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(新高考)高考物理一轮复习讲义 第7章 第1讲 电场力的性质（含解析）
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这是一份(新高考)高考物理一轮复习讲义 第7章 第1讲 电场力的性质（含解析），共21页。试卷主要包含了电荷 电荷守恒定律，库仑定律，电场，电场线的特点等内容，欢迎下载使用。
第1讲 电场力的性质
一、电荷 电荷守恒定律
1．元电荷、点电荷
(1)元电荷：e＝1.60×10－19 C，所有带电体的电荷量都是元电荷的整数倍．
(2)点电荷：代表带电体的有一定电荷量的点，忽略带电体的大小、形状及电荷分布状况的理想化模型．
2．电荷守恒定律
(1)内容：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分，在转移过程中，电荷的总量保持不变．
(2)三种起电方式：摩擦起电、感应起电、接触起电．
(3)带电实质：物体得失电子．
(4)电荷的分配原则：两个形状、大小相同且带同种电荷的同种导体，接触后再分开，二者带等量同种电荷，若两导体原来带异种电荷，则电荷先中和，余下的电荷再平分．
自测1 如图1所示，两个不带电的导体A和B，用一对绝缘柱支撑使它们彼此接触．把一带正电荷的物体C置于A附近，贴在A、B下部的金属箔都张开( )
图1
A．此时A带正电，B带负电
B．此时A带正电，B带正电
C．移去C，贴在A、B下部的金属箔都闭合
D．先把A和B分开，然后移去C，贴在A、B下部的金属箔都闭合
答案 C
解析 由静电感应可知，A左端带负电，B右端带正电，选项A、B错误；若移去C，A、B两端电荷中和，则贴在A、B下部的金属箔都闭合，选项C正确；先把A和B分开，然后移去C，则A、B带的电荷不能中和，故贴在A、B下部的金属箔仍张开，选项D错误．
二、库仑定律
1．内容
真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上．
2．表达式
F＝keq \f(q1q2,r2)，式中k＝9.0×109 N· m2/C2，叫做静电力常量．
3．适用条件
真空中的静止点电荷．
(1)在空气中，两个点电荷的作用力近似等于真空中的情况，可以直接应用公式．
(2)当两个带电体间的距离远大于其本身的大小时，可以把带电体看成点电荷．
判断正误 (1)由库仑定律公式F＝keq \f(q1q2,r2)可知，当r→0时，F为无穷大．( × )
(2)两个带电体之间的库仑力是一对相互作用力，大小相等，方向相反．( √ )
(3)库仑定律是通过实验总结出的规律．( √ )
三、电场、电场强度
1．电场
(1)定义：存在于电荷周围，能传递电荷间相互作用的一种特殊物质；
(2)基本性质：对放入其中的电荷有力的作用．
2．电场强度
(1)定义：放入电场中某点的电荷受到的电场力F与它的电荷量q的比值．
(2)定义式：E＝eq \f(F,q)；单位：N/C或V/m.
(3)矢量性：规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点电场强度的方向．
3．点电荷的电场：真空中距场源电荷Q为r处的场强大小为E＝keq \f(Q,r2).
自测2 如图2所示，电荷量为q1和q2的两个点电荷分别位于P点和Q点．已知在P、Q连线上某点R处的电场强度为零，且PR＝2RQ.则( )
图2
A．q1＝2q2 B．q1＝4q2
C．q1＝－2q2 D．q1＝－4q2
答案 B
解析 由题意知q1、q2为同种电荷，设RQ＝r，则PR＝2r，有keq \f(q1,2r2)＝keq \f(q2,r2)，q1＝4q2.
四、电场线的特点
1．电场线从正电荷或无限远出发，终止于无限远或负电荷．
2．电场线在电场中不相交．
3．在同一幅图中，电场强度较大的地方电场线较密，电场强度较小的地方电场线较疏．
自测3 两个带电荷量分别为Q1、Q2的质点周围的电场线如图3所示，由图可知( )
图3
A．两质点带异号电荷，且Q1>Q2
B．两质点带异号电荷，且Q1C．两质点带同号电荷，且Q1>Q2
D．两质点带同号电荷，且Q1答案 A
1．库仑定律适用于真空中静止点电荷间的相互作用．
2．对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离．
3．对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布，如图4所示．
图4
(1)同种电荷：F＜keq \f(q1q2,r2)；(2)异种电荷：F＞keq \f(q1q2,r2).
4．不能根据公式错误地认为r→0时，库仑力F→∞，因为当r →0时，两个带电体已不能看做点电荷了．
例1 (2018·全国卷Ⅰ·16)如图5，三个固定的带电小球a、b和c，相互间的距离分别为ab＝5 cm，bc＝3 cm，ca＝4 cm.小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线．设小球a、b所带电荷量的比值的绝对值为k，则( )
图5
A．a、b的电荷同号，k＝eq \f(16,9)
B．a、b的电荷异号，k＝eq \f(16,9)
C．a、b的电荷同号，k＝eq \f(64,27)
D．a、b的电荷异号，k＝eq \f(64,27)
答案 D
解析 由小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线知a、b带异号电荷．a对c的库仑力Fa＝eq \f(kqaqc,ac2)①
b对c的库仑力Fb＝eq \f(kqbqc,bc2)②
设合力向左，如图所示，根据相似三角形得eq \f(Fa,ac)＝eq \f(Fb,bc)③
由①②③得k＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(qa,qb)))＝eq \f(ac3,bc3)＝eq \f(64,27)，若合力向右，结果仍成立，D正确．
变式1 (2019·湖北宜昌市元月调考)如图6所示，在边长为l的正方形的每个顶点都放置一个点电荷，其中a和b电荷量均为＋q，c和d电荷量均为－q.则a电荷受到的其他三个电荷的静电力的合力大小是( )
图6
A．0 B.eq \f(\r(2)kq2,l2) C.eq \f(kq2,l2) D.eq \f(3kq2,2l2)
答案 D
解析 a和b电荷量为＋q，c和d电荷量为－q，则c、d电荷对a电荷的库仑力为引力，b电荷对a电荷的库仑力为斥力．根据库仑定律，|Fca|＝eq \f(kq2,\r(2)l2)；|Fba|＝|Fda|＝keq \f(q2,l2)；根据力的合成法则，a电荷所受的电场力大小为：F＝eq \f(3kq2,2l2)，故A、B、C错误，D正确．
1．解题思路
涉及库仑力的平衡问题，其解题思路与力学中的平衡问题一样，只是在原来受力的基础上多了库仑力，具体步骤如下：
2．特别提醒
注意库仑力的方向：同性相斥，异性相吸，沿两电荷连线方向．
例2 (2019·安徽宣城市第二次模拟)如图7，光滑绝缘圆环竖直放置，a、b、c为三个套在圆环上可自由滑动的空心带电小球，已知小球c位于圆环最高点，ac连线与竖直方向成60°角，bc连线与竖直方向成30°角，三个小球均处于静止状态．下列说法正确的是( )
图7
A．小球a、b、c带同种电荷
B．小球a、b带异种电荷
