3，故本选项不符合题意；
B.平均数是6×2+5×6+4×4+3×6+2×220=4，故本选项符合题意；
C.中位数是4+42=4，故本选项不符合题意；
D.方差为120×[2×(6−4)2+6×(5−4)2+4×(4−4)2+6×(3−4)2+2×(2−4)2]=1.4，故本选项不符合题意．
故选：B．
排序后位于中间或中间两数的平均数即为中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
本题主要考查了众数、平均数以及方差的计算，注意：极差只能反映数据的波动范围，众数反映了一组数据的集中程度，平均数是反映数据集中趋势的一项指标，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．
6.【答案】D
【解析】解： 2×( 40− 2)
= 80−2
=4 5−2，
∵ 81=9，
∴ 80接近9，
∴ 80−2接近7．
∴与 2×( 40− 2)最接近的整数是7．
故选：D．
先根据二次根式混合运算的法则计算，然后估算结果即可．
本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
7.【答案】B
【解析】解：富乐山，越王楼，仙海风景区，绵阳科技馆分别用A、B、C、D表示，
画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中抽取的卡片正面图案恰好是“富乐山”和“越王楼”的结果数为2，
所以抽取的卡片正面图案恰好是“富乐山”和“越王楼”的概率=212=16．
故选：B．
富乐山，越王楼，仙海风景区，绵阳科技馆分别用A、B、C、D表示，画树状图展示所有12种等可能的结果，找出抽取的卡片正面图案恰好是“富乐山”和“越王楼”的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
8.【答案】C
【解析】解：设搭建可容纳6人的帐篷x个，可容纳4人的帐篷y个，
依题意得：6x+4y=40，
∴y=10−32x.
又∵x，y均为自然数，
∴x=0y=10或x=2y=7或x=4y=4或x=6y=1，
∴不同的搭建方案有4种．
故选：C．
设搭建可容纳6人的帐篷x个，可容纳4人的帐篷y个，根据所搭建的帐篷恰好(既不多也不少)能容纳这40名灾民，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为自然数，即可得出共有4种搭建方案．
本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵方程4x2−(k+5)x−k−9=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=[−(k+5)]2−4×4×(−k−9)=(k+13)2>0，
解得：k≠−13，
∵x1x2=−k−94，x1=−1，
∴x2=k+94
又∵0∴0解得：−9综上，k的取值范围为：−9故选：C．
根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．根据x1x2=−k−94，x1=−1，可得x2=k+94，结合0此题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，关键是得到x2=k+94．
10.【答案】C
【解析】解：抛物线y=x2+bx+1与y轴的交点为(0,1)，
∵C(2,1)，
∴对称轴x=−b2≤1时，二次函数y=x2+bx+1的图象与阴影部分(含边界)一定有公共点，
∴b≥−2．
故选：C．
对称轴x=−b2≤1时，二次函数y=x2+bx+1的图象与阴影部分(含边界)一定有公共点．
本题考查了二次函数图象与系数的关系．解题时，利用了二次函数图象上点的坐标特征来求b的取值范围．
11.【答案】D
【解析】解：过点B作BH⊥AC于点H，连接EH，如图所示：
∴∠BEF=∠BHF=90°，
∴E、B、F、H四点共圆，
∴∠EHB=∠EFB，
∵∠AHE+∠EHB=90°，∠EBF+∠EFB=90°，
∴∠AHE=∠EBF，
∵∠EBF=∠ACD，
∴∠AHE=∠ACD=定值，
∴点E在射线HE上运动，
