2024全国一轮数学（基础版）第8讲 函数的奇偶性与周期性、对称性课件PPT

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1. (人A必一P84例6，P85练习2改)(多选)下列函数中是奇函数的是(　 　)A. f(x)＝2x4＋3x2 B. f(x)＝x3－2x
2. 若一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，则a＋b等于(　　)A. －1 B. 1 C. 0 D. 2
3. (人A必一P101复习参考题9(1)改)已知奇函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，且有最大值m，那么下列说法中正确的是(　　)A. 函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上单调递减，且f(－b)＝－mB. 函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上单调递减，且f(－a)＝－mC. 函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上单调递增，且f(－b)＝－mD. 函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上单调递增，且f(－a)＝－m
【解析】 奇函数在对称区间上的单调性相同，最值互为相反数．
4. (人A必一P86习题11改)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－2)的值是________.
【解析】 由题知f(2)＝6，因为f(x)为奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－6.
1. 奇、偶函数的定义对于函数f(x)定义域内的________一个x，都有__________________(或____________________)，则称f(x)为奇函数；对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有________________(或____________________)，则称f(x)为偶函数．
f(－x)＝－f(x)
f(－x)＋f(x)＝0
f(－x)－f(x)＝0
2. 奇、偶函数的性质(1) 具有奇偶性的函数，其定义域关于________对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于________对称)．(2) 奇函数的图象关于________对称，偶函数的图象关于_________对称．(3) 若奇函数的定义域包含0，则f(0)＝______.(4) 定义在(－∞，＋∞)上的任意函数f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．
3. 函数的周期性(1) 周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在非零常数T，对定义域内的任意一个x值，都有________________，就把函数f(x)称为周期函数，称T为这个函数的周期．(2) 最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中________________的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的________正周期．
f(x＋T)＝f(x)
4. 常用结论(1) 函数奇偶性的常用结论①如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．②奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．③在公共定义域内：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
(2) 函数周期性的常用结论对于f(x)定义域内任一自变量的值x：①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(3) 对称性的三个常用结论①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．②若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．
例1　判断下列函数的奇偶性．
【解答】 f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称．又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
【解答】 f(x)的定义域为R，关于原点对称，当x＞0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；当x＜0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)．故该函数为奇函数．
A. f(x－1)－1 B. f(x－1)＋1C. f(x＋1)－1 D. f(x＋1)＋1
【解析】 由已知得，当x>0时，－x0时，f(x)＝x＋1，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
|x＋1|(答案不唯一)
5. 已知f(x)为奇函数，且当x＜0时，f(x)＝x2＋3x＋2.若当x∈[1,3]时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为______.