C．小球a、b电荷量之比为eq \f(\r(3),6)
D．小球a、b电荷量之比为eq \f(\r(3),9)
答案 D
解析 对c小球受力分析可得，a、b小球必须带同种电荷，c小球才能平衡；对b小球受力分析可得，b、c小球带异种电荷，b小球才能平衡，故A、B错误．设环的半径为R，a、b、c球的带电荷量分别为q1、q2和q3，由几何关系可得lac＝R，lbc＝eq \r(3)R，a与b对c的作用力都是吸引力，它们对c的作用力在水平方向的分力大小相等，则有eq \f(kq1q3,l\\al(ac2,))·sin 60°＝eq \f(kq2q3,l\\al(bc2,))·sin 30°，所以eq \f(q1,q2)＝eq \f(\r(3),9)，故选项C错误，D正确．
变式2 (2019·全国卷Ⅰ·15)如图8，空间存在一方向水平向右的匀强电场，两个带电小球P和Q用相同的绝缘细绳悬挂在水平天花板下，两细绳都恰好与天花板垂直，则( )
图8
A．P和Q都带正电荷
B．P和Q都带负电荷
C．P带正电荷，Q带负电荷
D．P带负电荷，Q带正电荷
答案 D
解析 对P、Q整体进行受力分析可知，在水平方向上整体所受电场力为零，所以P、Q必带等量异种电荷，选项A、B错误；对P进行受力分析可知，Q对P的库仑力水平向右，则匀强电场对P的电场力应水平向左，所以P带负电荷，Q带正电荷，选项C错误，D正确．
变式3 (2019·福建南平市第二次综合质检)如图9所示，倾角为θ的光滑绝缘斜面固定在水平面上．为了使质量为m，带电荷量为＋q的小球静止在斜面上，可加一平行纸面的匀强电场(未画出)，则( )
图9
A．电场强度的最小值为E＝eq \f(mgtan θ,q)
B．若电场强度E＝eq \f(mg,q)，则电场强度方向一定竖直向上
C．若电场强度方向从沿斜面向上逐渐转到竖直向上，则电场强度逐渐增大
D．若电场强度方向从沿斜面向上逐渐转到竖直向上，则电场强度先减小后增大
答案 C
解析 对小球受力分析，如图所示，电场力与支持力垂直时，所加的电场强度最小，此时场强方向沿斜面向上，mgsin θ＝qEmin，解得电场强度的最小值为Emin＝eq \f(mgsin θ,q)，选项A错误；若电场强度E＝eq \f(mg,q)，则电场力与重力大小相等，由图可知，电场力方向可能竖直向上，也可能斜向左下，选项B错误；由图可知，若电场强度方向从沿斜面向上逐渐转到竖直向上，则电场力逐渐变大，电场强度逐渐增大，选项C正确，D错误．
例3 (多选)(2020·广东汕头市教学质量监测)质量均为m的三个带电小球A、B、C用三根长度均为l的绝缘丝线相互连接，放置在光滑绝缘的水平面上，A球的电荷量为＋q.在C球上施加一个水平向右的恒力F之后，三个小球一起向右运动，三根丝线刚好都伸直且没有弹力，F的作用线的反向延长线与A、B间的丝线相交于丝线的中点，如图10所示．已知静电力常量为k，下列说法正确的是( )
图10
A．B球的电荷量可能为＋2q
B．C球的电荷量为－2q
C．三个小球一起运动的加速度大小为eq \f(\r(3)kq2,ml2)
D．恒力F的大小为eq \f(2\r(3)kq2,l2)
答案 BC
解析 根据对称性可知，A球的电荷量和B球的电荷量相同，故A错误；设C球的电荷量大小为qC，以A球为研究对象，B球对A球的库仑斥力为FBA＝eq \f(kq2,l2)，C球对A球的库仑引力为FCA＝eq \f(kqqC,l2)，由题意可知小球运动的加速度方向与F的作用线平行，则有：FCAsin 30°＝FBA，FCAcs 30°＝ma，解得：qC＝2q，a＝eq \f(\r(3)kq2,ml2)，C球带负电，故C球的电荷量为－2q，故B、C正确；以三个小球整体为研究对象，根据牛顿第二定律可得：F＝3ma＝eq \f(3\r(3)kq2,l2)，故D错误．
变式4 (多选)(2019·安徽蚌埠市第三次质量检测)如图11所示，带电小球甲固定在光滑的水平绝缘桌面上，在桌面上距甲一定距离有另一个带电小球乙，乙在桌面上运动，甲、乙均可视为质点．某时刻乙的速度沿垂直于甲、乙的连线方向，则( )
图11
A．若甲、乙带同种电荷，以后乙一定做速度变大的曲线运动
B．若甲、乙带同种电荷，以后乙一定做加速度变大的曲线运动
C．若甲、乙带异种电荷，以后乙可能做匀速圆周运动
D．若甲、乙带异种电荷，以后乙可能做加速度和速度都变小的曲线运动
答案 ACD
解析 若甲、乙带同种电荷，甲、乙之间的库仑力为排斥力，且力的方向和速度的方向不在一条直线上，所以乙一定做曲线运动，由于两者之间的距离越来越大，它们之间的库仑力也就越来越小，所以乙的加速度在减小，速度增大，故A正确，B错误；若甲、乙带异种电荷，甲、乙之间的库仑力为吸引力，当甲、乙之间的库仑力恰好等于乙做圆周运动的向心力，则乙球若绕着甲球做匀速圆周运动，此时乙球速度的大小和加速度的大小都不变，当甲、乙之间的库仑力小于需要的向心力时，乙球做离心运动，速度和加速度都要减小，故C、D正确．
类型1 点电荷电场强度的叠加及计算
1．电场强度的性质
(1)矢量性：规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点场强的方向；
(2)唯一性：电场中某一点的电场强度E是唯一的，它的大小和方向与放入该点的电荷q无关，它决定于形成电场的电荷(场源电荷)及空间位置；
(3)叠加性：如果有几个静止点电荷在空间同时产生电场，那么空间某点的场强是各场源电荷单独存在时在该点所产生的场强的矢量和．
2．三个计算公式
3.等量同种和异种点电荷的电场强度的比较
例4 如图12所示，E、F、G、H为矩形ABCD各边的中点，O为EG、HF的交点，AB边的长度为d.E、G两点各固定一等量正点电荷，另一电荷量为Q的负点电荷置于H点时，F点处的电场强度恰好为零．若将H点的负电荷移到O点，则F点处场强的大小和方向为(静电力常量为k)( )
图12
A.eq \f(4kQ,d2)，方向向右 B.eq \f(4kQ,d2)，方向向左
C.eq \f(3kQ,d2)，方向向右 D.eq \f(3kQ,d2)，方向向左
答案 D
解析 当负点电荷在H点时，F点处电场强度恰好为零，根据公式E＝keq \f(Q,r2)可得负点电荷在F点产生的电场强度大小为E＝keq \f(Q,d2)，方向水平向左，故两个正点电荷在F点的合场强大小为
E＝keq \f(Q,d2)，方向水平向右；负点电荷移到O点，在F点产生的电场强度大小为E1＝keq \f(4Q,d2)，方向水平向左，所以F点的合场强为keq \f(4Q,d2)－keq \f(Q,d2)＝keq \f(3Q,d2)，方向水平向左，故D正确，A、B、C错误．
变式5 如图13所示，四个点电荷所带电荷量的绝对值均为Q，分别固定在正方形的四个顶点上，正方形边长为a，则正方形两条对角线交点处的电场强度( )
图13
A．大小为eq \f(4\r(2)kQ,a2)，方向竖直向上
B．大小为eq \f(2\r(2)kQ,a2)，方向竖直向上
C．大小为eq \f(4\r(2)kQ,a2)，方向竖直向下
D．大小为eq \f(2\r(2)kQ,a2)，方向竖直向下
答案 C
解析 一个点电荷在两条对角线交点O产生的场强大小为E＝eq \f(kQ,\f(\r(2),2)a2)＝eq \f(2kQ,a2)，对角线上的两异种点电荷在O处的合场强为E合＝2E＝eq \f(4kQ,a2)，故两等大的场强互相垂直，合场强为EO＝eq \r(E\\al(合2,)＋E\\al(合2,))＝eq \f(4\r(2)kQ,a2)，方向竖直向下，故选C.
