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2024全国一轮数学（基础版）第38讲 直线的方程及位置关系课件PPT
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这是一份2024全国一轮数学（基础版）第38讲 直线的方程及位置关系课件PPT，共35页。PPT课件主要包含了链教材·夯基固本，激活思维，基础回归，向上方向，tanα，y＝kx＋b，k1＝k2，k1·k2＝－1，研题型·融会贯通，举题说法等内容，欢迎下载使用。
1. (人A选必一P54例1改)如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )(第1题)A. k1
3. (人A选必一P77练习3改)已知点A(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( )
4. (人A选必一P61例2改)(多选)若直线ax＋2y－6＝0与x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则a的值可能是( )A. 2 B. －1 C. －2或1 D. 2或1
【解析】 因为两直线平行，所以a(a－1)－2＝0，且2(a2－1)＋6(a－1)≠0，即a2－a－2＝0，且 a2＋3a－4≠0，解得a＝2或a＝－1.
5. (人A选必一P61例2改)已知直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0，则“a＝1”是“l1⊥l2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【解析】 l1⊥l2的充要条件是(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，即a2－1＝0，解得a＝±1.显然“a＝1”是“a＝±1”的充分不必要条件，故“a＝1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．
1. 直线的倾斜角(1) 定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l____________之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2) 范围：直线l倾斜角的取值范围是______________.2. 斜率公式(1) 若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝____________.(2) 若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝________.
3. 直线方程的五种形式
y－y0＝k(x－x0)
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
4. 两条直线平行与垂直的判定(1) 平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔__________.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行．(2) 垂直：如果两条直线l1，l2的斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔________________.特别地，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直．
5. 三个距离公式(1) 点点距：两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离为|P1P2|＝______________________________.(2) 点线距：平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ ________________________.(3) 线线距：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离 d＝________________.
6. 常用结论(1) “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．(2) “直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0平行”的充要条件是“A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1”；“两直线垂直”的充要条件是“A1A2＋B1B2＝0”．
(2) 已知直线(m2－m－4)x＋(m＋4)y＋2m＋1＝0的倾斜角为135°，则m的值是( )A. －4或2 B. －2或4 C. 4或0 D. 0或－2
求直线方程的两种方法：(1) 直接法，根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线的方程．选择直线方程的形式时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论；(2) 待定系数法，具体步骤为：设所求直线方程的某种形式，由条件建立所求参数的方程(组)，解这个方程(组)求出参数，把参数的值代入所设直线方程．
【解析】 由题意得直线l1，l2的方程为斜截式，因为斜率为正数，所以倾斜角为锐角，又两直线在y轴上的截距均为正数，即可以判断A，B，D错误，故C正确．
(1) 直线l1：y＝ax＋b，l2：y＝bx＋a(a，b是不相等的正数)的图象可能是( ) A B C D
(2) 倾斜角为150°，在y轴上的截距为－3的直线方程为__________________.
【解析】 由题设知(a＋1)2＝1，解得a＝0或a＝－2.当a＝0时，l：x－y＋3＝0，m：x－y－3＝0，满足题设；当a＝－2时，l：x＋y－3＝0，m：x＋y－3＝0，不满足题设．所以a＝0.
例2 (1) (2022·莆田一模)若直线l：(a＋1)x－y＋3＝0与直线m：x－(a＋1)y－3＝0互相平行，则a的值为( )A. －1 B. －2 C. －2或0 D. 0
(2) (2022·辽南二模)已知直线l：ax＋y＋a＝0，直线m：x＋ay＋a＝0，则l∥m的充要条件是( )A. a＝－1 B. a＝1C. a＝±1 D. a＝0
平行与垂直关系的解题策略：(1) 已知两直线的斜率存在．①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不相等；②两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1. (2) 当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
若l1⊥l2，则a＋1＋3×2＝0，解得a＝－7.
(1) 设直线l1：(a＋1)x＋3y＋2＝0，直线l2：x＋2y＋1＝0，若l1∥l2，则a＝______，若l1⊥l2，则a＝________.
(2) 已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线l2：2x＋y－1＝0，直线l3：x＋ny＋1＝0.若l1∥l2，l2⊥l3，求实数m＋n的值．
【解析】 由题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0的距离和与l2：x＋y－5＝0的距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距 离．
(2) 若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为( )
使用距离公式时应注意：(1) 点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；(2) 应用两平行线间的距离公式时，要把两直线方程中x，y的系数化为相等．
(1) 已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2，2)，点B(4，－2)的距离相等，则直线l的方程为____________________________________________.
2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0
A. －4 B. －2 C. 0 D. 2
点击对应数字即可跳转到对应题目
2. 已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )
3. 已知直线l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则实数a的值为( )A. 3 B. －1 C. 1 D. －1或3
验证当a＝3时，l1，l2的方程分别为x＋3y＋6＝0，x＋3y＋6＝0，l1与l2重合，所以a＝－1.
4. 已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________________.
5. 已知m，n∈R，则“直线x＋my－1＝0与nx＋y＋1＝0平行”是“mn＝1”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【解析】 若直线x＋my－1＝0与nx＋y＋1＝0平行，则mn－1＝0，即mn＝1.当m＝－1，n＝－1时，两直线方程为x－y－1＝0，－x＋y＋1＝0，此时两直线重合，故“直线x＋my－1＝0与nx＋y＋1＝0平行”是“mn＝1”的充分不必要条件.