当AE⊥EH时，AE的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6，BC=AD=8，∠D=90°，
∴AC= CD2+AD2= 62+82=10，
∴sin∠AHE=sin∠ACD=ADAC=45，
∵S△ACB=12AB⋅CB=12AC⋅BH，
即12×6×8=12×10×BH，
∴BH=245，
在Rt△AHB中，由勾股定理得：AH= AB2−BH2= 62−(245)2=185，
∴AE的最小值=AH⋅sin∠AHE=185×45=7225．
故选：D．
过点B作BH⊥AC于点H，连接EH，由∠BEF=∠BHF=90°，推出E、B、F、H四点共圆，再证∠AHE=∠ACD=定值，推出点E在射线HE上运动，当AE⊥EH时，AE的值最小，然后求出AH与sin∠AHE，即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质、锐角三角函数的定义、勾股定理、四点共圆、圆周角定理、轨迹、三角形面积以及最小值问题等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质，利用垂线段最短解决最值问题是解题的关键．
12.【答案】D
【解析】解： ①在△ABC中可知PC恒大于PD，PD大于等于DQ，
∴PC>DQ，故 ①错误;
②∵∠A=∠B=60∘，
∴当ADBP=AQBC时，△AQD∽△BCP，
设BP=a，则AQ=52−a，
则12a=52−a3，
整理得2a2−5a+3=0，△=(−5)2−4×2×3=1>0，故方程有解，故 ②正确;
③设AQ=x，
则S四边形PCDQ=12×3×3 32−12×12× 32x−12×(3−x−12)×3 32=3 38+5 38x．
∵x的最大值为3−12=52，
∴当x=52时，四边形PCDQ的面积最大，最大值为31 316，故 ③正确;
④如图，作点D关于AB的对称点D′，作D′F//PQ，且D′F=PQ，连接CF交AB于点P′，在射线P′A上取P′Q′=PQ，此时四边形PCDQ的周长最小.过点C作CH⊥D′F交D′F 的延长线于点H，交AB于点J．
由题意得DD′=2AD·sin60∘= 32，HJ=12DD′= 34，CJ=3 32，
FH=32−12−14=34，
∴CH=CJ+HJ=7 34，
∴CF= FH2+CH2= (34)2+(7 34)2= 392，
∴四边形PCDQ的周长的最小值为3+ 392，故 ④错误，
所以正确的有 ② ③，
故选D．
①根据三角形的边角关系即可判断①．
②当ADBP=AQBC时，△AQD∽△BCP，整理得到一元二次方程，根据根的判别式判断方程有解，即可判断②．
③设AQ=x，则S四边形PCDQ=3 38+5 35x，当x取最大值时，可得结论，即可判断③．
④如图，作点D关于AB的对称点D′，作D′F//PQ，且D′F=PQ，连接CF交AB于点P′，在射线P′A上取P′Q′=PQ，此时四边形PCDQ的周长最小.求出CF的长即可判断④．
本题考查相似三角形的判定和性质，一次函数的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13.【答案】2mn
【解析】解：∵2m2n+6mn−4m3n
=2mn⋅m+2mn×3−2mn⋅2m2
=2mn(m+3−2m2)，
∴多项式2m2n+6mn−4m3n的公因式是2mn．
故答案为：2mn．
一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的．
本题考查了公因式的定义，熟练掌握公因式的定义是解答本题的关键．一个多项式的各项都含有的相同的因式叫做这个多项式各项的公因式．
14.【答案】−1
【解析】
【分析】
根据题意作出图形，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，利用旋转的性质证明△OAC≌△BOD，推出OD=AC=1，BD=OC=2，即可得出点B的坐标，最后相加即可求解．
本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
【解答】
解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
∴∠ACO=∠BDO=90°，
