(新高考)高考物理一轮复习讲义 第9章 专题强化十二 带电粒子在叠加场和组合场中的运动（含解析）

专题强化十二　带电粒子在叠加场和组合场中的运动

专题解读 1.本专题是磁场、力学、电场等知识的综合应用，高考往往以计算压轴题的形式出现．

2．学习本专题，可以培养同学们的审题能力、推理能力和规范表达能力．针对性的专题训练，可以提高同学们解决难题、压轴题的信心．

3．用到的知识主要有：动力学观点(牛顿运动定律)、运动学观点、能量观点(动能定理、能量守恒定律)、电场的观点(类平抛运动的规律)、磁场的观点(带电粒子在磁场中运动的规律)．

1．叠加场

电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存．

2．无约束情况下的运动

(1)洛伦兹力、重力并存

①若重力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动．

②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，由此可求解问题．

(2)电场力、洛伦兹力并存(不计重力的微观粒子)

①若电场力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动．

②若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解问题．

(3)电场力、洛伦兹力、重力并存

①若三力平衡，一定做匀速直线运动．

②若重力与电场力平衡，一定做匀速圆周运动．

③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒定律或动能定理求解问题．

3．有约束情况下的运动

带电粒子在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求解．　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例1　(2017·全国卷Ⅰ·16)如图1，空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上(与纸面平行)，磁场方向垂直于纸面向里，三个带正电的微粒a、b、c电荷量相等，质量分别为ma、mb、mc，已知在该区域内，a在纸面内做匀速圆周运动，b在纸面内向右做匀速直线运动，c在纸面内向左做匀速直线运动．下列选项正确的是(　　)

图1

A．ma＞mb＞mc   B．mb＞ma＞mc

C．mc＞ma＞mb  D．mc＞mb＞ma

答案　B

解析　设三个微粒的电荷量均为q，

a在纸面内做匀速圆周运动，说明洛伦兹力提供向心力，重力与电场力平衡，则

mag＝qE①

b在纸面内向右做匀速直线运动，三力平衡，则

mbg＝qE＋qvB②

c在纸面内向左做匀速直线运动，三力平衡，则

mcg＋qvB＝qE③

比较①②③式得：mb>ma>mc，选项B正确．

变式1　(多选)(2019·山东济南市上学期期末)如图2所示，两竖直平行边界内，匀强电场方向竖直(平行纸面)向下，匀强磁场方向垂直纸面向里．一带负电小球从P点以某一速度垂直边界进入，恰好沿水平方向做直线运动．若增大小球从P点进入的速度但保持方向不变，则在小球进入的一小段时间内(　　)

图2

A．小球的动能减小

B．小球的电势能减小

C．小球的重力势能减小

D．小球的机械能减小

答案　ACD

解析　带负电的小球受向下的重力G、向上的电场力F和向下的洛伦兹力F洛，这三个力都在竖直方向上，小球沿水平方向做直线运动，所以小球受到的合力一定是零，小球做匀速直线运动．当小球的入射速度增大时，洛伦兹力增大但不做功，电场力和重力不变，小球将向下偏转，电场力与重力的合力向上，则它们的合力对小球做负功，小球动能减小．电场力对小球做负功，小球的机械能减小，电势能增大．重力对小球做正功，重力势能减小，故A、C、D正确，B错误．

1．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现．

2．分析思路

(1)划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理．

(2)找关键：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键．

(3)画运动轨迹：根据受力分析和运动分析，大致画出粒子的运动轨迹图，有利于形象、直观地解决问题．

模型1　磁场与磁场的组合

例2　(2017·全国卷Ⅲ·24)如图3，空间存在方向垂直于纸面(xOy平面)向里的磁场．在x≥0 区域，磁感应强度的大小为B0；x＜0区域，磁感应强度的大小为λB0(常数λ＞1)．一质量为m、电荷量为q(q＞0)的带电粒子以速度v0从坐标原点O沿x轴正向射入磁场，此时开始计时，当粒子的速度方向再次沿x轴正向时，求：(不计重力)

图3

(1)粒子运动的时间；

(2)粒子与O点间的距离．

答案　(1)(1＋)　(2)(1－)

