2022-2023学年广东省揭阳市惠来县八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省揭阳市惠来县八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  下列选项中是分式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若，那么下列各式中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列等式从左到右变形，属于因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  把多项式分解因式，应提取的公因式是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在中，，，，则该三角形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  将分式中的，的值同时扩大为原来的倍，则分式的值(    )

A. 扩大为原来的倍 B. 扩大为原来的倍 C. 不变 D. 扩大为原来的倍

8.  如图，平行四边形的对角线，相交于点，下列等式一定正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在平行四边形中，，为上一点，且，过作交于，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  某车间共有名工人，现要加工零件个和零件个已知每人每天可以加工零件个或零件个，如何分工才能确保同时完成两种零件的加工任务每人每天只能加工一种零件设安排名工人加工零件，由题意，可列方程(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  分解因式： ______ ．

12.  如果点在第四象限内，那么的取值范围是______ ．

13.  若一个多边形的每个外角都相同且为，则这个多边形有______ 条边．

14.  如图，四边形是平行四边形，其中点，点，点，则点的坐标是______ ．

15.  若关于的方程无解，则的值是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：
；
．

17.  本小题分
解不等式组：，并写出不等式组的整数解．

18.  本小题分
如图，已知，分别是▱的边，上的两点，且．
求证：；
求证：四边形是平行四边形．

19.  本小题分
如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点刚好落在边上，连接．
若，求的度数；
若，，求四边形的面积．

20.  本小题分
六一儿童节来临之际，某商店用元购进一批玩具，很快售完；第二次购进时，每件的进价提高了，同样用元购进的数量比第一次少了件．
求第一次每件的进价为多少元？
若两次购进的玩具售价相同，且全部售完后利润不低于元，则售价至少定为多少元？

21.  本小题分
如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：，，，因此，，这三个数都是“神秘数”．
猜想 ______ “神秘数”直接填“是”或者“不是”；
设两个连续偶数为和其中取正整数，由这两个连续偶数构造的“神秘数”是的倍数吗？为什么？
两个连续奇数取正整数的平方差是“神秘数”吗？为什么？

22.  本小题分
已知：在▱中，动点在边上，以每秒的速度从点向点运动．
如图，在运动过程中，若平分，且满足，求的度数．
如图，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，，两点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，求当运动时间为多少秒时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形．

 

23.  本小题分
在数学实践活动课上，“卓越”小组准备研究如下问题：如图，为直尺的一条边，四边形为一正方形纸板、、、均为直角
【操作发现】
如图小组成员小方把正方形的一条边与重合放置，刘老师在与同学们交流研讨时又做出了的平分线，交正方形的边于点．
则此时的度数为______ ；与的度数之间的关系为______ ．

【问题探究】
受小方同学的启发，小组成员小丽将正方形纸板按如图放置，若此时记的度数为，其他条件不变，请帮小丽同学探究：与的度数之间的关系是否发生改变，并说明理由．
【拓展延伸】
组内其他同学也都继续探索，将正方形按如图放置，刘老师同样做出了的平分线，请直接写出与的度数之间的关系．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：该图形既是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题主要考查轴对称图形以及中心对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形以及中心对称图形的定义是解决本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据分式的定义，中分母不含有字母，不是分式，那么不符合题意．
B.根据分式的定义，中分母不含有字母，不是分式，那么不符合题意．
C.根据分式的定义，中、均是整式且分母中含有字母，则是分式，那么符合题意．
D.根据分式的定义，不是分式，那么不符合题意．
故选：．
根据分式的定义形如的式子是分式，其中与是整式且中含有字母解决此题．
本题主要考查分式，熟练掌握分式的定义解决此题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由得，，故本选项不符合题意；
B.由得，，故本选项不符合题意；
C.由得，，故本选项符合题意；
D.由得，，故本选项不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质，逐项判断即可．
此题主要考查了不等式的性质：不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
 

4.【答案】 

【解析】解：、该等式的右边不是几个整式积的形式，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不是因式分解，故A不合题意；
B、是整式乘法，不是因式分解，故B不合题意；
C、，把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C符合题意；
D、，等式的右边不是几个整式积的形式，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不是因式分解，故D不合题意；
故选：．
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
应提取的公因式是．
故选：．
根据提公因式法解决此题．
本题主要考查提公因式法，熟练掌握提公因式法是解决本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：作，交于点，如图所示，
则，
，，，
是等腰三角形，
，
，
该三角形的面积为：，
故选：．
先作，然后根据等腰三角形的性质和勾股定理可以求的长，再根据三角形的面积公式计算即可．
本题考查勾股定理、等腰三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

7.【答案】 

【解析】解：将分式中的，的值同时扩大为原来的倍，原分式可变为，
因此分式的值较原来扩大了倍，
故选：．
将分式中的，的值同时扩大为原来的倍，进行计算后，再与原分式进行比较得出答案．
本题考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是正确判断的前提．
 