∵点A(2,1)，
∴OC=2，AC=1，
∵点A(2,1)顺时针旋转90°得到点B，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOD=90°，OA=OB，
又∵∠AOC+∠OAC=90°，
∴∠BOD=∠OAC，
在△OAC和△BOD中
∠ACO=∠BDO∠BOD=∠OACOA=OB
∴△OAC≌△BOD(AAS)，
∴OD=AC=1，BD=OC=2，
即x=1，y=−2，
∴x+y=1+(−2)=−1．
故答案为：−1．
15.【答案】12.5
【解析】解：如图，延长AB和DC相交于点E，

由BC的坡度为i=5：12，得BE：CE=5：12．
设BE=5x米，CE=12x米，
在Rt△BCE中，由勾股定理，得BE2+CE2=BC2，
即(5x)2+(12x)2=132，
解得x=1(负值舍去)，
即BE=5米，CE=12米，
∴DE=DC+CE=16+12=28(米)，
由tan32°≈0.625，得tanD=AEDE，
∴AE=DE×tanD=28tan32°(米)．
∴AB=AE−BE=28tan32°−5≈12.5(米)．
故答案为：12.5．
延长AB和DC相交于点E，根据勾股定理，可得CE，BE的长，根据正切函数，可得AE的长，再根据线段的和差，可得答案．
本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线构造直角三角形，利用勾股定理得出CE，BE的长度是解题关键．
16.【答案】23π− 33
【解析】
解：连接AC，OC交AB于点Q，
∵点C为AB的中点，
∴AB⊥OC，
∵∠AOB=120°，OB=2，
∴∠BOC=∠AOC=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形
∴OQ=CQ=1，QB= 32OB= 3，
∵点D为AO的中点，
∴CD⊥AO，
∴∠OCD=30°，
∴PQ=CQ⋅tan30°= 33，
∴S扇形BOC=60π×22360=23π，S△BOQ=12×1× 3= 32，S△PQC=12×1× 33= 36，
∴S阴影=23π− 32+ 36=23π− 33．
故答案为：23π− 33．
利用垂径定理已经等边三角形的性质得到OQ=CQ=1，QB= 32OB= 3，解直角三角形求得PQ=CQ⋅tan30°= 33，然后根据S阴影=S扇形BOC−S△BOQ+S△PQC求得即可．
本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算及应用求不规则图形面积的方法进行求解是解决本题的关键．
17.【答案】−3
【解析】解：x−23解不等式①得：x>−52，
解不等式②得：x≤3−a，
根据题意可知不等式组的解集为−52∵关于x的一元一次不等式组x−23∴不等式组的整数解至少包括−2，−1，
∴3−a≥−1，
解得：a≤4，
关于y的分式方程y−ay−2+12−y=−1变形为：
y−ay−2−1y−2=−1，
去分母得，y−a−1=−(y−2)，
解得，y=a+32，
∵a≤4，
∴y=a+32≤72，
∵y是正整数且y≠2，
∴y=1或3，
∴a=−1或3，
∴所有满足条件的整数a的值之积是−1×3=−3，
故答案为：−3．
先解关于x的一元一次不等式组，根据不等式组至少有2个整数解求出a的取值范围，然后解关于y的分式方程，根据分式方程的解是正整数确定y的值，从而求出a的值，然后计算出满足条件的整数a的值之积即可．
本题考查了解一元一次不等式组和分式方程，熟练掌握一元一次不等式组的解法以及分式方程的解法，根据解的情况确定a的取值范围是解题的关键．
18.【答案】32
【解析】解：如图，取DF的中点K，连接AK，EK.连接GM交EF于H．

∵四边形ACD是正方形，
∴AD=AB=6，∠DAB=90°，AB//CD，∠DAC=∠CAB=45°，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF=∠DAF=90°，
∴四边形AFED对角互补，
∴A，F，E，D四点共圆，
∵DK=KF，
∴KA=KD=KF=KE，
∴∠DFE=∠DAE=45°，
∴∠EDF=∠EFD=45°，
∴DE=EF，
∵AF=2，AD=6，
∴DF= 22+62=2 10，