解析　(1)在匀强磁场中，带电粒子做匀速圆周运动．设在x≥0区域，圆周半径为R1；在x＜0区域，圆周半径为R2.由洛伦兹力公式及牛顿第二定律得

qB0v0＝m①

qλB0v0＝m②

设粒子在x≥0区域运动的时间为t1，则

t1＝③

粒子在x<0区域运动的时间为t2，则

t2＝④

联立①②③④式得，所求时间为

t＝t1＋t2＝(1＋)⑤

(2)由几何关系及①②式得，所求距离为

d＝2(R1－R2)＝(1－)

变式2　(2019·江苏南京市六校联考)如图4所示，在矩形区域ABCD内存在竖直向上的匀强电场，在BC右侧Ⅰ、Ⅱ两区域存在匀强磁场，虚线L1、L2、L3是磁场的边界线(BC与L1重合)，宽度相同，方向如图所示，区域Ⅰ的磁感应强度大小为B1.一电荷量为＋q、质量为m的粒子(重力不计)从AD边中点以初速度v0沿水平向右方向进入电场，粒子恰好从B点进入磁场，经区域Ⅰ后又恰好从与B点同一水平高度处进入区域Ⅱ.已知AB长度是BC长度的倍．

图4

(1)求带电粒子到达B点时的速度大小；

(2)求区域Ⅰ磁场的宽度L；

(3)要使带电粒子在整个磁场中运动的时间最长，求区域Ⅱ的磁感应强度B2的最小值．

答案　(1)　(2)　(3)1.5B1

解析　(1)设带电粒子进入磁场时的速度大小为v，与水平方向成θ角，粒子在匀强电场中做类平抛运动，由类平抛运动的速度方向与位移方向的关系有：tan θ＝＝，则θ＝30°，根据速度关系有：v＝＝；

(2)设带电粒子在区域Ⅰ中的轨道半径为r1，由牛顿第二定律得：qvB1＝m，轨迹如图甲所示：

由几何关系得：L＝r1

解得：L＝；

(3)当带电粒子不从区域Ⅱ右边界离开磁场时，在磁场中运动的时间最长．设区域Ⅱ中最小磁感应强度为B2m，此时粒子恰好不从区域Ⅱ右边界离开磁场，对应的轨迹半径为r2，轨迹如图乙所示：

同理得：qvB2m＝m

根据几何关系有：L＝r2(1＋sin θ)

解得：B2m＝1.5B1.

模型2　电场与磁场的组合

例3　(2019·全国卷Ⅰ·24)如图5，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外．一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出．已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30°，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力．求：

图5

(1)带电粒子的比荷；

(2)带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间．

答案　(1)　(2)

解析　(1)设带电粒子的质量为m，电荷量为q，加速后的速度大小为v.由动能定理有qU＝mv2①

设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，结合牛顿第二定律有qvB＝m②

由几何关系知d＝r③

联立①②③式得＝④

(2)由几何关系知，带电粒子射入磁场后运动到x轴所经过的路程为s＝＋rtan 30°⑤

带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间为t＝⑥

联立②④⑤⑥式得t＝⑦

变式3　(2019·河南平顶山市一轮复习质检)如图6所示，平面直角坐标系xOy的第二、三象限内有方向沿y轴正向的匀强电场，第一、四象限内有圆形有界磁场，有界磁场的半径为L，磁场的方向垂直于坐标平面向里，磁场边界与y轴相切于O点，在x轴上坐标为(－L,0)的P点沿与x轴正向成θ＝45°角斜向上射出一个速度大小为v0的带电粒子，粒子的质量为m，电荷量为q，粒子经电场偏转垂直y轴射出电场，粒子进入磁场后经磁场偏转以沿y轴负方向的速度射出磁场，不计粒子的重力．求：