类型2 非点电荷电场强度的叠加及计算
1．等效法
在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景．
例如：一个点电荷＋q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个异种点电荷形成的电场，如图14甲、乙所示．
图14
例5 一无限大接地导体板MN前面放有一点电荷＋Q，它们在周围产生的电场可看作是在没有导体板MN存在的情况下，由点电荷＋Q与其像电荷－Q共同激发产生的．像电荷－Q的位置就是把导体板当作平面镜时，电荷＋Q在此镜中的像点位置．如图15所示，已知＋Q所在位置P点到金属板MN的距离为L，a为OP的中点，abcd是边长为L的正方形，其中ab边平行于MN.则( )
图15
A．a点的电场强度大小为E＝4keq \f(Q,L2)
B．a点的电场强度大小大于b点的电场强度大小
C．b点的电场强度和c点的电场强度相同
D．一正点电荷从a点经b、c运动到d点的过程中电势能的变化量为零
答案 B
解析 由题意可知，点电荷＋Q和金属板MN周围空间电场与等量异种点电荷产生的电场等效，所以a点的电场强度E＝keq \f(Q,\f(L,2)2)＋keq \f(Q,\f(3L,2)2)＝eq \f(40kQ,9L2)，A错误；等量异种点电荷周围的电场线分布如图所示
由图可知Ea>Eb，B正确；图中b、c两点的场强方向不同，C错误；由于a点的电势大于d点的电势，所以一正点电荷从a点经b、c运动到d点的过程中电场力做正功，电荷的电势能减小，D错误．
2．对称法
利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化．
例如：如图16所示，均匀带电的eq \f(3,4)球壳在O点产生的场强，等效为弧BC产生的场强，弧BC产生的场强方向，又等效为弧的中点M在O点产生的场强方向．
图16
例6 (2019·四川成都市第二次诊断)如图17所示，边长为L的正六边形 ABCDEF的5条边上分别放置5根长度也为L的相同绝缘细棒．每根细棒均匀带上正电．现将电荷量为＋Q的点电荷置于BC中点，此时正六边形几何中心O点的场强为零．若移走＋Q及AB边上的细棒，则O点电场强度大小为(k为静电力常量，不考虑绝缘棒及＋Q之间的相互影响)( )
图17
A.eq \f(kQ,L2) B.eq \f(4kQ,3L2) C.eq \f(2\r(3)kQ,3L2) D.eq \f(4\r(3)kQ,3L2)
答案 D
解析 由题意，＋Q的点电荷在O点的电场强度大小为E＝eq \f(kQ,\f(\r(3),2)L2)＝eq \f(4kQ,3L2)；那么每根细棒在O点的电场强度大小也为E＝eq \f(4kQ,3L2)；因此＋Q及AB边上的细棒在O点的合电场强度大小
E合＝eq \f(4\r(3)kQ,3L2)，其方向如图所示：
若移走＋Q及AB边上的细棒，那么其余棒在O点的电场强度大小为E合′＝eq \f(4\r(3)kQ,3L2)，故A、B、C错误，D正确．
3．填补法
将有缺口的带电圆环或圆板补全为完整的圆环或圆板，或将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍．
例7 (多选)(2019·云南大姚县一中一模)已知均匀带电球壳内部电场强度处处为零，电势处处相等．如图18所示，正电荷均匀分布在半球面上，Ox为通过半球顶点与球心O的轴线，A、B为轴上的点，且AO＝OB，则下列判断正确的是( )
图18
A．A、B两点的电势相等
B．A、B两点的电场强度相同
C．点电荷从A点移动到B点，电场力一定做正功
D．同一个负电荷放在B点比放在A点的电势能大
答案 BD
解析 根据电场的叠加原理可知，x轴上电场线方向向右，则A点的电势高于B点的电势，故A错误；将半球壳补成一个完整的球壳，且带电均匀，设左、右半球在A点产生的场强大小分别为E1和E2.由题知，均匀带电球壳内部电场强度处处为零，则知 E1＝E2.根据对称性可知，左、右半球在B点产生的场强大小分别为E2和E1，且 E1＝E2.则在图示电场中，A的场强大小为E1，方向向右，B的场强大小为E2，方向向右，所以A点的电场强度与B点的电场强度相同，故B正确．点电荷从A点移到B点，电势降低，由于点电荷的电性未知，则电场力不一定做正功，故C错误．A点的电势高于B点的电势，根据负电荷在电势高处电势能小，在电势低处电势能大，知同一个负电荷放在B点比放在A点的电势能大，故D正确．
1．三个相同的金属小球1、2、3分别置于绝缘支架上，各球之间的距离远大于小球的直径．球1的带电荷量为＋q，球2的带电荷量为＋nq，球3不带电且离球1和球2很远，此时球1、2之间作用力的大小为F.现使球3先与球2接触，再与球1接触，然后将球3移至远处，此时球1、2之间作用力的大小仍为F，方向不变．由此可知( )
A．n＝3 B．n＝4
C．n＝5 D．n＝6
答案 D
解析 由于各球之间距离远大于小球的直径，小球带电时可视为点电荷．由库仑定律
F＝keq \f(Q1Q2,r2)知，两点电荷间距离不变时，两电荷间静电力大小与两点电荷所带电荷量的乘积成正比．由于三个小球相同，则两球接触时平分总电荷量，故有q·nq＝eq \f(nq,2)· eq \f(q＋\f(nq,2),2)，解得n＝6，D正确．
2．(多选)在电场中的某点A放一电荷量为＋q的试探电荷，它所受到的电场力大小为F，方向水平向右，则A点的场强大小EA＝eq \f(F,q)，方向水平向右．下列说法正确的是( )
A．在A点放置一个电荷量为－q的试探电荷，A点的场强方向变为水平向左
B．在A点放置一个电荷量为＋2q的试探电荷，则A点的场强变为2EA
C．在A点放置一个电荷量为－q的试探电荷，它所受的电场力方向水平向左
D．在A点放置一个电荷量为＋2q的试探电荷，它所受的电场力为2F
答案 CD
解析 E＝eq \f(F,q)是电场强度的定义式，某点的场强大小和方向与场源电荷有关，与放入的试探电荷无关，故选项A、B错误；因负电荷受到的电场力的方向与场强方向相反，故选项C正确；A点场强EA一定，放入的试探电荷所受电场力大小为F′＝q′EA，当放入电荷量为＋2q的试探电荷时，试探电荷所受电场力应为2F，故选项D正确．
3．(多选)在光滑绝缘的水平桌面上，存在着方向水平向右的匀强电场，电场线如图1中实线所示．一初速度不为零的带电小球从桌面上的A点开始运动，到C点时，突然受到一个外加的水平恒力F作用而继续运动到B点，其运动轨迹如图中虚线所示，v表示小球经过C点时的速度，则( )
图1
A．小球带正电
B．恒力F的方向可能水平向左
C．恒力F的方向可能与v方向相反
D．在A、B两点小球的速率不可能相等
答案 AB
解析 由小球从A点到C点的轨迹可知，小球受到的电场力方向向右，带正电，选项A正确；小球从C点到B点，所受合力指向轨迹凹侧，当水平恒力F水平向左时，合力可能向左，符合要求，当恒力F的方向与v方向相反时，合力背离CB段轨迹凹侧，不符合要求，选项B正确，C错误；小球从A点到B点，由动能定理，当电场力与恒力F做功的代数和为零时，在A、B两点小球的速率相等，选项D错误．
4.如图2所示，一电子沿等量异种点电荷连线的中垂线由A→O→B匀速飞过，电子重力不计，则电子所受另一个力的大小和方向变化情况是( )
图2
A．先变大后变小，方向水平向左
B．先变大后变小，方向水平向右
C．先变小后变大，方向水平向左
D．先变小后变大，方向水平向右
答案 B
解析 根据等量异种点电荷周围的电场线分布知，从A→O→B，电场强度的方向不变，水平向右，电场强度的大小先增大后减小，则电子所受电场力的大小先变大后变小，方向水平向左，则外力的大小先变大后变小，方向水平向右，故B正确，A、C、D错误．
5. (2019·四川攀枝花市第二次统考)如图3所示，真空中三个质量相等的小球A、B、C，带电荷量大小分别为QA ＝ 6q，QB＝3q，QC＝8q.现用适当大小的恒力F拉C，可使A、B、C沿光滑水平面做匀加速直线运动，运动过程中 A、B、C保持相对静止，且A、B间距离与B、C间距离相等．不计电荷运动产生磁场的影响，小球可视为点电荷，则此过程中B、C之间的作用力大小为( )
图3
A.eq \f(4,3)F B．F C.eq \f(2,3)F D.eq \f(1,3)F
答案 A
解析 设小球的质量为m，以三个球为整体：F＝3ma；
以A、B为整体：F1＝2ma，解得F1＝eq \f(2,3)F；
由牛顿第三定律知A、B对C的库仑力的合力大小为eq \f(2,3)F.
根据库仑定律得eq \f(FBC,FAC)＝keq \f(3q·8q,L2)∶keq \f(6q·8q,4L2)＝eq \f(2,1)，A、B所受C的库仑力方向不可能相同，结合牛顿第三定律可知：FBC－FAC＝eq \f(2,3)F，解得FBC＝eq \f(4,3)F.
6.如图4，xOy平面直角坐标系所在空间有沿x轴负方向的匀强电场(图中未画出)，电场强度大小为E.坐标系上的A、B、C三点构成边长为L的等边三角形．若将两电荷量相等的正点电荷分别固定在A、B两点，C点处的电场强度恰好为零．则A处的点电荷在C点产生的电场强度大小为( )
图4
A．E B.eq \f(\r(3),3)E
C.eq \r(3)E D.eq \f(\r(3),2)E
答案 B
解析 C点三个电场方向如图所示，根据题意可知E1cs 30°＋E2cs 30°＝E，又E1＝E2，解得E2＝eq \f(\r(3),3)E，B正确．
7.如图5所示，一个绝缘圆环，当它的eq \f(1,4)段均匀带电且电荷量为＋q时，圆心O处的电场强度大小为E，现使半圆ABC均匀带电＋2q，而另一半圆ADC均匀带电－2q，则圆心O处电场强度的大小和方向为( )
图5
A．2eq \r(2)E，方向由O指向D
B．4E，方向由O指向D
C．2eq \r(2)E，方向由O指向B
D．0
答案 A
解析 当圆环的eq \f(1,4)段均匀带电且电荷量为＋q时，圆心O处的电场强度大小为E，当半圆ABC均匀带电＋2q时，由如图所示的矢量合成可得，在圆心O处的电场强度大小为eq \r(2)E，方向由O指向D；当另一半圆ADC均匀带电－2q时，同理，在圆心O处的电场强度大小为eq \r(2)E，方向由O指向D；根据矢量的合成法则，圆心O处的电场强度的大小为2eq \r(2)E，方向由O指向D.
