2024全国一轮数学（基础版）微专题1 双变量任意与存在问题课件PPT

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【解答】 f(x)的值域A＝[0,4]，g(x)的值域B＝[－a，ln3－a]．由存在x1，x2∈[0,2]，使得f(x1)＝g(x2)，知A∩B≠∅.由A∩B＝∅得4<－a或ln3－a<0，解得a＜－4或a＞ln3，故当A∩B≠∅时，－4≤a≤ln3，所以a的取值范围是[－4，ln3]．
【解答】 由题意得，函数f(x)图象的对称轴为x＝－2，故函数f(x)在区间[－1,1]上为增函数．
例3　已知函数f(x)＝x2＋4x＋a－5，g(x)＝m·4x－1－m＋8.(1) 若函数y＝f(x)在区间[－1,1]上存在零点，求实数a的取值范围；
【解答】 由题意，函数f(x)在[1,2]上的最大值小于等于函数g(x)在[1,2]上的最小值．当a＝0时，f(x)＝x2＋4x－5＝(x＋2)2－9，易知函数f(x)在[1,2]上的最大值为f(2)＝(2＋2)2－9＝7.
(2) 当a＝0时，若对任意的x1，x2∈[1,2]，f(x1)≤g(x2)恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】 f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，当x∈[1,4]时，f(x)min＝f(1)＝2，g(x)max＝g(4)＝2＋m，则f(x)min>g(x)max，即2>2＋m，解得m<0，故实数m的取值范围是(－∞，0)．
已知函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝lg2x＋m，对任意的x1，x2∈[1,4]，有f(x1)>g(x2)恒成立，则实数m的取值范围是______________.
【解析】 由题意得f(x)min>[lga(8－x)]min.当a>1时，[lga(8－x)]min＝lga4，故只需f(x)min>lga4，所以(ax2－x)min>4，即ax2－x>4对∀x∈[2,3]恒成立．
例4　已知函数f(x)＝lga(ax2－x)(a＞0，且a≠1)，若对任意的x1∈[2,3]，总存在x2∈[3,4]，使得f(x1)＞lga(8－x2)，则实数a的取值范围是___________________.
当0lga5，所以(ax2－x)max<5，且(ax2－x)min>0，即0【解析】 问题可转化为f(x)max>g(x)min，易得f(x)max＝4，g(x)min＝－a，由f(x)max>g(x)min，得4＞－a，所以a>－4.
1. 若f(x)，g(x)的值域分别为A，B，则：(1) (“任意＝存在”型)∀x1∈D，∃x2∈E，使得f(x1)＝g(x2)成立，则A⊆B；(2) (“存在＝存在”型)∃x1∈D，∃x2∈E，使得f(x1)＝g(x2)成立，则A∩B≠∅.2. 不等问题：(1) (“任意≥(≤、>、<)任意”型)∀x1∈D，∀x2∈E，均有f(x1)>g(x2)恒成立，则f(x)min>g(x)max.注：防止误将∀x∈D，均有f(x)>g(x)恒成立，转化为f(x)min>g(x)max，一般应作差构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，转化为F(x)min>0恒成立；
(2) (“任意≥(≤、>、<)存在”型)∀x1∈D，∃x2∈E，使得f(x1)>g(x2)成立，则f(x)min>g(x)min.(3) (“存在≥(≤、>、<)存在”型)∃x1∈D，∃x2∈E，使得f(x1)>g(x2)成立，则f(x)max>g(x)min.注：防止误将∃x∈D，均有f(x)>g(x)恒成立，转化为f(x)max>g(x)min，一般应作差构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，转化为F(x)max>0恒成立．