∴DE=EF=2 5，
∵AF//CD，
∴FGDG=AFDC=13，
∴FG=FM= 102，
∴GM= 2FM= 5，
∴FH=GH=HM= 52，
∵EF⊥GM，
∴GH=HM= 52，
∴EH=EF−FH=2 5− 52=3 52，
∵MH//DE，
∴MHDE=HNEN= 522 5=14，
∴EN=45EH=6 55，
∴S△ENM=12⋅EN⋅MH=12⋅6 55⋅ 52=32．
故答案为32．
如图，取DF的中点K，连接AK，EK.连接GM交EF于H.首先证明△DEF是等腰直角三角形求出DE，EF，解直角三角形求出EN，MH即可解决问题．
本题考查正方形的性质，翻折变换，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，四点共圆，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
19.【答案】解：(1)( 3)2+(4−π)0−|−3|+ 2cs45°
=3+1−3+ 2× 22
=1+1
=2；
(2)(x−1−3x+1)÷x2+4x+4x+1
=[(x−1)(x+1)x+1−3x+1]÷(x+2)2x+1
=(x−1)(x+1)−3x+1×x+1(x+2)2
=x2−1−3(x+2)2
=(x+2)(x−2)(x+2)2
=x−2x+2，
∵x=|1− 2|−2cs60°
= 2−1−2×12
= 2−2，
∴原式=x−2x+2= 2−2−2 2−2+2= 2−4 2=1−2 2．
【解析】(1)分别根据乘方的法则，零指数幂的运算法则以及特殊角的三角函数值，绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
(2)先根据分式的混合运算法则把原式进行化简，再计算出x的值，再代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，涉及到乘方的法则，零指数幂的运算法则以及特殊角的三角函数值，绝对值的性质，掌握分式的混合运算法则以及牢记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
20.【答案】解：(1)由图知：B组有12人，占抽样人数的20%，A组有6人，D组有18人，
所以本次抽取的学生有：12÷20%=60(人)，
C组学生有：60−6−12−18=24(人)，
条形统计图补完整如图所示：

(2)1500×660=150(人)，
答：这次竞赛成绩在A组的学生有150人；
(3)根据题意，画出树状图如下：

可知总的情况有6种，刚好每个同学拿到的证书恰好都是自己的情况只有1种，
即所求概率为：1÷6=16，
故所求概率为：16．
【解析】(1)根据总人数=B组人数B组人数占总人数的百分比，先求出总人数，再求出C组人数．
(2)根据学校总人数乘以A组人数在样本中的百分比，可得结论；
(3)采用树状图列举法即可求解．
本题考查了条形统计图和扇形统计图，利用样本估计总体以及采用列表法或者树状图法列举求解概率的等知识点，题目难度不大，第三问是难点，正确画出树状图是解决本题的关键．
21.【答案】解：(1)设温馨提示牌的单价为a元，则垃圾箱的单价为3a元，
根据题意得：4×3a−5a=350，
解得：a=50，
则3a=150．
答：温馨提示牌、垃圾箱的单价分别为50元和150元．
(2)①由题意可得：w=50m+150(3000−m)=−100m+450000
∴购买温馨提示牌和垃圾箱所需费用w(元)与温馨提示牌的个数x的函数关系式为：w=−100m+450000．
②由题意得：3000−m>1.5m−100m+450000≤350000，
解得：1000≤m≤1200，
∵m为整数，
∴共有201种可供选择的方案，
又∵k=−100<0，w随m的增大而减小，
∴当m=1200时，w取得最少值，此时w=330000元，3000−m=1800．
答：由201种可供选择的方案，其中购买温馨提示牌1200个，垃圾桶1800个时所需资金最少，最少为330000元．
【解析】(1)根据购买4个垃圾箱比购买5个温馨提示牌多350元，垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍，可以列出相应的一元一次方程，从而可以解答本题．