8．(2019·广东广州市4月综合测试)如图6，在光滑绝缘水平桌面上，三个带电小球a、b和c分别固定于正三角形顶点上．已知a、b带电荷量均为＋q，c带电荷量为－q，则( )
图6
A．ab连线中点场强为零
B．三角形中心处场强为零
C．a所受库仑力方向垂直于ab连线
D．a、b、c所受库仑力大小之比为1∶1∶eq \r(3)
答案 D
解析 在ab连线的中点处，a、b两电荷在该点的合场强为零，则该点的场强等于c在该点的场强，大小不为零，选项A错误．在三角形的中心处，a、b两电荷在该点的场强大小相等，方向夹120°角，则合场强竖直向下，电荷c在该点的场强也是竖直向下，则三角形中心处场强不为零，选项B错误．a受到b的斥力沿ba方向，受到c的引力沿ac方向，则其合力方向斜向左下方与ab连线成60°角，选项C错误．设三角形的边长为l，a、b所受库仑力大小相等，Fa＝Fb＝2eq \f(kq2,l2)cs 60°＝eq \f(kq2,l2)；c所受库仑力：Fc＝2eq \f(kq2,l2)cs 30°＝eq \f(\r(3)kq2,l2)，则 a、b、c所受库仑力大小之比为1∶1∶eq \r(3)，选项D正确．
9．(多选)如图7所示，光滑绝缘的水平面上有一带电荷量为－q的点电荷，在距水平面高h处的空间内存在一场源点电荷＋Q，两电荷连线与水平面间的夹角θ＝30°，现给－q一水平初速度，使其恰好能在水平面上做匀速圆周运动(恰好不受支持力)，已知重力加速度为g，静电力常量为k，则( )
图7
A．点电荷－q做匀速圆周运动的向心力为eq \f(\r(3)kQq,4h2)
B．点电荷－q做匀速圆周运动的向心力为eq \f(\r(3)kQq,8h2)
C．点电荷－q做匀速圆周运动的线速度为eq \r(3gh)
D．点电荷－q做匀速圆周运动的线速度为eq \f(\r(3gh),2)
答案 BC
解析 点电荷－q恰好能在水平面上做匀速圆周运动，点电荷－q受到竖直向下的重力以及点电荷＋Q的引力，如图所示，电荷之间的引力在水平方向上的分力充当向心力，两点电荷间距离R＝eq \f(h,sin θ)，Fn＝keq \f(Qq,R2)·cs θ，联立解得Fn＝eq \f(\r(3)kQq,8h2)，A错误，B正确；点电荷－q做匀速圆周运动的半径r＝eq \f(h,tan θ)，因为Fn＝eq \f(mg,tan θ)，根据Fn＝meq \f(v2,r)，可得v＝eq \r(3gh)，C正确，D错误．
10. (2019·广东“六校”第三次联考)如图8，通过绝缘轻绳将质量均为m的三个小球A、B、C连接在一起并悬于O点，其中A、B球带电，且带电荷量均为＋q，C球不带电．整个空间存在方向竖直向下的匀强电场，场强大小为E＝eq \f(mg,q).当把OA段细线剪断的瞬间( )
图8
A．A球的加速度小于2g
B．B球的加速度大于2g
C．A球和B球之间的绳子拉力为0
D．B球和C球之间的绳子拉力为0
答案 D
解析 剪断绳子OA的瞬间，假设AB和BC段的绳子均无作用力，对A受力分析有：
mg＋qE－keq \f(q2,LAB)＝maA，对B：mg＋qE＋keq \f(q2,LAB)＝maB，对C：mg＝maC，则有aA<2g，aB>2g，
aC＝g，结合轻绳的受力特点可知，AB段绳子绷紧，AB成为一个整体，BC段绳子松弛，故有对AB整体：mg＋mg＋2qE＝2maAB，则aAB＝2g，故A、B错误；对A分析有：mg＋qE＋F－keq \f(q2,LAB)＝maAB，故F＝keq \f(q2,LAB)，故C错误；结合以上分析可知，BC段绳子松弛，故BC段绳子拉力为0，故D正确．
11.如图9所示，一电荷量为＋Q的均匀带电细棒，在过中点c垂直于细棒的直线上有a、b、d三点，且ab＝bc＝cd＝L，在a点处有一电荷量为＋eq \f(Q,2)的固定点电荷．已知b点处的场强为零，则d点处场强的大小为(k为静电力常量)( )
图9
A．keq \f(5Q,9L2) B．keq \f(3Q,L2) C．keq \f(3Q,2L2) D．keq \f(9Q,2L2)
答案 A
解析 a点处的电荷量为＋eq \f(Q,2)的点电荷在b处产生的电场强度为E＝eq \f(kQ,2L2)，方向向右，b点处的场强为零，根据电场的叠加原理可知细棒与a点处的点电荷在b处产生的电场强度大小相等，方向相反，则知细棒在b处产生的电场强度大小为E′＝eq \f(kQ,2L2)，方向向左．根据对称性可知细棒在d处产生的电场强度大小为eq \f(kQ,2L2)，方向向右；而电荷量为＋eq \f(Q,2)的点电荷在d处产生的电场强度为E″＝eq \f(kQ,23L2)＝eq \f(kQ,18L2)，方向向右，所以d点处场强的大小为Ed＝eq \f(5kQ,9L2)，方向向右，故选项A正确．
12．如图10所示，质量为m的小球A穿在光滑绝缘细杆上，杆的倾角为α，小球A带正电(可视为点电荷)，电荷量为q.在杆上B点处固定一个电荷量为Q的正点电荷．将A由距B竖直高度为H处无初速度释放，小球A下滑过程中电荷量不变．整个装置处在真空中，已知静电力常量k和重力加速度g.求：
图10
(1)A球刚释放时的加速度是多大；
(2)当A球的动能最大时，A球与B点间的距离．
答案 (1)gsin α－eq \f(kQqsin2 α,mH2) (2)eq \r(\f(kQq,mgsin α))
解析 (1)小球A刚释放时，由牛顿第二定律有mgsin α－F＝ma，
根据库仑定律有F＝keq \f(qQ,r2)，又r＝eq \f(H,sin α)
联立解得a＝gsin α－eq \f(kQqsin2 α,mH2)
(2)当A球受到的合力为零，即加速度为零时，动能最大．设此时A球与B点间的距离为d.
则mgsin α＝eq \f(kQq,d2)，解得d＝eq \r(\f(kQq,mgsin α)).五年高考(全国卷)命题分析
五年常考热点
五年未考重点
库仑定律及应用
2019
2018
1卷15题
1卷16题
1.库仑定律的理解
2.电场强度的矢量性及合成问题
3.“三线问题”即电场线、等势线和轨迹线
4.电场中的图象问题
5.电容器两类动态问题的分析
电场性质的理解
2019
2018
2017
2016
2015
2卷20题、3卷21题
1卷21题、2卷21题、3卷21题
1卷20题、3卷21题
1卷20题、3卷15题
1卷15题
电容器
2016
2015
1卷14题
2卷14题
带电粒子在电场中的运动
2019
2016
2015
2卷24题
2卷15题
2卷24题
带电体在电场和重力场中运动的多过程问题
2019
2017
3卷24题
1卷25题、2卷25题
1.考查方式：本章内容在高考中单独命题较多，有选择题也有计算题．选择题主要考查对基本概念和物理模型的理解，如电场的分布特点、电势、电势能的理解；计算题主要考查带电粒子或带电体在电场中的运动，常与牛顿运动定律、功能关系、能量守恒综合考查.
2.命题趋势：常与实际生活、科学研究联系密切，通过某些情景或素材如喷墨打印机、静电除尘、示波管、加速器等进行命题考查.
