(新高考)高考物理一轮复习讲义 第4章 第4讲 万有引力定律及应用（含解析）

第4讲　万有引力定律及应用

一、开普勒三定律

自测1　(2016·全国卷Ⅲ·14)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是(　　)

A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律

B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律

C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因

D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律

答案　B

解析　开普勒在天文观测数据的基础上总结出了行星运动的规律，但没有找出行星按照这些规律运动的原因，牛顿发现了万有引力定律．

二、万有引力定律

1．内容

自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比．

2．表达式

F＝G，G为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.

3．适用条件

(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．

(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离．

4．天体运动问题分析

(1)将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．

(2)基本公式：

G＝ma＝

自测2　(2019·全国卷Ⅱ·14)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆．在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图像是(　　)

答案　D

解析　在嫦娥四号探测器“奔向”月球的过程中，根据万有引力定律，可知随着h的增大，探测器所受的地球引力逐渐减小，但不是均匀减小的，故能够描述F随h变化关系的图像是D.

三、宇宙速度

1．第一宇宙速度

(1)第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9 km/s.

(2)第一宇宙速度是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度．

(3)第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度．

(4)第一宇宙速度的计算方法．

由G＝m得v＝ ；

由mg＝m得v＝.

2．第二宇宙速度

使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2 km/s.

3．第三宇宙速度

使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7 km/s.

自测3　(2019·北京卷·18)2019年5月17日，我国成功发射第45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)．该卫星(　　)

A．入轨后可以位于北京正上方

B．入轨后的速度大于第一宇宙速度

C．发射速度大于第二宇宙速度

D．若发射到近地圆轨道所需能量较少

答案　D

解析　同步卫星只能位于赤道正上方，A项错误；由＝知，卫星的轨道半径越大，卫星做匀速圆周运动的线速度越小，因此入轨后的速度小于第一宇宙速度(近地卫星的速度)，B项错误；同步卫星的发射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，C项错误；若发射到近地圆轨道，所需发射速度较小，所需能量较少，D正确.

1．行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理．

2．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动．

3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同．但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．

例1　(多选)(2019·四川绵阳市第三次诊断)2019年1月3日10时26分，我国嫦娥四号探测器完成了“人类探测器首次实现月球背面软着陆”的壮举．嫦娥四号近月制动后环月飞行时先在月球上空半径为R的轨道上做匀速圆周运动，后贴近月球表面做匀速圆周运动，线速度大小分别是vR和v0，周期分别是TR和T0，已知月球半径为r，则(　　)

A.＝   B.＝

C．TR>T0  D．TR<T0

答案　BC

解析　根据万有引力提供向心力有：G＝m，所以v＝，所以＝，A错误，B正确；根据开普勒第三定律可知：绕同一中心天体运动，半径越大，周期越长，所以TR>T0，C正确，D错误．

变式1　火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知(　　)

A．太阳位于木星运行轨道的中心

B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等

C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方

D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积

答案　C

解析　由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，故A错误．火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，故B错误．根据开普勒第三定律(周期定律)知太阳系中所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常数，故C正确．对于太阳系某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星在相同时间内扫过的面积不相等，故D错误．

1．万有引力与重力的关系

地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向．

(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R.

(2)在两极上：G＝mg0.

(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和．

越靠近南、北两极，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg.

2．星球上空的重力加速度g′

星球上空距离星体中心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝，得g′＝.所以＝.

3．万有引力的“两点理解”和“两个推论”

(1)两点理解

①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力．

②地球上的物体(两极除外)受到的重力只是万有引力的一个分力．

(2)两个推论

①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0.

②推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝G.

例2　若地球半径为R，把地球看做质量分布均匀的球体．“蛟龙”号下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的重力加速度之比为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　C

解析　设地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：g＝G.由于地球的质量为：M＝ρ·πR3，所以重力加速度的表达式可写成：g＝＝＝πGρR.根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙”号的重力加速度g′＝πGρ(R－d)，所以有＝.根据万有引力提供向心力G＝ma，“天宫一号”所在处的重力加速度为a＝，所以＝，＝，故C正确，A、B、D错误．

变式2　(2020·广东东莞市调研)“神舟十一号”飞船于2016年10月17日发射，对接“天宫二号”．若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为(　　)

A．0  B.  C.  D.

答案　B

天体质量、密度的计算

例3　(2018·全国卷Ⅱ·16)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　)

A．5×109 kg/m3   B．5×1012 kg/m3

C．5×1015 kg/m3   D．5×1018 kg/m3

答案　C

解析　脉冲星自转，边缘物体m恰对球体无压力时万有引力提供向心力，则有G＝mr，

又知M＝ρ·πr3

整理得密度ρ＝＝ kg/m3≈5.2×1015 kg/m3.

