河北省2023届高三下学期4月冲刺模拟卷（二）数学试卷（含答案）

河北省2023届高三下学期4月冲刺模拟卷（二）数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知集合，则(   )

A. B. C. D.

2、已知复数z满足，则(   )

A.2 B. C.4 D.

3、塔因为年代久远，塔身容易倾斜，在下方右图中，AB表示塔身，塔身AB的长度就是塔的高度，塔身与铅垂线AC的夹角为倾斜角，塔顶B到铅垂线的距离BC为偏移距离，现有两个塔高相同的斜塔，它们的倾斜角的正弦值分别为，，两座塔的偏移距离差的绝对值为3.1米，则两座塔的塔顶到地面的距离差的绝对值为(   )

A.1.2米 B.0.6米 C.1米 D.0.8米

4、等差数列中，首项和公差d都是正数，且，，成等差数列，则数列，，的公差为(   )

A. B. C. D.

5、甲、乙两所学校有同样多的学生参加数学能力测验，两所学校学生测验的成绩分布都接近于正态分布，其中甲校学生的平均分数为105分，标准差为10分；乙校学生的平均分数为115分，标准差为5分.若用粗线表示甲校学生成绩分布曲线，细线表示乙校学生成绩分布曲线，则下列哪一组分布曲线较为合理(   )

A. B.

C.  D.

6、根据某机构对失踪飞机的调查得知：失踪的飞机中有的后来被找到，在被找到的飞机中，有安装有紧急定位传送器，而未被找到的失踪飞机中，有未安装紧急定位传送器，紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位的装置.现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为(   )
A. B. C. D.

7、已知正方体的棱长为2，P，Q分别是，的中点，则经过点P，Q，C，D，的球的表面积为(   )

A. B. C. D.

8、若实数a，b，，且满足，，，则a，b，c的大小关系是(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题

9、平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，，则(   )

A.  B.为锐角三角形

C.的面积为 D.的外接圆半径大于2

10、已知m，n表示空间内两条不同的直线，则使成立的必要不充分条件是(   )

A.存在平面，有，

B.存在平面，有，

C.存在直线l，有，

D.存在直线l，有，

11、已知函数是在区间上的单调减函数，其图象关于直线对称，且，则的值可以是(   )

A.4 B.12 C.2 D.8

12、已知函数，对任意，都有恒成立，则实数a的可能值为(   )

A.0 B.1 C. D.

三、填空题

13、已知向量，，，与共线，则_______.

14、已知函数，则函数的最小值为_______.

15、小明准备在阳台种植玫瑰、百合、牡丹和兰花4种盆栽，共种8盆，并且每种花至少种1盆，则小明买盆栽的方法共有种_______.

四、双空题

16、已知椭圆的左、右焦点为，，点A在椭圆上，分别延长，，交䊈圆于点B，C，且，，，则线段BC的长为_________，椭圆的离心率为________.

五、解答题

17、已知数列中，是其前n项的和，，.

（1）求，的值，并证明是等比数列；

（2）证明：.

18、已知是斜三角形，角A，B，C满足.

（1）求证：；

（2）若角A，B，C的对边分别是边a，b，c，求的最小值，并求此时的各个内角的大小.

19、下面两个图分别是2016年一2020年中国家庭平均每百户汽车拥有量和居民人均可支配年收人柱状图，为了分析居民家庭平均每百户汽车的拥有量与居民人均可支配全年总收人的关系，根据这两个图，绘制每百户汽车拥有量y.(单位：辆)与人均可支配收入x(单位：万元)的散点图.

附：线性回归模型中，，.

（1）由其散点图可以看出，可以用线性回归模型拟合每百户拥有汽车量y关于人均可支配收入x的关系，请建立y关于x的回归方程；

（2）如果从2020年开始，以后每年人均可支配年收人以的速度增长，当每百户汽车拥有䏻达到50辆时，求每百户汽车拥有量平均每年至少增长的速度.

(附：，，，，，，，.)

20、四棱锥中，面EBC，，底面ABCD中，，，.

（1）若点F在线段BC上，试确定F的位置，使面面ABCD，并给出证明.

（2）求二面角的余弦值.

21、已知函数，，其中.

（1）分别求函数和的极值；

（2）讨论函数的零点个数.

22、已知双曲线实轴的一个端点是P，虚轴的一个端点是Q，直线PQ与双曲线的一条渐近线的交点为.

（1）求双曲线的方程；

（2）若直线与曲线C有两个不同的交点A，B，O是坐标原点，求的面积最小值.

参考答案

1、答案：A

解析：，，.故选A.

2、答案：B

解析：由，得，，，.故选B.

3、答案：D

解析：塔的偏移距离，设两座塔的塔高为h，则根据倾斜角的正弦值分别为，，得两座塔的偏移距离差的绝对值为，即，，塔顶到地面的距离，根据倾斜角的正弦值分别为，得倾斜角的余弦值分别为，，两座塔的塔顶到地面的距离差的绝对值为.故选D.

4、答案：C

解析：由，，成等差数列，得，，，又，，所以，，，，，的公差为.故选C.

5、答案：A

解析：由于甲校的学生成绩平均分低于乙校的学生成绩平均分，所以甲校的学生成绩正态曲线的对称轴比乙校的学生成绩的正态曲线的对称轴靠左；由于甲校的学生成绩的标准差大于乙校的学生成绩的标准差，所以甲校的学生成绩的正态曲线要“矮胖”些，乙校的学生成绩的正态曲线要“瘦高”些，故选A.

6、答案：C

解析：设“失踪的飞机后来被找到”，“失踪的飞机后来末被找到”，“安装有紧急定位传送器”，则，，，，安装有紧急定位传送器的飞机失踪，它被找到的概率为.故选C.