图6

(1)粒子从y轴上射出电场的位置坐标；

(2)匀强电场电场强度大小及匀强磁场的磁感应强度大小；

(3)粒子从P点射出到射出磁场运动的时间为多少？

答案　(1)(0，L)　(2)　　(3)＋

解析　(1)粒子在电场中的运动为类平抛运动的逆运动，

水平方向：L＝v0cos θ·t1，

竖直方向：y＝v0sin θ·t1，

解得：y＝L，

粒子从y轴上射出电场的位置为：(0，L)；

(2)粒子在电场中的加速度：a＝，

竖直分位移：y＝at12，

解得：E＝；

粒子进入磁场后做匀速圆周运动，以沿y轴负方向的速度射出磁场，运动轨迹如图所示，

由几何知识得：AC与竖直方向夹角为45°，

AD＝y＝L，

因此AC刚好为圆形有界磁场的直径，粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径：r＝L，

粒子在磁场中做圆周运动，由牛顿第二定律得：qvB＝m，

其中，粒子的速度：v＝v0cos θ，

解得：B＝；

(3)粒子在电场中的运动时间：t1＝＝，

粒子离开电场进入磁场前做匀速直线运动，位移：x＝L－L，

粒子做直线运动的时间：t2＝＝，

粒子在磁场中做圆周运动的时间：t3＝T＝×＝，

粒子总的运动时间：t＝t1＋t2＋t3＝＋.

1.(多选)(2020·辽宁沈阳市调研)如图1所示，空间某处存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，一个带负电的金属小球从M点水平射入场区，经一段时间运动到N点，关于小球由M到N的运动，下列说法正确的是(　　)

图1

A．小球可能做匀变速运动   B．小球一定做变加速运动

C．小球动能可能不变   D．小球机械能守恒

答案　BC

解析　小球从M到N，在竖直方向上发生了偏转，所以在M点受到的竖直向下的洛伦兹力、竖直向下的重力和竖直向上的电场力的合力不为零，且速度方向变化，则洛伦兹力方向变化，所以合力为变力，故不可能做匀变速运动，一定做变加速运动，A错误，B正确；若电场力和重力等大反向，则运动过程中电场力和重力做功之和为零，而洛伦兹力不做功，所以小球的动能可能不变，C正确；沿电场方向有位移，电场力一定做功，故小球的机械能不守恒，D错误．

2．(2019·河南开封市第一次模拟)如图2所示，空间存在垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场和水平向左、场强为E的匀强电场．有一质量为m、电荷量大小为q的微粒垂直于磁场且以与水平方向成45°角的速度v做直线运动，重力加速度为g.则下列说法正确的是(　　)

图2

A．微粒可能做匀加速直线运动

B．微粒可能只受两个力作用

C．匀强磁场的磁感应强度B＝

D．匀强电场的电场强度E＝

答案　D

解析　微粒受重力、电场力、洛伦兹力作用，若v发生变化，则洛伦兹力发生变化且洛伦兹力与速度方向垂直，微粒不可能做直线运动，所以重力、电场力和洛伦兹力三力平衡，微粒做匀速直线运动，故A、B错误；根据平衡条件，有：qE＝mgtan 45°，qvB＝，联立解得：E＝，B＝，故C错误，D正确．

3.(多选)(2019·山东滨州市上学期期末)如图3所示，空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，一带电液滴从静止开始自A点沿曲线ACB运动，到达B点时速度为零，C点是运动的最低点，不计摩擦阻力，则以下说法中正确的是(　　)

图3

A．液滴一定带正电

B．液滴在C点时的动能最大

C．从A到C过程液滴的电势能增大

D．从C到B过程液滴的机械能增大

答案　BCD

解析　从题图中可以看出，带电液滴由静止开始向下运动，说明重力和电场力的合力向下，洛伦兹力指向弧线内侧，根据左手定则可知，液滴带负电，故A错误；从A到C的过程中，重力做正功，而电场力做负功，洛伦兹力不做功，合力做正功，液滴动能增大，从C到B的过程中，重力做负功，电场力做正功，洛伦兹力不做功，合力做负功，液滴动能减小，所以液滴在C点时的动能最大，故B正确；从A到C过程液滴克服电场力做功，电势能增加，故C正确；从C到B的过程中，电场力做正功，洛伦兹力不做功，机械能增大，故D正确．

4.(2018·全国卷Ⅱ·25改编)一足够长的条状区域内存在匀强电场和匀强磁场，其在xOy平面内的截面如图4所示：中间是磁场区域，其边界与y轴垂直，宽度为l，磁感应强度的大小为B，方向垂直于xOy平面；磁场的上、下两侧为电场区域，宽度均为l′，电场强度的大小均为E，方向均沿x轴正方向；M、N为条状区域边界上的两点，它们的连线与y轴平行．一带正电的粒子以某一速度从M点沿y轴正方向射入电场，经过一段时间后恰好以从M点入射的速度从N点沿y轴正方向射出．不计重力．

图4

(1)定性画出该粒子在电磁场中运动的轨迹；

(2)求该粒子从M点入射时速度的大小．

答案　(1)见解析图　(2)

解析　(1)粒子运动的轨迹如图(a)所示．(粒子在电场中的轨迹为抛物线，在磁场中为圆弧，上下对称)

(2)粒子从电场下边界入射后在电场中做类平抛运动．设粒子从M点射入时速度的大小为v0，在下侧电场中运动的时间为t，加速度的大小为a；粒子进入磁场的速度大小为v，方向与电场方向的夹角为θ，如图(b)，速度沿电场方向的分量为v1.