变式3　(2019·河南安阳市下学期二模)半径为R的某均匀球形天体上，两“极点”处的重力加速度大小为g，“赤道”处的重力加速度大小为“极点”处的.已知引力常量为G，则下列说法正确的是(　　)

A．该天体的质量为

B．该天体的平均密度为

C．该天体的第一宇宙速度为

D．该天体的自转周期为2π

答案　D

解析　在两“极点”处：G＝mg；在赤道处：G－m＝mR，解得天体的质量为M＝，T＝2π，选项A错误，D正确；该天体的平均密度为ρ＝＝＝，选项B错误；由G＝m＝mg可知该天体的第一宇宙速度为v＝，选项C错误．

变式4　(2020·山东临沂市质检)2018年7月25日消息称，科学家们在火星上发现了第一个液态水湖，这表明火星上很可能存在生命．美国的“洞察”号火星探测器曾在2018年11月降落到火星表面．假设该探测器在着陆火星前贴近火星表面运行一周用时为T，已知火星的半径为R1，地球的半径为R2，地球的质量为M，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则火星的质量为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　绕地球表面运动的天体由牛顿第二定律可知：

G＝mg

同理，对绕火星表面运动的天体有：

＝m()2R1

结合两个公式可解得：M火＝，故A对．

1．线速度：G＝m⇒v＝

2．角速度：G＝mω2r⇒ω＝

3．周期：G＝m2r ⇒T＝2π

4．向心加速度：G＝ma⇒a＝

结论：r越大，v、ω、a越小，T越大．

例4　(2019·全国卷Ⅲ·15)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火．已知它们的轨道半径R金<R地<R火，由此可以判定(　　)

A．a金>a地>a火   B．a火>a地>a金

C．v地>v火>v金   D．v火>v地>v金

答案　A

解析　金星、地球和火星绕太阳公转时万有引力提供向心力，则有G＝ma，解得a＝G，结合题中R金<R地<R火，可得a金>a地>a火，选项A正确，B错误；同理，有G＝m，解得v＝，再结合题中R金<R地<R火，可得v金>v地>v火，选项C、D错误．

变式5　(2019·天津卷·1)2018年12月8日，肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射，“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上了中国足迹”，如图1.已知月球的质量为M、半径为R.探测器的质量为m，引力常量为G，嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动时，探测器的(　　)

图1

A．周期为   B．动能为

C．角速度为   D．向心加速度为

答案　A

解析　嫦娥四号探测器环绕月球做匀速圆周运动时，万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，由＝mω2r＝m＝mr＝ma，解得ω＝、v＝、T＝、a＝，则嫦娥四号探测器的动能为Ek＝mv2＝，由以上可知A正确，B、C、D错误．

变式6　(2019·江苏卷·4)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动．如图2所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G.则

图2

A．v1＞v2，v1＝   B．v1＞v2，v1＞

C．v1＜v2，v1＝   D．v1＜v2，v1＞

答案　B

解析　“东方红一号”环绕地球在椭圆轨道上运动的过程中，只有万有引力做功，因而机械能守恒，其由近地点向远地点运动时，万有引力做负功，卫星的势能增加，动能减小，因此v1＞v2；“东方红一号”离开近地点开始做离心运动，则由离心运动的条件可知G＜m，解得v1＞，B正确，A、C、D错误．

1．(2018·全国卷Ⅲ·15)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍．P与Q的周期之比约为(　　)

A．2∶1   B．4∶1

C．8∶1   D．16∶1

答案　C

解析　由G＝mr知，＝，则两卫星＝.因为rP∶rQ＝4∶1，故TP∶TQ＝8∶1.

2．(2019·陕西榆林市第三次测试)2019年3月10日我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭成功将“中星6C”卫星发射升空，卫星进入预定轨道，它是一颗用于广播和通信的地球静止轨道通信卫星，假设该卫星在距地面高度为h的同步轨道做圆周运动．已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G.下列说法正确的是(　　)

A．同步卫星运动的周期为2π

B．同步卫星运行的线速度大小为

C．同步轨道处的重力加速度大小为()2g

D．地球的平均密度为

答案　C

解析　地球同步卫星在距地面高度为h的同步轨道做圆周运动，万有引力提供向心力，有：＝m，在地球表面附近，重力等于万有引力，有：mg＝，故同步卫星运动的周期为：T＝2π，故A错误；根据万有引力提供向心力，有：＝m，解得同步卫星运行的线速度大小为：v＝，故B错误；根据万有引力提供向心力，有：G＝mg′，解得g′＝()2g，故C正确；由mg＝得：M＝，故地球的平均密度为：ρ＝＝，故D错误．