(2)①根据题意可以写出w与m的函数关系式；
②根据题意可以得到关于m的不等式组，从而可以求得m的取值范围，再根据一次函数的性质即可得到所需资金最少的方案，并求出最少需要多少元．
本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BA=BC，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC，
∵△ECF是等边三角形，
∴EC=CF，∠ECF=∠ACB=60°，
∴∠BCE=∠FCM；
(2)解：连接FN，
由(1)知△ABC是等边三角形，BE=AF，
∴∠BAC=60°，AB=BC=AC=3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，
∴∠FAN=∠BCA=60°，
∵AN=BE，
∴AN=BE=AF=1，
∴△AFN是等边三角形，AE=2，
∴BE=AF=FN=1，
∴AE=CN=2，
∵∠AFE=60°−∠MFN=∠NFC，
在△AEC和△CNB中，
AE=CN∠EAC=∠NCB=60°AC=CB，
∴△AEC≌△CNB(SAS)，
∴CE=BN，
∵△ECF是等边三角形，
∴CE=EF，
∴EF=BN，
∴四边形BNFE是平行四边形，
∴EF//BN，
∴△AEM∽△ABN，
∴AEAB=AMAN=23，
∴1−MN1=23，
∴MN=13．
【解析】(1)由“SAS”可证△CBE≌△CAF，可得∠BCE=∠FCM；
(2)连接FN，由(1)知△ABC是等边三角形，BE=AF，根据菱形的性质得到AD//BC，根据平行线的性质得到∠FAN=∠BCA=60°，根据全等三角形的性质得到EF=BN，推出四边形BNFE是平行四边形，得到EF//BN，于是得到结论．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
23.【答案】解：(1)∵矩形OABC的顶点B的坐标为(8,4)，
∴OA=BC=8，OC=AB=4，
∴tan∠BOA=ABAO=12，
∵根据旋转有∠BOA=∠EOD，
∴tan∠BOA=tan∠EOD=12，
∵OC=4，
∴CF=OC×tan∠EOD=2，
∴F(2,4)，
∵反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点F，
∴4=k2，即：k=8；
(2)设直线FG交x轴于点S，交y轴于点T，过B点作MN//FG，交x轴于点M，交y轴于点N，连接FM、GM、FN、GN，如图，

根据(1)可知反比例函数y=8x的图象经过点F(2,4)，交AB于点G，OA=8，
∴当x=8时，y=1，
∴G(8,1)，
设直线FG的解析式为：y=ax+b，
∴1=8a+b4=2a+b，解得：a=−12b=5，
∴直线FG的解析式为：y=−12x+5，
∵MN//FG，
∴设直线MN的解析式为：y=−12x+c，
∵直线MN过点B(8,4)，
∴4=−12×8+c，解得：c=8，
∴直线MN的解析式为：y=−12x+8，
当y=0时，−12x+8=0，解得x=16，
∴M(16,0)，
∵MN//FG，
∴S△MFG=S△BFG，
∴当点P与M点重合时，满足S△PFG=S△BFG，
∴此时P点坐标为(16,0)，
当x=0时，y=−12x+8=8，
∴N(0,8)，
同理可知当点P与N点重合时，满足S△PFG=S△BFG，
∴此时P点坐标为(0,8)；
∵直线FG交x轴于点S，交y轴于点T，
∴当y=0时，−12x+5=0，解得x=10，
当x=0时，y=−12x+5=5，
∴S(10,0)，T(0,5)，
∵M(16,0)，N(0,8)，
∴MS=6，NT=3，
即将直线FG向右平移6个单位(或向上平移3个单位)即可得到直线MN，
将直线FG向左平移6个单位(或向下平移3个单位)即可得到直线HG，
直线FG与直线MN的距离等于直线FG与直线HG的距离，
∴直线HG的点与点F、G构成的三角形的面积等于△BFG得面积，
如图，

∴当点P与点H或者点G重合时，满足S△PFG=S△BFG，
∴将S(10,0)向左平移6个单位得到点G，将T(0,5)向下平移3个单位可得到H，
∴G(4,0)，H(0,2)，
∴此时的P点为：(4,0)或者(0,2)，