8.【答案】 

【解析】解：平行四边形的邻边不一定相等，
故A不符合题意；
B.平行四边形对角线不一定相等，
故B不符合题意；
C.平行四边形对边相等，
故C符合题意；
D.对角线的一半与边不一定相等，
故D不符合题意．
故选：．
根据平行四边形的性质进行判断即可．
本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质，对边相等，对角线互相平分是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
平分，
四边形是平行四边形，
，，
，
故选：．
利用等腰三角形的性质得到平分，利用平行四边形的性质得到，，据此即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：该车间共有名工人，且安排名工人加工零件，
安排名工人加工零件．
根据题意得：．
故选：．
由车间工人数及加工零件的工人数，可得出安排名工人加工零件，利用工作时间工作总量工作效率，结合同时完成两种零件的加工任务，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，
．
故答案为：．
根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式，然后求解即可．
本题考查了解一元一次不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

13.【答案】 

【解析】解：多边形的边数是：条．
故答案为：．
利用多边形的外角和，除以外角的度数，即可求得边数．
本题考查了多边形的外角和定理，理解任何多边形的外角和都是度是关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：点，点，
，
四边形是平行四边形，
，，
点的纵坐标为，横坐标为，
点的坐标为．
故答案为：．
先求出，根据平行四边形的性质得出，，即可求出点的坐标．
本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：，
去分母，得，
解得，
方程无解，
，或，
当时，，
解得；
当时，，
即的值为或，
故答案为：或．
将分式方程化为整式方程，可得，根据分式方程无解，可得，或，分情况求解即可．
本题主要考查了根据分式方程无解求参数的值，解题的关键是掌握分式方程无解的条件：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于零．
 

16.【答案】解：


；






． 

【解析】根据分式加减运算法则进行计算即可；
根据分式混合运算法则进行计算即可．
本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
 

17.【答案】解：
解不等式得，，
解不等式得，，
不等式组的解集为，
不等式组的整数解为，． 

【解析】先求出每一个不等式的解集，再求出公共部分得到不等式组的解集，最后求出整数解．
本题考查了一元一不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
 

18.【答案】证明：四边形为平行四边形，
，，
在与中，
，
≌，
；
四边形为平行四边形，
，，
，
由得≌，
，
，
即，
四边形是平行四边形． 

【解析】由平行四边形的性质得，，再由证明≌即可证得结论；
由平行四边形的性质得，，则，再由全等三角形的性质得，得，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

19.【答案】解：在中，，，
，
将绕点顺时针旋转得到，
，，
，
；
在中，，
，
，
由旋转可得，，
，
． 

【解析】先根据三角形内角和定理求得，再根据旋转的性质得到，，根据等腰三角形的性质可求得的度数，进而可得的度数；
根据勾股定理得到，根据旋转的性质得到，根据三角形的面积公式可得和的面积，进一步可得四边形的面积．
本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知旋转的性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：设第一次每件的进价为元，则第二次进价为 ，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是方程的解，且符合题意，
答：第一次每件的进价为元；
设两次的售价为元，
，
，
答：两次的售价至少为元． 

【解析】设第一次每件的进价为元，则第二次进价为 ，根据等量关系，列出分式方程，即可求解；
根据总利润总售价总成本，列出算式，即可求解．
本题主要考查分式方程的实际应用，找准等量关系，列出分式方程，是解题的关键．
 

21.【答案】不是 

【解析】解：不能表示成两个连续偶数的平方差，
不是神秘数；
是；
理由如下：，
这两个连续偶数构造的神秘数是的倍数，
设这两个连续奇数为：，为正整数，
，
而由知“神秘数”是的奇数倍，
不是的倍数，
所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数．
根据定义进行判断即可；
根据平方差公式进行计算，可得这两个连续偶数构造的神秘数是的倍数；
运用平方差公式进行计算，进而判断即可．
此题主要考查了因式分解的应用，此题是一道新定义题目，熟练记忆平方差公式是解题关键．
 

22.【答案】解：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
；
四边形是平行四边形，
，
，
若以，，，四点组成的四边形是平行四边形，则，
设运动时间为秒，
当时，，，
，
解得：；
当时，，，
，
解得：；
当时，，，
，
解得：；
当时，，，
，
解得：；
综上所述，当运动时间为秒或秒或秒或秒时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． 

【解析】易证，得，又，则是等边三角形，即可得出结果；
若以，，，四点组成的四边形是平行四边形，则，设运动时间为秒，
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得．
本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质、分类讨论等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：如图，
四边形为正方形，
，，
，
；
故答案为：，；
与的度数之间的关系没有发生改变．
理由如下：
如图，
，
，
平分，
，
，
即；
如图，
的平分线为，
，
，
，
，
，
即．
如图，利用正方形的性质得到，，所以，从而得到；
如图，先根据平角的定义得到，则根据角平分线的定义得到，然后把两式子相减可得到；
如图，先根据角平分线的定义得，则，根据角平分线的定义得到，然后消去可得到．
本题考查了多边形内角与外角，熟练掌握角度的和差运算和正方形的性质是解决问题的关键．也考查了角平分线的定义．