3．(2019·山东泰安市第二轮复习质量检测)2019年1月3日，嫦娥四号月球探测器成功软着陆在月球背面，成为人类历史上第一个在月球背面成功实施软着陆的人类探测器．如图1所示，已关闭动力的探月卫星在月球引力作用下沿椭圆轨道(图中只画了一部分)向月球靠近，并在B处变轨进入半径为r、周期为T的环月圆轨道运行．已知引力常量为G，下列说法正确的是(　　)

图1

A．图中探月卫星飞向B处的过程中速度越来越小

B．图中探月卫星飞向B处的过程中加速度越来越小

C．由题中条件可以计算出探月卫星受到月球的引力大小

D．由题中条件可以计算出月球的质量

答案　D

解析　探月卫星飞向B处时，万有引力增大，做正功，探月卫星动能增大，加速度增大，A、B选项错误；由于探月卫星质量未知，无法计算出探月卫星受到月球的引力大小，C选项错误；由＝m()2r可得：M＝，D选项正确．

4．(2019·广西钦州市4月综测)2018年5月，我国成功发射首颗高光谱分辨率对地观测卫星——“高分五号”．“高分五号”轨道离地面的高度约7.0×102 km，质量约2.8×103 kg.已知地球半径约6.4×103 km，重力加速度取9.8 m/s2.则“高分五号”卫星(　　)

A．运行的速度小于7.9 km/s

B．运行的加速度大于9.8 m/s2

C．运行的线速度小于同步卫星的线速度

D．运行的角速度小于地球自转的角速度

答案　A

解析　第一宇宙速度是卫星的最大环绕速度，是发射卫星的最小速度，所以卫星的运行速度小于7.9 km/s，故A正确；由G＝ma可知，运行的加速度随着高度的增大而减小，故运行的加速度小于地面的重力加速度，即小于9.8 m/s2，故B错误；“高分五号”轨道离地面的高度约7.0×102 km，小于同步卫星的高度(同步卫星的高度约为地球半径的6倍)，根据＝m得：v＝，故运行的线速度大于同步卫星的线速度，故C错误；地球的自转角速度与同步卫星相同，根据＝mω2R解得ω＝，轨道越高，角速度越小，故“高分五号”卫星运行的角速度大于地球自转的角速度，故D错误．

5．(2019·西藏山南二中一模)为了观测地球表面的植被覆盖情况，中国发射了一颗人造卫星，卫星的轨道半径约为地球同步卫星轨道半径的，那么这个卫星绕地球一圈需要多长时间(　　)

A．12小时   B．1小时

C．6小时   D．3小时

答案　D

解析　地球同步卫星的周期为24小时，根据开普勒第三定律：＝，代入数据可得：T卫＝3小时，故D正确，A、B、C错误．

6．(2019·云南昆明市4月教学质量检测)已知地球质量为木星质量的p倍，地球半径为木星半径的q倍，下列说法正确的是(　　)

A．地球表面的重力加速度为木星表面的重力加速度的倍

B．地球的第一宇宙速度是木星“第一宇宙速度”的倍

C．地球近地圆轨道卫星的角速度为木星“近木”圆轨道卫星角速度的 倍

D．地球近地圆轨道卫星运行的周期为木星“近木”圆轨道卫星运行的周期的倍

答案　A

解析　万有引力提供向心力，则有：G＝m＝mω2r＝mr＝ma

解得：v＝，T＝2π，ω＝，a＝

星球表面重力加速度为：g＝；由g＝可知地球表面的重力加速度为木星表面的重力加速度的，故A正确；由v＝可知第一宇宙速度为：v＝，则地球的第一宇宙速度是木星的“第一宇宙速度”的，故B错误；由ω＝可知近地卫星的角速度ω＝，地球近地卫星的角速度为木星“近木”卫星角速度的，故C错误；由T＝2π可知近地卫星的周期T＝2π，所以地球近地卫星的周期为木星的“近木”卫星周期的，故D错误．

7．(2019·河南郑州市第一次模拟)“玉兔号”月球车与月球表面的第一次接触实现了中国人“奔月”的伟大梦想．“玉兔号”月球车在月球表面做了一个自由下落试验，测得物体从静止自由下落h高度的时间为t，已知月球半径为R，自转周期为T，引力常量为G.求：

(1)月球表面重力加速度；

(2)月球的质量和月球的第一宇宙速度；

(3)月球同步卫星离月球表面高度．

答案　(1)　(2)　(3)－R

解析　(1)由自由落体运动规律有：h＝gt2，所以有：g＝.

(2)月球的第一宇宙速度为近月卫星的运行速度，根据重力提供向心力mg＝m，

所以：v1＝＝

在月球表面的物体受到的重力等于万有引力，则有：

mg＝

所以M＝.

(3)月球同步卫星绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有：＝m＝m(R＋h′)

解得h′＝－R.