公式
适用条件
说明
定义式
E＝eq \f(F,q)
任何电场
某点的场强为确定值，大小及方向与q无关
决定式
E＝keq \f(Q,r2)
真空中点电荷的电场
E由场源电荷Q和场源电荷到某点的距离r决定
关系式
E＝eq \f(U,d)
匀强电场
d是沿电场方向的距离
比较项目
等量异种点电荷
等量同种点电荷
电场线的分布图
连线中点O处的场强
连线上O点场强最小，指向负电荷一方
为零
连线上的场强大小(从左到右)
沿连线先变小，再变大
沿连线先变小，再变大
沿连线的中垂场线由O点向外强大小
O点最大，向外逐渐变小
O点最小，向外先变大后变小
关于O点对称的A与A′，B与B′的场强
等大同向
等大反向
第1讲 电场力的性质
一、电荷 电荷守恒定律
1．元电荷、点电荷
(1)元电荷：e＝1.60×10－19 C，所有带电体的电荷量都是元电荷的整数倍．
(2)点电荷：代表带电体的有一定电荷量的点，忽略带电体的大小、形状及电荷分布状况的理想化模型．
2．电荷守恒定律
(1)内容：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分，在转移过程中，电荷的总量保持不变．
(2)三种起电方式：摩擦起电、感应起电、接触起电．
(3)带电实质：物体得失电子．
(4)电荷的分配原则：两个形状、大小相同且带同种电荷的同种导体，接触后再分开，二者带等量同种电荷，若两导体原来带异种电荷，则电荷先中和，余下的电荷再平分．
自测1 如图1所示，两个不带电的导体A和B，用一对绝缘柱支撑使它们彼此接触．把一带正电荷的物体C置于A附近，贴在A、B下部的金属箔都张开( )
图1
A．此时A带正电，B带负电
B．此时A带正电，B带正电
C．移去C，贴在A、B下部的金属箔都闭合
D．先把A和B分开，然后移去C，贴在A、B下部的金属箔都闭合
答案 C
解析 由静电感应可知，A左端带负电，B右端带正电，选项A、B错误；若移去C，A、B两端电荷中和，则贴在A、B下部的金属箔都闭合，选项C正确；先把A和B分开，然后移去C，则A、B带的电荷不能中和，故贴在A、B下部的金属箔仍张开，选项D错误．
二、库仑定律
1．内容
真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上．
2．表达式
F＝keq \f(q1q2,r2)，式中k＝9.0×109 N· m2/C2，叫做静电力常量．
3．适用条件
真空中的静止点电荷．
(1)在空气中，两个点电荷的作用力近似等于真空中的情况，可以直接应用公式．
(2)当两个带电体间的距离远大于其本身的大小时，可以把带电体看成点电荷．
判断正误 (1)由库仑定律公式F＝keq \f(q1q2,r2)可知，当r→0时，F为无穷大．( × )
(2)两个带电体之间的库仑力是一对相互作用力，大小相等，方向相反．( √ )
(3)库仑定律是通过实验总结出的规律．( √ )
三、电场、电场强度
1．电场
(1)定义：存在于电荷周围，能传递电荷间相互作用的一种特殊物质；
(2)基本性质：对放入其中的电荷有力的作用．
2．电场强度
(1)定义：放入电场中某点的电荷受到的电场力F与它的电荷量q的比值．
(2)定义式：E＝eq \f(F,q)；单位：N/C或V/m.
(3)矢量性：规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点电场强度的方向．
3．点电荷的电场：真空中距场源电荷Q为r处的场强大小为E＝keq \f(Q,r2).
自测2 如图2所示，电荷量为q1和q2的两个点电荷分别位于P点和Q点．已知在P、Q连线上某点R处的电场强度为零，且PR＝2RQ.则( )
图2
A．q1＝2q2 B．q1＝4q2
C．q1＝－2q2 D．q1＝－4q2
答案 B
解析 由题意知q1、q2为同种电荷，设RQ＝r，则PR＝2r，有keq \f(q1,2r2)＝keq \f(q2,r2)，q1＝4q2.
四、电场线的特点
1．电场线从正电荷或无限远出发，终止于无限远或负电荷．
2．电场线在电场中不相交．
3．在同一幅图中，电场强度较大的地方电场线较密，电场强度较小的地方电场线较疏．
自测3 两个带电荷量分别为Q1、Q2的质点周围的电场线如图3所示，由图可知( )
图3
A．两质点带异号电荷，且Q1>Q2
B．两质点带异号电荷，且Q1
D．两质点带同号电荷，且Q1
1．库仑定律适用于真空中静止点电荷间的相互作用．
2．对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离．
3．对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布，如图4所示．
图4
(1)同种电荷：F＜keq \f(q1q2,r2)；(2)异种电荷：F＞keq \f(q1q2,r2).
4．不能根据公式错误地认为r→0时，库仑力F→∞，因为当r →0时，两个带电体已不能看做点电荷了．
例1 (2018·全国卷Ⅰ·16)如图5，三个固定的带电小球a、b和c，相互间的距离分别为ab＝5 cm，bc＝3 cm，ca＝4 cm.小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线．设小球a、b所带电荷量的比值的绝对值为k，则( )
图5
A．a、b的电荷同号，k＝eq \f(16,9)
B．a、b的电荷异号，k＝eq \f(16,9)
C．a、b的电荷同号，k＝eq \f(64,27)
D．a、b的电荷异号，k＝eq \f(64,27)
答案 D
解析 由小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线知a、b带异号电荷．a对c的库仑力Fa＝eq \f(kqaqc,ac2)①
b对c的库仑力Fb＝eq \f(kqbqc,bc2)②
设合力向左，如图所示，根据相似三角形得eq \f(Fa,ac)＝eq \f(Fb,bc)③
由①②③得k＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(qa,qb)))＝eq \f(ac3,bc3)＝eq \f(64,27)，若合力向右，结果仍成立，D正确．
变式1 (2019·湖北宜昌市元月调考)如图6所示，在边长为l的正方形的每个顶点都放置一个点电荷，其中a和b电荷量均为＋q，c和d电荷量均为－q.则a电荷受到的其他三个电荷的静电力的合力大小是( )
图6
A．0 B.eq \f(\r(2)kq2,l2) C.eq \f(kq2,l2) D.eq \f(3kq2,2l2)
答案 D
解析 a和b电荷量为＋q，c和d电荷量为－q，则c、d电荷对a电荷的库仑力为引力，b电荷对a电荷的库仑力为斥力．根据库仑定律，|Fca|＝eq \f(kq2,\r(2)l2)；|Fba|＝|Fda|＝keq \f(q2,l2)；根据力的合成法则，a电荷所受的电场力大小为：F＝eq \f(3kq2,2l2)，故A、B、C错误，D正确．
1．解题思路
涉及库仑力的平衡问题，其解题思路与力学中的平衡问题一样，只是在原来受力的基础上多了库仑力，具体步骤如下：
2．特别提醒
注意库仑力的方向：同性相斥，异性相吸，沿两电荷连线方向．
例2 (2019·安徽宣城市第二次模拟)如图7，光滑绝缘圆环竖直放置，a、b、c为三个套在圆环上可自由滑动的空心带电小球，已知小球c位于圆环最高点，ac连线与竖直方向成60°角，bc连线与竖直方向成30°角，三个小球均处于静止状态．下列说法正确的是( )
图7
