2022-2023学年广东省茂名市茂南区博雅中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省茂名市茂南区博雅中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图标中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知等腰三角形的一个角为，则其顶角为(    )

A.  B. 或 C.  D. 或

3.  如图，在中，，是高，，，则(    )

 

A.  B.  C.  D.

4.  贵阳市今年月份的最高气温为，最低气温为，已知某一天的气温为，则下面表示气温之间的不等关系正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知实数，，若，则下列结论错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，中，，是中点，下列结论中不正确的是(    )

A.
B.
C. 平分
D.

7.  如图，天平左盘中物体的质量为 ，天平右盘中每个砝码的质量都是，则的取值范围在数轴上可表示为(    )

 

A.  B.
C.  D.

8.  三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的(    )

A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点
C. 三条高的交点 D. 三条角平分线的交点

9.  如图，是的平分线，于点，，则点到的距离是(    )
 

A.
B.
C.
D.

10.  如图，中，是的垂直平分线，的周长为，的周长为，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  如果等腰三角形的底边长，那么这个等腰三角形腰长的取值范围是______ ．

12.  如图，，，垂足分别是、，若要用“”得到≌，则你添加的条件是______写一种即可

 

13.  满足不等式组的整数解是______．

14.  已知，则______填“”“”或“”

15.  如图，在中，，，在直线或上取一点，使得为等腰三角形，这样的点共有______ 个．

16.  如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为，则阴影部分的面积______．

 

三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）

17.  解不等式组：

18.  某公司决定从厂家购进甲、乙两种不同型号的显示器共台，购进显示器的总金额不超过元，已知甲、乙型号的显示器价格分别为元台、元台．

求该公司至少购买甲型显示器多少台？

若要求甲型显示器的台数不超过乙型显示器的台数，问有哪些购买方案？

四、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
解不等式：．

20.  本小题分
如图，在中，，，
作线段的垂直平分线，交于点；用尺规作图，保留作图痕迹．
求的长．

21.  本小题分
如图，在中，，为的中点，，，垂足分别为、，求证：．

22.  本小题分
如果，那么 ______ ；如果，那么 ______ ；如果，那么 ______ ；
用的方法你能否比较与的大小？如果能，请写出比较过程．

23.  本小题分
如图，在和中，，，与相交于点．
求证：≌；
是何种三角形？证明你的结论．

24.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线过点，且与直线相交于点，直线与轴相交于点．
求的值．
求的面积．
根据图象，直接写出关于的不等式的解集．

 

25.  本小题分
如图，是等边内一点，连接、、，且，，，将绕点顺时针旋转后得到，连接求：
旋转角的度数；
线段的长；
的度数．
如图所示，是等腰直角内一点，连接、、，将绕点顺时针旋转后得到，连接当、、满足什么条件时，？请给出证明．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A、、均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的概念求解．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．
本题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：当角为顶角时，其顶角为
当为底角时，得顶角；
故选：．
等腰三角形一内角为，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；涉及到等腰三角形的角的计算，若没有明确哪个是底角哪个是顶角时，要分情况进行讨论．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形内角和定理，含角的直角三角形性质的应用，能根据含角的直角三角形性质得出和是解此题的关键．
【解答】
解：是高，
，
，，
，，
，
，
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：贵阳市今年月份的最高气温为，最低气温为，某一天的气温为，
．
故选：．
根据不等式的定义进行解答即可．
本题考查的是不等式的定义，熟知用“”或“”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“”号表示不等关系的式子也是不等式是解答此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
A、，故A选项正确；
B、，故B选项正确；
C、，故C选项正确；
D、，故D选项错误．
故选：．
根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是不等式的基本性质，熟知不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：中，，是中点，
故B不符合题意，
平分故C不符合题意，
故D不符合题意，
无法得到故A符合题意，
故选：．
根据等腰三角形“三线合一”的性质解答．
此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练运用等腰三角形的三线合一性质是解本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：，

故选：．
根据天平列出不等式组，确定出解集即可．
此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画．
在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得答案．
【解答】
解：三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的三边垂直平分线的交点，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，
是的平分线，点在上，且，，
，又，
．
故选：．
可过点作，由角平分线的性质可得，，进而可得出结论．
本题考查了角平分线的性质；要熟练掌握角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等．
 

10.【答案】 

【解析】解：是的垂直平分线，
，
的周长为，
，
，即，
的周长为，
，
，
，
故选：．
根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：等腰三角形的底边长为，腰长为，
，
．
故答案为．
根据等腰三角形两腰相等和三角形中任意两边之和大于第三边列不等式，求解即可．
此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用．
 