根据牛顿第二定律有qE＝ma①

式中q和m分别为粒子的电荷量和质量．

由运动学公式有

v1＝at②

l′＝v0t③

v1＝vcos θ④

粒子在磁场中做匀速圆周运动，设其运动轨道半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得

qvB＝⑤

由几何关系得

l＝2Rcos θ⑥

联立①②③④⑤⑥式得

v0＝

5．(2020·福建南平市适应性检测)如图5，在平面直角坐标系xOy中，x轴上方存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度为E，x轴下方存在垂直坐标系平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B.一个静止的带正电粒子位于y轴正半轴的A(0，h)点，某时刻由于内部作用，分裂成两个电荷量都为＋q的粒子a和b，分别沿x轴正方向和负方向进入电场．已知粒子a的质量为m，粒子a进入第一象限的动量大小为p.设分裂过程不考虑外力的作用，在电场与磁场中的运动过程不计粒子重力和粒子间的相互作用．求：

图5

(1)粒子a第一次通过x轴时离原点O的距离x；

(2)粒子a第二次通过x轴时与第一次通过x轴时两点间的距离L.

答案　见解析

解析　(1)如图所示，粒子a在电场中只受电场力，做类平抛运动

由平抛运动规律可得：x＝v0t①

h＝at2②

qE＝ma③

p＝mv0④

联立①②③④解得：x＝p

(2)粒子a进入磁场时，设速度为v，与x轴正方向成θ角，y轴方向的速度为vy，则

vy＝at⑤

vy＝vsin θ⑥

粒子a在磁场中做匀速圆周运动，设轨迹半径为r，有

qvB＝⑦

由几何知识得：

L＝2rsin θ⑧

联立②③⑤⑥⑦⑧式解得：

L＝

6．(2019·山西运城市5月适应性测试)如图6甲所示，以O为坐标原点建立坐标系，等边三角形OMN内存在垂直纸面向里的匀强磁场，三角形外侧有沿x轴负方向的匀强电场．现有质量m＝1×10－18 kg、电荷量q＝＋1×10－15 C的带电微粒从坐标为(0，－0.5 m)的Q点，以某一初速度v0沿某一方向入射，从x轴上的P点以v＝200 m/s的速度垂直x轴进入三角形区域．若此时将三角形外侧的电场换成垂直纸面向外的匀强磁场(如图乙所示)，两磁场的磁感应强度大小相等．已知三角形的边长L＝4 m，O、P两点间距离为d＝1 m，重力不计．求：

图6

(1)匀强电场的电场强度大小及带电微粒的初速度大小；

(2)若两磁场的磁感应强度大小B0＝0.2 T，求该微粒在乙图中运动一个周期的时间t；

(3)乙图中若微粒能再次回到P点，则两匀强磁场的磁感应强度大小B应满足什么条件．

答案　(1)320 V/m　200 m/s　(2)6.28×10－2 s　(3)B＝(0.4n＋0.2) T，(n＝0,1,2,3…)

解析　(1)在匀强电场中，微粒在电场力作用下，做类平抛运动的逆运动

水平方向：OP＝t2

竖直方向：OQ＝vt

水平分速度vx＝t

微粒的初速度v0＝

联立解得E＝320 V/m，v0＝200 m/s；

(2)粒子在两磁场中均做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律知

qvB0＝m，解得r＝＝1 m

T＝，解得T＝3.14×10－2 s

粒子的运动轨迹如图所示，

故t＝3×＋3×＝6.28×10－2 s

(3)由对称性可知，粒子能再次回到P点，则粒子运动的半径应满足r(2n＋1)＝OP(n＝0,1,2,3…)且r＝，

联立可得B＝(0.4n＋0.2) T，(n＝0,1,2,3…)．