A．小球a、b、c带同种电荷
B．小球a、b带异种电荷
C．小球a、b电荷量之比为eq \f(\r(3),6)
D．小球a、b电荷量之比为eq \f(\r(3),9)
答案 D
解析 对c小球受力分析可得，a、b小球必须带同种电荷，c小球才能平衡；对b小球受力分析可得，b、c小球带异种电荷，b小球才能平衡，故A、B错误．设环的半径为R，a、b、c球的带电荷量分别为q1、q2和q3，由几何关系可得lac＝R，lbc＝eq \r(3)R，a与b对c的作用力都是吸引力，它们对c的作用力在水平方向的分力大小相等，则有eq \f(kq1q3,l\\al(ac2,))·sin 60°＝eq \f(kq2q3,l\\al(bc2,))·sin 30°，所以eq \f(q1,q2)＝eq \f(\r(3),9)，故选项C错误，D正确．
变式2 (2019·全国卷Ⅰ·15)如图8，空间存在一方向水平向右的匀强电场，两个带电小球P和Q用相同的绝缘细绳悬挂在水平天花板下，两细绳都恰好与天花板垂直，则( )
图8
A．P和Q都带正电荷
B．P和Q都带负电荷
C．P带正电荷，Q带负电荷
D．P带负电荷，Q带正电荷
答案 D
解析 对P、Q整体进行受力分析可知，在水平方向上整体所受电场力为零，所以P、Q必带等量异种电荷，选项A、B错误；对P进行受力分析可知，Q对P的库仑力水平向右，则匀强电场对P的电场力应水平向左，所以P带负电荷，Q带正电荷，选项C错误，D正确．
变式3 (2019·福建南平市第二次综合质检)如图9所示，倾角为θ的光滑绝缘斜面固定在水平面上．为了使质量为m，带电荷量为＋q的小球静止在斜面上，可加一平行纸面的匀强电场(未画出)，则( )
图9
A．电场强度的最小值为E＝eq \f(mgtan θ,q)
B．若电场强度E＝eq \f(mg,q)，则电场强度方向一定竖直向上
C．若电场强度方向从沿斜面向上逐渐转到竖直向上，则电场强度逐渐增大
D．若电场强度方向从沿斜面向上逐渐转到竖直向上，则电场强度先减小后增大
答案 C
解析 对小球受力分析，如图所示，电场力与支持力垂直时，所加的电场强度最小，此时场强方向沿斜面向上，mgsin θ＝qEmin，解得电场强度的最小值为Emin＝eq \f(mgsin θ,q)，选项A错误；若电场强度E＝eq \f(mg,q)，则电场力与重力大小相等，由图可知，电场力方向可能竖直向上，也可能斜向左下，选项B错误；由图可知，若电场强度方向从沿斜面向上逐渐转到竖直向上，则电场力逐渐变大，电场强度逐渐增大，选项C正确，D错误．
例3 (多选)(2020·广东汕头市教学质量监测)质量均为m的三个带电小球A、B、C用三根长度均为l的绝缘丝线相互连接，放置在光滑绝缘的水平面上，A球的电荷量为＋q.在C球上施加一个水平向右的恒力F之后，三个小球一起向右运动，三根丝线刚好都伸直且没有弹力，F的作用线的反向延长线与A、B间的丝线相交于丝线的中点，如图10所示．已知静电力常量为k，下列说法正确的是( )
图10
A．B球的电荷量可能为＋2q
B．C球的电荷量为－2q
C．三个小球一起运动的加速度大小为eq \f(\r(3)kq2,ml2)
D．恒力F的大小为eq \f(2\r(3)kq2,l2)
答案 BC
解析 根据对称性可知，A球的电荷量和B球的电荷量相同，故A错误；设C球的电荷量大小为qC，以A球为研究对象，B球对A球的库仑斥力为FBA＝eq \f(kq2,l2)，C球对A球的库仑引力为FCA＝eq \f(kqqC,l2)，由题意可知小球运动的加速度方向与F的作用线平行，则有：FCAsin 30°＝FBA，FCAcs 30°＝ma，解得：qC＝2q，a＝eq \f(\r(3)kq2,ml2)，C球带负电，故C球的电荷量为－2q，故B、C正确；以三个小球整体为研究对象，根据牛顿第二定律可得：F＝3ma＝eq \f(3\r(3)kq2,l2)，故D错误．
变式4 (多选)(2019·安徽蚌埠市第三次质量检测)如图11所示，带电小球甲固定在光滑的水平绝缘桌面上，在桌面上距甲一定距离有另一个带电小球乙，乙在桌面上运动，甲、乙均可视为质点．某时刻乙的速度沿垂直于甲、乙的连线方向，则( )
图11
A．若甲、乙带同种电荷，以后乙一定做速度变大的曲线运动
B．若甲、乙带同种电荷，以后乙一定做加速度变大的曲线运动
C．若甲、乙带异种电荷，以后乙可能做匀速圆周运动
D．若甲、乙带异种电荷，以后乙可能做加速度和速度都变小的曲线运动
答案 ACD
解析 若甲、乙带同种电荷，甲、乙之间的库仑力为排斥力，且力的方向和速度的方向不在一条直线上，所以乙一定做曲线运动，由于两者之间的距离越来越大，它们之间的库仑力也就越来越小，所以乙的加速度在减小，速度增大，故A正确，B错误；若甲、乙带异种电荷，甲、乙之间的库仑力为吸引力，当甲、乙之间的库仑力恰好等于乙做圆周运动的向心力，则乙球若绕着甲球做匀速圆周运动，此时乙球速度的大小和加速度的大小都不变，当甲、乙之间的库仑力小于需要的向心力时，乙球做离心运动，速度和加速度都要减小，故C、D正确．
类型1 点电荷电场强度的叠加及计算
1．电场强度的性质
(1)矢量性：规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点场强的方向；
(2)唯一性：电场中某一点的电场强度E是唯一的，它的大小和方向与放入该点的电荷q无关，它决定于形成电场的电荷(场源电荷)及空间位置；
(3)叠加性：如果有几个静止点电荷在空间同时产生电场，那么空间某点的场强是各场源电荷单独存在时在该点所产生的场强的矢量和．
2．三个计算公式
3.等量同种和异种点电荷的电场强度的比较
例4 如图12所示，E、F、G、H为矩形ABCD各边的中点，O为EG、HF的交点，AB边的长度为d.E、G两点各固定一等量正点电荷，另一电荷量为Q的负点电荷置于H点时，F点处的电场强度恰好为零．若将H点的负电荷移到O点，则F点处场强的大小和方向为(静电力常量为k)( )
图12
A.eq \f(4kQ,d2)，方向向右 B.eq \f(4kQ,d2)，方向向左
C.eq \f(3kQ,d2)，方向向右 D.eq \f(3kQ,d2)，方向向左
答案 D
解析 当负点电荷在H点时，F点处电场强度恰好为零，根据公式E＝keq \f(Q,r2)可得负点电荷在F点产生的电场强度大小为E＝keq \f(Q,d2)，方向水平向左，故两个正点电荷在F点的合场强大小为
E＝keq \f(Q,d2)，方向水平向右；负点电荷移到O点，在F点产生的电场强度大小为E1＝keq \f(4Q,d2)，方向水平向左，所以F点的合场强为keq \f(4Q,d2)－keq \f(Q,d2)＝keq \f(3Q,d2)，方向水平向左，故D正确，A、B、C错误．
变式5 如图13所示，四个点电荷所带电荷量的绝对值均为Q，分别固定在正方形的四个顶点上，正方形边长为a，则正方形两条对角线交点处的电场强度( )
图13
A．大小为eq \f(4\r(2)kQ,a2)，方向竖直向上
B．大小为eq \f(2\r(2)kQ,a2)，方向竖直向上
C．大小为eq \f(4\r(2)kQ,a2)，方向竖直向下
D．大小为eq \f(2\r(2)kQ,a2)，方向竖直向下
答案 C
解析 一个点电荷在两条对角线交点O产生的场强大小为E＝eq \f(kQ,\f(\r(2),2)a2)＝eq \f(2kQ,a2)，对角线上的两异种点电荷在O处的合场强为E合＝2E＝eq \f(4kQ,a2)，故两等大的场强互相垂直，合场强为EO＝eq \r(E\\al(合2,)＋E\\al(合2,))＝eq \f(4\r(2)kQ,a2)，方向竖直向下，故选C.