12.【答案】 

【解析】解：可添加，
，，
，
在和中，
，
≌，
故答案为：．
根据直角三角形全等的判定即可求解．
本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的整数解为：，
故答案为：．
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，则，
故答案为：．
根据不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
本题考查了不等式的性质，不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，
的垂直平分线交一点，交直线于点此时；
以为圆心，为半径画圆，交有二点，，交有一点此时；
以为圆心，为半径画圆，交有二点，，交有一点此时．
故符合条件的点有个．
故答案为：．
根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形简称：在同一三角形中，等边对等角”分三种情况解答即可．
本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏．
 

16.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，，．
，△HEC,
即，
故答案为．
根据平移的性质可知：，，，结合即可求解．
此题考查平移的性质，梯形的面积计算．
 

17.【答案】解：
解不等式，得，
解不等式得，得，
所以原不等式组的解集为． 

【解析】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
 

18.【答案】解：设该公司购进甲型显示器台，则购进乙型显示器台，
由题意，得：
解得：．
该公司至少购进甲型显示器台．

依题意可列不等式：，
解得：．
．
为整数，
，，．
购买方案有：
甲型显示器台，乙型显示器台；
甲型显示器台，乙型显示器台；
甲型显示器台，乙型显示器台． 

【解析】设该公司购进甲型显示器台，则购进乙型显示器台，根据两种显示器的总价不超过元建立不等式，求出其解即可；
由甲型显示器的台数不超过乙型显示器的台数可以建立不等式与的结论构成不等式组，求出其解即可．
本题考查了列一元一次不等式解实际问题的运用，一元一次不等式的解法的运用，方案设计的运用，解答时根据条件的不相等关系建立不等式是关键．
 

19.【答案】解：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：． 

【解析】先移项，然后合并同类项，化系数为即可．
此题考查了解一元一次不等式的知识，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题关键．
 

20.【答案】解：如图所示：

，
的垂直平分线必过点，
垂直平分线，，
，
，
，
在中：，
，
解得：． 

【解析】根据线段垂直平分线的作法，作图即可；
根据等腰三角形的性质可得的垂直平分线必过点，再根据直角三角形的性质可得，然后再利用勾股定理计算出即可．
此题主要考查了复杂作图，以及等腰三角形的性质，勾股定理，关键是正确画出图形，掌握等腰三角形三线合一的性质．
 

21.【答案】证明：，
，
又，，
，
点为中点，
，
在和中，
≌，
． 

【解析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据等腰三角形的性质得出．
根据等腰三角形的性质得出，根据全等三角形的判定和性质得出即可；
 

22.【答案】     

【解析】解：如果，那么；如果，那么；如果，那么；
故答案为：；；；

，
．
根据不等式的基本性质即可解答；
利用中不等式的性质解答即可．
本题考查了不等式的性质、整式的加减，解答此题的关键是熟知不等式的基本性质：基本性质：不等式两边同时加或减去同一个数或式子，不等号方向不变．
 

23.【答案】证明：在和中，
在和中
≌；

是等腰三角形
≌


是等腰三角形 

【解析】根据已知条件，用公理证：≌；
利用≌的对应角相等，即可证明是等腰三角形．
此题主要考查学生对直角三角形全等的判定和等腰三角形的判定与性质的理解和掌握．
 

24.【答案】解：直线过点，
，
解得：．
直线过点，
，
解得：，
直线的解析式为．
当时，，
点的坐标为；
当时，，
点的坐标为，
，
．
观察函数图象，可知：当时，直线在直线的上方，
不等式的解集为． 

【解析】本题考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，难度不大．
由点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出值；
由点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出的值，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点、的值，由点、、的坐标利用三角形的面积公式可求出的面积；
根据两直线的上下位置关系结合点的横坐标，即可得出不等式的解集．
 

25.【答案】解：为等边三角形，
，，
绕点顺时针旋转后得到，
，
旋转角的度数为；
绕点顺时针旋转后得到，
，
而，
为等边三角形；
；
为等边三角形，
，
绕点顺时针旋转后得到，
，
在中，，，，
，
，
为直角三角形，，
；

时，．
理由如下：
绕点顺时针旋转后得到，
，，，
为等腰直角三角形，
，
当时，为直角三角形，，
，
当、、满足时，． 

【解析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了等边三角形的判断与性质和勾股定理的逆定理．
根据等边三角形的性质得，，再根据旋转的性质得，于是可确定旋转角的度数为；
由旋转的性质得，加上，则可判断为等边三角形，所以；
由为等边三角形得到，再利用旋转的性质得，然后根据勾股定理的逆定理可证明为直角三角形，，所以；
根据旋转的性质得，，，则可判断为等腰直角三角形，则，然后根据勾股定理的逆定理，当时，为直角三角形，．