1. (人A选必一P54例1改)如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )(第1题)A. k1
3. (人A选必一P77练习3改)已知点A(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( )
4. (人A选必一P61例2改)(多选)若直线ax＋2y－6＝0与x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则a的值可能是( )A. 2 B. －1 C. －2或1 D. 2或1
【解析】 因为两直线平行，所以a(a－1)－2＝0，且2(a2－1)＋6(a－1)≠0，即a2－a－2＝0，且 a2＋3a－4≠0，解得a＝2或a＝－1.
5. (人A选必一P61例2改)已知直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0，则“a＝1”是“l1⊥l2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【解析】 l1⊥l2的充要条件是(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，即a2－1＝0，解得a＝±1.显然“a＝1”是“a＝±1”的充分不必要条件，故“a＝1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．
1. 直线的倾斜角(1) 定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l____________之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2) 范围：直线l倾斜角的取值范围是______________.2. 斜率公式(1) 若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝____________.(2) 若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝________.
3. 直线方程的五种形式
y－y0＝k(x－x0)
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
4. 两条直线平行与垂直的判定(1) 平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔__________.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行．(2) 垂直：如果两条直线l1，l2的斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔________________.特别地，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直．
5. 三个距离公式(1) 点点距：两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离为|P1P2|＝______________________________.(2) 点线距：平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ ________________________.(3) 线线距：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离 d＝________________.
6. 常用结论(1) “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．(2) “直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0平行”的充要条件是“A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1”；“两直线垂直”的充要条件是“A1A2＋B1B2＝0”．
(2) 已知直线(m2－m－4)x＋(m＋4)y＋2m＋1＝0的倾斜角为135°，则m的值是( )A. －4或2 B. －2或4 C. 4或0 D. 0或－2
求直线方程的两种方法：(1) 直接法，根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线的方程．选择直线方程的形式时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论；(2) 待定系数法，具体步骤为：设所求直线方程的某种形式，由条件建立所求参数的方程(组)，解这个方程(组)求出参数，把参数的值代入所设直线方程．
【解析】 由题意得直线l1，l2的方程为斜截式，因为斜率为正数，所以倾斜角为锐角，又两直线在y轴上的截距均为正数，即可以判断A，B，D错误，故C正确．
(1) 直线l1：y＝ax＋b，l2：y＝bx＋a(a，b是不相等的正数)的图象可能是( ) A B C D
(2) 倾斜角为150°，在y轴上的截距为－3的直线方程为__________________.
【解析】 由题设知(a＋1)2＝1，解得a＝0或a＝－2.当a＝0时，l：x－y＋3＝0，m：x－y－3＝0，满足题设；当a＝－2时，l：x＋y－3＝0，m：x＋y－3＝0，不满足题设．所以a＝0.
例2 (1) (2022·莆田一模)若直线l：(a＋1)x－y＋3＝0与直线m：x－(a＋1)y－3＝0互相平行，则a的值为( )A. －1 B. －2 C. －2或0 D. 0
(2) (2022·辽南二模)已知直线l：ax＋y＋a＝0，直线m：x＋ay＋a＝0，则l∥m的充要条件是( )A. a＝－1 B. a＝1C. a＝±1 D. a＝0
平行与垂直关系的解题策略：(1) 已知两直线的斜率存在．①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不相等；②两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1. (2) 当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
若l1⊥l2，则a＋1＋3×2＝0，解得a＝－7.
(1) 设直线l1：(a＋1)x＋3y＋2＝0，直线l2：x＋2y＋1＝0，若l1∥l2，则a＝______，若l1⊥l2，则a＝________.
(2) 已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线l2：2x＋y－1＝0，直线l3：x＋ny＋1＝0.若l1∥l2，l2⊥l3，求实数m＋n的值．
【解析】 由题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0的距离和与l2：x＋y－5＝0的距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距 离．
(2) 若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为( )
使用距离公式时应注意：(1) 点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；(2) 应用两平行线间的距离公式时，要把两直线方程中x，y的系数化为相等．
(1) 已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2，2)，点B(4，－2)的距离相等，则直线l的方程为____________________________________________.
2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0
A. －4 B. －2 C. 0 D. 2
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2. 已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )
3. 已知直线l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则实数a的值为( )A. 3 B. －1 C. 1 D. －1或3
验证当a＝3时，l1，l2的方程分别为x＋3y＋6＝0，x＋3y＋6＝0，l1与l2重合，所以a＝－1.
4. 已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________________.
5. 已知m，n∈R，则“直线x＋my－1＝0与nx＋y＋1＝0平行”是“mn＝1”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【解析】 若直线x＋my－1＝0与nx＋y＋1＝0平行，则mn－1＝0，即mn＝1.当m＝－1，n＝－1时，两直线方程为x－y－1＝0，－x＋y＋1＝0，此时两直线重合，故“直线x＋my－1＝0与nx＋y＋1＝0平行”是“mn＝1”的充分不必要条件.
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