类型2 非点电荷电场强度的叠加及计算
1．等效法
在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景．
例如：一个点电荷＋q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个异种点电荷形成的电场，如图14甲、乙所示．
图14
例5 一无限大接地导体板MN前面放有一点电荷＋Q，它们在周围产生的电场可看作是在没有导体板MN存在的情况下，由点电荷＋Q与其像电荷－Q共同激发产生的．像电荷－Q的位置就是把导体板当作平面镜时，电荷＋Q在此镜中的像点位置．如图15所示，已知＋Q所在位置P点到金属板MN的距离为L，a为OP的中点，abcd是边长为L的正方形，其中ab边平行于MN.则( )
图15
A．a点的电场强度大小为E＝4keq \f(Q,L2)
B．a点的电场强度大小大于b点的电场强度大小
C．b点的电场强度和c点的电场强度相同
D．一正点电荷从a点经b、c运动到d点的过程中电势能的变化量为零
答案 B
解析 由题意可知，点电荷＋Q和金属板MN周围空间电场与等量异种点电荷产生的电场等效，所以a点的电场强度E＝keq \f(Q,\f(L,2)2)＋keq \f(Q,\f(3L,2)2)＝eq \f(40kQ,9L2)，A错误；等量异种点电荷周围的电场线分布如图所示
由图可知Ea>Eb，B正确；图中b、c两点的场强方向不同，C错误；由于a点的电势大于d点的电势，所以一正点电荷从a点经b、c运动到d点的过程中电场力做正功，电荷的电势能减小，D错误．
2．对称法
利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化．
例如：如图16所示，均匀带电的eq \f(3,4)球壳在O点产生的场强，等效为弧BC产生的场强，弧BC产生的场强方向，又等效为弧的中点M在O点产生的场强方向．
图16
例6 (2019·四川成都市第二次诊断)如图17所示，边长为L的正六边形 ABCDEF的5条边上分别放置5根长度也为L的相同绝缘细棒．每根细棒均匀带上正电．现将电荷量为＋Q的点电荷置于BC中点，此时正六边形几何中心O点的场强为零．若移走＋Q及AB边上的细棒，则O点电场强度大小为(k为静电力常量，不考虑绝缘棒及＋Q之间的相互影响)( )
图17
A.eq \f(kQ,L2) B.eq \f(4kQ,3L2) C.eq \f(2\r(3)kQ,3L2) D.eq \f(4\r(3)kQ,3L2)
答案 D
解析 由题意，＋Q的点电荷在O点的电场强度大小为E＝eq \f(kQ,\f(\r(3),2)L2)＝eq \f(4kQ,3L2)；那么每根细棒在O点的电场强度大小也为E＝eq \f(4kQ,3L2)；因此＋Q及AB边上的细棒在O点的合电场强度大小
E合＝eq \f(4\r(3)kQ,3L2)，其方向如图所示：
若移走＋Q及AB边上的细棒，那么其余棒在O点的电场强度大小为E合′＝eq \f(4\r(3)kQ,3L2)，故A、B、C错误，D正确．
3．填补法
将有缺口的带电圆环或圆板补全为完整的圆环或圆板，或将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍．
例7 (多选)(2019·云南大姚县一中一模)已知均匀带电球壳内部电场强度处处为零，电势处处相等．如图18所示，正电荷均匀分布在半球面上，Ox为通过半球顶点与球心O的轴线，A、B为轴上的点，且AO＝OB，则下列判断正确的是( )
图18
A．A、B两点的电势相等
B．A、B两点的电场强度相同
C．点电荷从A点移动到B点，电场力一定做正功
D．同一个负电荷放在B点比放在A点的电势能大
答案 BD
解析 根据电场的叠加原理可知，x轴上电场线方向向右，则A点的电势高于B点的电势，故A错误；将半球壳补成一个完整的球壳，且带电均匀，设左、右半球在A点产生的场强大小分别为E1和E2.由题知，均匀带电球壳内部电场强度处处为零，则知 E1＝E2.根据对称性可知，左、右半球在B点产生的场强大小分别为E2和E1，且 E1＝E2.则在图示电场中，A的场强大小为E1，方向向右，B的场强大小为E2，方向向右，所以A点的电场强度与B点的电场强度相同，故B正确．点电荷从A点移到B点，电势降低，由于点电荷的电性未知，则电场力不一定做正功，故C错误．A点的电势高于B点的电势，根据负电荷在电势高处电势能小，在电势低处电势能大，知同一个负电荷放在B点比放在A点的电势能大，故D正确．
1．三个相同的金属小球1、2、3分别置于绝缘支架上，各球之间的距离远大于小球的直径．球1的带电荷量为＋q，球2的带电荷量为＋nq，球3不带电且离球1和球2很远，此时球1、2之间作用力的大小为F.现使球3先与球2接触，再与球1接触，然后将球3移至远处，此时球1、2之间作用力的大小仍为F，方向不变．由此可知( )
A．n＝3 B．n＝4
C．n＝5 D．n＝6
答案 D
解析 由于各球之间距离远大于小球的直径，小球带电时可视为点电荷．由库仑定律
F＝keq \f(Q1Q2,r2)知，两点电荷间距离不变时，两电荷间静电力大小与两点电荷所带电荷量的乘积成正比．由于三个小球相同，则两球接触时平分总电荷量，故有q·nq＝eq \f(nq,2)· eq \f(q＋\f(nq,2),2)，解得n＝6，D正确．
2．(多选)在电场中的某点A放一电荷量为＋q的试探电荷，它所受到的电场力大小为F，方向水平向右，则A点的场强大小EA＝eq \f(F,q)，方向水平向右．下列说法正确的是( )
A．在A点放置一个电荷量为－q的试探电荷，A点的场强方向变为水平向左
B．在A点放置一个电荷量为＋2q的试探电荷，则A点的场强变为2EA
C．在A点放置一个电荷量为－q的试探电荷，它所受的电场力方向水平向左
D．在A点放置一个电荷量为＋2q的试探电荷，它所受的电场力为2F
答案 CD
解析 E＝eq \f(F,q)是电场强度的定义式，某点的场强大小和方向与场源电荷有关，与放入的试探电荷无关，故选项A、B错误；因负电荷受到的电场力的方向与场强方向相反，故选项C正确；A点场强EA一定，放入的试探电荷所受电场力大小为F′＝q′EA，当放入电荷量为＋2q的试探电荷时，试探电荷所受电场力应为2F，故选项D正确．
3．(多选)在光滑绝缘的水平桌面上，存在着方向水平向右的匀强电场，电场线如图1中实线所示．一初速度不为零的带电小球从桌面上的A点开始运动，到C点时，突然受到一个外加的水平恒力F作用而继续运动到B点，其运动轨迹如图中虚线所示，v表示小球经过C点时的速度，则( )
图1
A．小球带正电
B．恒力F的方向可能水平向左
C．恒力F的方向可能与v方向相反
D．在A、B两点小球的速率不可能相等
答案 AB
解析 由小球从A点到C点的轨迹可知，小球受到的电场力方向向右，带正电，选项A正确；小球从C点到B点，所受合力指向轨迹凹侧，当水平恒力F水平向左时，合力可能向左，符合要求，当恒力F的方向与v方向相反时，合力背离CB段轨迹凹侧，不符合要求，选项B正确，C错误；小球从A点到B点，由动能定理，当电场力与恒力F做功的代数和为零时，在A、B两点小球的速率相等，选项D错误．
4.如图2所示，一电子沿等量异种点电荷连线的中垂线由A→O→B匀速飞过，电子重力不计，则电子所受另一个力的大小和方向变化情况是( )
图2
A．先变大后变小，方向水平向左
B．先变大后变小，方向水平向右
C．先变小后变大，方向水平向左
D．先变小后变大，方向水平向右
答案 B
解析 根据等量异种点电荷周围的电场线分布知，从A→O→B，电场强度的方向不变，水平向右，电场强度的大小先增大后减小，则电子所受电场力的大小先变大后变小，方向水平向左，则外力的大小先变大后变小，方向水平向右，故B正确，A、C、D错误．
5. (2019·四川攀枝花市第二次统考)如图3所示，真空中三个质量相等的小球A、B、C，带电荷量大小分别为QA ＝ 6q，QB＝3q，QC＝8q.现用适当大小的恒力F拉C，可使A、B、C沿光滑水平面做匀加速直线运动，运动过程中 A、B、C保持相对静止，且A、B间距离与B、C间距离相等．不计电荷运动产生磁场的影响，小球可视为点电荷，则此过程中B、C之间的作用力大小为( )
图3
A.eq \f(4,3)F B．F C.eq \f(2,3)F D.eq \f(1,3)F
答案 A
解析 设小球的质量为m，以三个球为整体：F＝3ma；
以A、B为整体：F1＝2ma，解得F1＝eq \f(2,3)F；
由牛顿第三定律知A、B对C的库仑力的合力大小为eq \f(2,3)F.
根据库仑定律得eq \f(FBC,FAC)＝keq \f(3q·8q,L2)∶keq \f(6q·8q,4L2)＝eq \f(2,1)，A、B所受C的库仑力方向不可能相同，结合牛顿第三定律可知：FBC－FAC＝eq \f(2,3)F，解得FBC＝eq \f(4,3)F.
6.如图4，xOy平面直角坐标系所在空间有沿x轴负方向的匀强电场(图中未画出)，电场强度大小为E.坐标系上的A、B、C三点构成边长为L的等边三角形．若将两电荷量相等的正点电荷分别固定在A、B两点，C点处的电场强度恰好为零．则A处的点电荷在C点产生的电场强度大小为( )
图4
A．E B.eq \f(\r(3),3)E
C.eq \r(3)E D.eq \f(\r(3),2)E
答案 B
解析 C点三个电场方向如图所示，根据题意可知E1cs 30°＋E2cs 30°＝E，又E1＝E2，解得E2＝eq \f(\r(3),3)E，B正确．
7.如图5所示，一个绝缘圆环，当它的eq \f(1,4)段均匀带电且电荷量为＋q时，圆心O处的电场强度大小为E，现使半圆ABC均匀带电＋2q，而另一半圆ADC均匀带电－2q，则圆心O处电场强度的大小和方向为( )
图5
A．2eq \r(2)E，方向由O指向D
B．4E，方向由O指向D
C．2eq \r(2)E，方向由O指向B
D．0
答案 A
解析 当圆环的eq \f(1,4)段均匀带电且电荷量为＋q时，圆心O处的电场强度大小为E，当半圆ABC均匀带电＋2q时，由如图所示的矢量合成可得，在圆心O处的电场强度大小为eq \r(2)E，方向由O指向D；当另一半圆ADC均匀带电－2q时，同理，在圆心O处的电场强度大小为eq \r(2)E，方向由O指向D；根据矢量的合成法则，圆心O处的电场强度的大小为2eq \r(2)E，方向由O指向D.