综上：P点坐标为：(16,0)或者(0,8)或者(4,0)或者(0,2)．
【解析】(1)先求出tan∠BOA=ABAO=12，根据旋转有∠BOA=∠EOD，即有tan∠BOA=tan∠EOD=12，结合OC=4，可得F(2,4)，问题得解；
(2)设直线FG交x轴于点S，交y轴于点T，过B点作MN//FG，交x轴于点M，交y轴于点N，连接FM、GM、FN、GN，利用反比例函数y=8x求出G(8,1)，即可得直线FG的解析式为：y=−12x+5，根据MN//FG，可设直线MN的解析式为：y=−12x+c，即可得直线MN的解析式为：y=−12x+8，根据MN//FG，可得S△MFG=S△BFG，即当点P与M点重合时，满足要求，同理可知当点P与N点重合时，同样满足要求；先求出S(10,0)，T(0,5)，结合M(16,0)，N(0,8)，可得MS=6，NT=3，即将直线FG向右平移6个单位(或向上平移3个单位)即可得到直线MN，将直线FG向左平移6个单位(或向下平移3个单位)即可得到直线HG，根据平移的性质可知：直线FG与直线MN的距离等于直线FG与直线HG的距离，即直线HG的点与点F、G构成的三角形的面积等于△BFG得面积，可知当点P与点H或者点G重合时，满足S△PFG=S△BFG，根据平移的特点即可作答．
本题考查了反比例函数，矩形的性质，直角三角形，一次函数的平移等知识，灵活运用一次函数的平移，是解答本题的关键．
24.【答案】(1)证明：连接AC，如图，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即∠CAB+∠CBA=90°，
∵BF为⊙O的切线，
∴∠ABF=90°，即∠CBF+∠CBA=90°，
∴∠CBF=∠CAB，
∵∠CBF=2∠BAF，
∴∠CAB=2∠BAF，
∵∠CAB=∠CAF+∠BAF，
∴∠CAF=∠BAF，
∴CD=BD，
∴点D为弧BC的中点；
(2)证明：连接AG、DC，作AP⊥DC，交DC的延长线于点P，如图，

根据(1)的结论有CD=BD，
∴∠CGD=∠BAD=∠CAD，CD=BD，
∴∠ANG=∠AHG，
∵直径AB⊥DG，
∴∠ANG=∠AHG=90°，DH=GH，
∴AD=AG，
∴∠ACG=∠ADG=∠AGD．
∵∠AGD+∠ACD=180°，∠ACP+∠ACD=180°，
∴∠ACP=∠AGD．
∴∠ACP=∠ACG．
∴在Rt△ACP和Rt△ACN中，
∠APC=∠ANC∠PCA=∠NCAAC=AC，
∴△ACN≌△ACP(AAS)，
∴CP=CN，
∵∠ANG=∠AHG=90°，∠ADP=∠AGC，
在Rt△ADP和Rt△AGN中，
∠APD=∠ANG∠ADP=∠AGNAD=AG，
∴△ADP≌△AGN(AAS)，
∴DP=GN，
∴PC+CD=GN，
∵CD=BD，CP=CN，
∴CN+BD=NG；
(3)解：在(2)中有：∠CGD=∠BAD=∠CAD，tan∠CGD=12，
∴tan∠CGD=tan∠BAD=tan∠CAD=12，
设BD=x，即AD=BDtan∠BAD=2x，CD=BD=x，
∴AB= AC2+BC2= 5x，
∵CN=6，
∴AN=NCtan∠CAD=12，
∴PC=CN=6，AP=AN=12，
∴PD=6+x，
∵在Rt△APD中，AD2=AP2+PD2，
∴(2x)2=122+(x+6)2，
解得：x=10(负值不符合题意舍去)，
∴AB= 5x=10 5，
∴AO=12AB=5 5，
∴⊙O的半径为5 5．
【解析】(1)连接AC，根据AB为⊙O的直径，即有∠CAB+∠CBA=90°，根据BF为⊙O的切线，即有∠CBF+∠CBA=90°，结合∠CBF=2∠BAF，可得∴∠CAB=2∠BAF，即有∠CAF=∠BAF，问题随之得证；
(2)连接AG、DC，作AP⊥DC，交DC的延长线于点P，根据(1)的结论有∖verset⌢CD=∖verset⌢BD，即有∠CGD=∠BAD=∠CAD，CD=BD，可得∠ANG=∠AHG，再证明∠ACP=∠ACG，即可得△ACN≌△ACP，即有CP=CN，接着证明△ADP≌△AGN，可得DP=GN，问题随之得证；
(3)在(2)中有：∠CGD=∠BAD=∠CAD，tan∠CGD=12，即tan∠CGD=tan∠BAD=tan∠CAD=12，设BD=x，即AD=BDtan∠BAD=2x，CD=BD=x，则有AB= AC2+BC2= 5x，根据CN=6，可得AN=NCtan∠CAD=12，即有PC=CN=6，AP=AN=12，在Rt△APD中，AD2=AP2+PD2，可得(2x)2=122+(x+6)2，解方程即可求解．
本题是圆综合题，涉及到的知识点有圆周角定理、垂径定理、切线的性质、利用正切值概念求边长以及全等三角形的判定．解题的关键能否利用已知条件作对辅助线．
25.【答案】y=−x2+(m−1)x+m
【解析】解：(1)设抛物线的表达式为y=a(x+1)(x−m)，将C(0,m)代入得：
m=−ma，
∵m>1，
∴a=−1，
∴y=−(x+1)(x−m)=−x2+(m−1)x+m；
∴抛物线的表达式为y=−x2+(m−1)x+m；
故答案为：y=−x2+(m−1)x+m；
(2)连接OD并延长交BC于E，过D作DH⊥OB于H，如图：

∵B(m,0)，C(0,m)，
∴OB=OC=m，△BOC是等腰直角三角形，
∴O在线段BC的中垂线上，
∵D为△ABC的外心，
∴BD=CD，
∴D在线段BC的中垂线上，
∴直线OE是线段BC的中垂线，
∴BE=CE，OE⊥BC，B与C关于直线OE对称，
∴△BOE，△ODH是等腰直角三角形，S△BDE=12S△BCD= 54，
∴OH=DH，
∴D的横坐标与纵坐标相等，
∴直线OE解析式为y=x，
∵D为△ABC的外心，
∴AD=BD，
∴H是AB的中点，
∵A(−1,0)、B(m,0)，
∴H(m−12,0)，即OH=m−12，
∴D(m−12,m−12)，
∵S△BDE=S△BOE−S△BOD=12S△BOC−S△BOD，
∴ 54=12×12m2−12m⋅m−12，
解得m= 5；
(3)在直线BC上存在一点P，使得以点B、D、P为顶点的三角形和△AOD相似，理由如下：
由(2)知∠DOB=45°=∠CBO，m= 5，
∴B( 5,0)，C(0, 5)
∴直线BC解析式为y=−x+ 5，∠DAO+∠ADO=∠DBO+∠DBC=45°，
∵AD=BD，
∴∠DAO=∠DBO，
∴∠ADO=∠DBC，
要使以点B、D、P为顶点的三角形和△AOD相似，只需ADBD=DOPB或ADPB=DOBD且P在射线BC上，
当ADBD=DOPB时，如图：

设P(t,−t+ 5)，t< 5，
∵A(−1,0)，B( 5,0)，D( 5−12, 5−12)，
∴AD= 3，BD= 3，DO= 10− 22，PB= (t− 5)2+(t− 5)2= 2( 5−t)，
∴ 3 3= 10− 22 2( 5−t)，
解得t= 5+12，
∴−t+ 5= 5−12，
∴P的纵坐标为 5−12；
当ADPB=DOBD时，如图：

同理可得 3 2( 5−t)= 10− 22 3，
解得t= 5−34，
∴−t+ 5=3 5+34，
∴P的纵坐标为3 5+34；
综上所述，P的纵坐标为 5−12或3 5+34．
(1)设抛物线的表达式为y=a(x+1)(x−m)，将C(0,m)代入可求出抛物线的表达式为y=−x2+(m−1)x+m；
(2)连接OD并延长交BC于E，过D作DH⊥OB于H，由B(m,0)，C(0,m)，D为△ABC的外心，可得直线OE是线段BC的中垂线，即可得△BOE，△ODH是等腰直角三角形，S△BDE=12S△BCD= 54，从而知直线OE解析式为y=x，由A(−1,0)、B(m,0)，得H(m−12,0)，即OH=m−12，故D(m−12,m−12)，可得 54=12×12m2−12m⋅m−12，即可解得m= 5；
(3)由(2)知∠DOB=45°=∠CBO，m= 5，得直线BC解析式为y=−x+ 5，∠ADO=∠DBC，要使以点B、D、P为顶点的三角形和△AOD相似，只需ADBD=DOPB或ADPB=DOBD且P在射线BC上，当ADBD=DOPB时，设P(t,−t+ 5)，t< 5， 3 3= 10− 22 2( 5−t)，可得P的纵坐标为 5−12；当ADPB=DOBD时，同理可得P的纵坐标为3 5+34．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，三角形外心，三角形相似的判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
时间/h
6
5
4
3
2
人数/名
2
6
4
6
2