8．(2019·广东广州市4月综合测试)如图6，在光滑绝缘水平桌面上，三个带电小球a、b和c分别固定于正三角形顶点上．已知a、b带电荷量均为＋q，c带电荷量为－q，则( )
图6
A．ab连线中点场强为零
B．三角形中心处场强为零
C．a所受库仑力方向垂直于ab连线
D．a、b、c所受库仑力大小之比为1∶1∶eq \r(3)
答案 D
解析 在ab连线的中点处，a、b两电荷在该点的合场强为零，则该点的场强等于c在该点的场强，大小不为零，选项A错误．在三角形的中心处，a、b两电荷在该点的场强大小相等，方向夹120°角，则合场强竖直向下，电荷c在该点的场强也是竖直向下，则三角形中心处场强不为零，选项B错误．a受到b的斥力沿ba方向，受到c的引力沿ac方向，则其合力方向斜向左下方与ab连线成60°角，选项C错误．设三角形的边长为l，a、b所受库仑力大小相等，Fa＝Fb＝2eq \f(kq2,l2)cs 60°＝eq \f(kq2,l2)；c所受库仑力：Fc＝2eq \f(kq2,l2)cs 30°＝eq \f(\r(3)kq2,l2)，则 a、b、c所受库仑力大小之比为1∶1∶eq \r(3)，选项D正确．
9．(多选)如图7所示，光滑绝缘的水平面上有一带电荷量为－q的点电荷，在距水平面高h处的空间内存在一场源点电荷＋Q，两电荷连线与水平面间的夹角θ＝30°，现给－q一水平初速度，使其恰好能在水平面上做匀速圆周运动(恰好不受支持力)，已知重力加速度为g，静电力常量为k，则( )
图7
A．点电荷－q做匀速圆周运动的向心力为eq \f(\r(3)kQq,4h2)
B．点电荷－q做匀速圆周运动的向心力为eq \f(\r(3)kQq,8h2)
C．点电荷－q做匀速圆周运动的线速度为eq \r(3gh)
D．点电荷－q做匀速圆周运动的线速度为eq \f(\r(3gh),2)
答案 BC
解析 点电荷－q恰好能在水平面上做匀速圆周运动，点电荷－q受到竖直向下的重力以及点电荷＋Q的引力，如图所示，电荷之间的引力在水平方向上的分力充当向心力，两点电荷间距离R＝eq \f(h,sin θ)，Fn＝keq \f(Qq,R2)·cs θ，联立解得Fn＝eq \f(\r(3)kQq,8h2)，A错误，B正确；点电荷－q做匀速圆周运动的半径r＝eq \f(h,tan θ)，因为Fn＝eq \f(mg,tan θ)，根据Fn＝meq \f(v2,r)，可得v＝eq \r(3gh)，C正确，D错误．
10. (2019·广东“六校”第三次联考)如图8，通过绝缘轻绳将质量均为m的三个小球A、B、C连接在一起并悬于O点，其中A、B球带电，且带电荷量均为＋q，C球不带电．整个空间存在方向竖直向下的匀强电场，场强大小为E＝eq \f(mg,q).当把OA段细线剪断的瞬间( )
图8
A．A球的加速度小于2g
B．B球的加速度大于2g
C．A球和B球之间的绳子拉力为0
D．B球和C球之间的绳子拉力为0
答案 D
解析 剪断绳子OA的瞬间，假设AB和BC段的绳子均无作用力，对A受力分析有：
mg＋qE－keq \f(q2,LAB)＝maA，对B：mg＋qE＋keq \f(q2,LAB)＝maB，对C：mg＝maC，则有aA<2g，aB>2g，
aC＝g，结合轻绳的受力特点可知，AB段绳子绷紧，AB成为一个整体，BC段绳子松弛，故有对AB整体：mg＋mg＋2qE＝2maAB，则aAB＝2g，故A、B错误；对A分析有：mg＋qE＋F－keq \f(q2,LAB)＝maAB，故F＝keq \f(q2,LAB)，故C错误；结合以上分析可知，BC段绳子松弛，故BC段绳子拉力为0，故D正确．
11.如图9所示，一电荷量为＋Q的均匀带电细棒，在过中点c垂直于细棒的直线上有a、b、d三点，且ab＝bc＝cd＝L，在a点处有一电荷量为＋eq \f(Q,2)的固定点电荷．已知b点处的场强为零，则d点处场强的大小为(k为静电力常量)( )
图9
A．keq \f(5Q,9L2) B．keq \f(3Q,L2) C．keq \f(3Q,2L2) D．keq \f(9Q,2L2)
答案 A
解析 a点处的电荷量为＋eq \f(Q,2)的点电荷在b处产生的电场强度为E＝eq \f(kQ,2L2)，方向向右，b点处的场强为零，根据电场的叠加原理可知细棒与a点处的点电荷在b处产生的电场强度大小相等，方向相反，则知细棒在b处产生的电场强度大小为E′＝eq \f(kQ,2L2)，方向向左．根据对称性可知细棒在d处产生的电场强度大小为eq \f(kQ,2L2)，方向向右；而电荷量为＋eq \f(Q,2)的点电荷在d处产生的电场强度为E″＝eq \f(kQ,23L2)＝eq \f(kQ,18L2)，方向向右，所以d点处场强的大小为Ed＝eq \f(5kQ,9L2)，方向向右，故选项A正确．
12．如图10所示，质量为m的小球A穿在光滑绝缘细杆上，杆的倾角为α，小球A带正电(可视为点电荷)，电荷量为q.在杆上B点处固定一个电荷量为Q的正点电荷．将A由距B竖直高度为H处无初速度释放，小球A下滑过程中电荷量不变．整个装置处在真空中，已知静电力常量k和重力加速度g.求：
图10
(1)A球刚释放时的加速度是多大；
(2)当A球的动能最大时，A球与B点间的距离．
答案 (1)gsin α－eq \f(kQqsin2 α,mH2) (2)eq \r(\f(kQq,mgsin α))
解析 (1)小球A刚释放时，由牛顿第二定律有mgsin α－F＝ma，
根据库仑定律有F＝keq \f(qQ,r2)，又r＝eq \f(H,sin α)
联立解得a＝gsin α－eq \f(kQqsin2 α,mH2)
(2)当A球受到的合力为零，即加速度为零时，动能最大．设此时A球与B点间的距离为d.
则mgsin α＝eq \f(kQq,d2)，解得d＝eq \r(\f(kQq,mgsin α)).五年高考(全国卷)命题分析
五年常考热点
五年未考重点
库仑定律及应用
2019
2018
1卷15题
1卷16题
1.库仑定律的理解
2.电场强度的矢量性及合成问题
3.“三线问题”即电场线、等势线和轨迹线
4.电场中的图象问题
5.电容器两类动态问题的分析
电场性质的理解
2019
2018
2017
2016
2015
2卷20题、3卷21题
1卷21题、2卷21题、3卷21题
1卷20题、3卷21题
1卷20题、3卷15题
1卷15题
电容器
2016
2015
1卷14题
2卷14题
带电粒子在电场中的运动
2019
2016
2015
2卷24题
2卷15题
2卷24题
带电体在电场和重力场中运动的多过程问题
2019
2017
3卷24题
1卷25题、2卷25题
1.考查方式：本章内容在高考中单独命题较多，有选择题也有计算题．选择题主要考查对基本概念和物理模型的理解，如电场的分布特点、电势、电势能的理解；计算题主要考查带电粒子或带电体在电场中的运动，常与牛顿运动定律、功能关系、能量守恒综合考查.
2.命题趋势：常与实际生活、科学研究联系密切，通过某些情景或素材如喷墨打印机、静电除尘、示波管、加速器等进行命题考查.
公式
适用条件
说明
定义式
E＝eq \f(F,q)
任何电场
某点的场强为确定值，大小及方向与q无关
决定式
E＝keq \f(Q,r2)
真空中点电荷的电场
E由场源电荷Q和场源电荷到某点的距离r决定
关系式
E＝eq \f(U,d)
匀强电场
d是沿电场方向的距离
比较项目
等量异种点电荷
等量同种点电荷
电场线的分布图
连线中点O处的场强
连线上O点场强最小，指向负电荷一方
为零
连线上的场强大小(从左到右)
沿连线先变小，再变大
沿连线先变小，再变大
沿连线的中垂场线由O点向外强大小
O点最大，向外逐渐变小
O点最小，向外先变大后变小
关于O点对称的A与A′，B与B′的场强
等大同向
等大反向
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