7、答案：D

解析：

根据正方体，得，，所以平面，四边形PQCD是矩形，其中，，，的三边为，，，，设的外接圆半径为r，则，于是，设矩形PQCD的外接圆半径为m，则，设球心为O，过O作平面PQCD，垂足为，过O作平面，垂足为，则是矩形PQCD的外心，是三角形的外心，取CQ中点E，则，于是平面，所以四边形是矩形.设球半径为R，解法一：，则，于是球的表面积为.故选D.解法二：，，，于是球的表面积为，故选D.

8、答案：B

解析：由，，，得，，，令，则，当时，，当时，，所以在上是增函数，在上是减函数，于是，即，又b，，所以；，因为，所以，，，因此，于是，又a，，所以；

令，则，所以在上是增函数，，即，，，于是，又a，，所以；综上：.故选B.

9、答案：CD

解析：，，，根据，以及正弦定理，得，故A错误；由余弦定理，得，所以角B是钝角，故B错误；由，得，，的面积为，故C正确；设的外接圆半径为R，则，故D正确.故选CD.

10、答案：AC

解析：若，，则直线m，n可以平行，也可以相交，还可以异面；若，则存在平面，有，，故A正确；若，，则，即垂直于同一平面的两条直线平行；若，则存在平面，有，，故B错误；若，，则直线m，n可以平行，也可以相交，还可以异面；若，则存在直线l，有，，故C正确；若，，则，即平行于同一直线的两直线平行，若，则存在直线l，有，，故D错误.故选AC.

11、答案：AB

解析：因为函数的图象关于直线对称，所以，，所以，，根据，则，，因为是在区间上的单，，，因为，所以或，当时，，当时，，由于，是在区间上的单调减函数，且，

所以，所以，，，，，，，，根据或，可得，或.故选AB.

12、答案：ACD

解析：，对任意，都有恒成立，即，化简得，令，于是对任意，有，，令，则.当时，，所以在上是增函数，于是，即，所以在上是增函数，于是，符合题意，当时，观察易知在上是增函数，于是，若，则，所以在上是增函数，，即，所以在上是增函数，，符合题意.若，令，则当时，，在上是增函数，所以，即，，又，，在上是增函数，所以存在，使得，当时，，即在上是减函数，当时，，即，所以在上是娍函数，，这与矛盾.故实数m的取值范围是.故选ACD.

13、答案：2

解析：由，，得，，因为与共线，所以(，，.

14、答案：

解析：函数的定义域为，，当时，，，在上是减函数，当时，，，在上是增函数，因此当时，有最小值.

15、答案：35

解析：首先每种花各买1盆，然后再从4种花中任选4盆，可能1种花选4盆，存种；可能2种花中，1种花选1盆，另1种花选3盆或者每种花各选2盆，有种；可能3种花中，1种花选2盆，另外2种花各选1盆，有种；可能4种花各1盆，有种，于是共有种.

16、答案：，

解析：

根据，，以及椭圆定义，得，，设，则，，根据，由勾股定理，得；在Rt中，，在中，由余弦定理，得，所以，所以，，在中，由勾股定理，得，，，在中，由余弦定理，得，所以，离心率.

17、答案：（1），，证明见解析

（2）证明见解析

解析：（1）由，得，所以，，由，得，所以，.由，得，所以，所以，所以，所以，因为，所以，，即数列是以为首项，以为公比的等比数列.

（2）由（1）知，，，，，因为，所以，于是，其中，，于是，所以，即.

18、答案：（1）证明见解析

（2），，.

解析：（1）法一：由得，所以，所以，因为是斜三角形，所以，所以，所以，所以，又，所以.

法二；由，得，所以，所以，所以，因为是斜三角形，所以，所以，又，所以.

（2）在中，有，由（1）知，所以，于是角C为钝角，角B为锐角，根据，所以，由正弦定理，得，当且仅当，即时等号成立，又角C为钝角，所以时，等号成立，由，得，由，得，因此的最小值为3，此时三角形ABC的各个内角为，，.

19、答案：（1）

（2）

解析：（1），，y关于x的回归方程为.

（2）当时，，则，根据2020年人均年可配收人为3.2189万元，以及，和，可得2026年每百户汽车拥有量可以达到50辆，从2020年起，设每百户汽车拥有量平均每年的增长速度为x，则，，，由于，所以，即每百户汽车拥有量平均每年至少增长的速度为.

20、答案：（1）当点F是BC的中点时，面面ABCD，证明见解析

（2）

解析：（1）

当点F是BC的中点时，面面ABCD，证明如下：由点F是BC的中点，得，又，，所以，，四边形ADFB是平行四边形，根据，得四边形ADFB是矩形，故.因为面EBC，面EBC，所以，因为，DF，面DEF，于是面DEF，由于面ABCD，因此面面ABCD.

（2）

因为面面ABCD，面面，所以过点E作于点O，则面ABCD，以OF为x轴，以过点O所作DF的垂线为y轴，OE为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，因为面EBC，所以，在Rt中，根据，2，可得，，，，则，，，，，，设面EBC的法向量为，则即令，则，，所以，设面EAB的法向量为，则即令，则，，所以，，设二面角的大小为，易知，所以，因此二面角的余弦值为.

21、答案：（1）有极大值，无极小值，有极小值，无极大值

（2）有两个零点

解析：（1），因为，由，得，由，得，所以在上是增函数，在(1，上是减函数，有极大值，无极小值，，因为，由，得，由，得，所以在上是减函数，在上是增函数，有极小值，无极大值.

（2）函数的定义域为，，当时，，无零点；当时，，令，得，令，得，所以在上是增函数，在上是减函数，有最大值，若，即时，无零点；若，即时，只有一个零点；若，即时，，因为，所以，由（1）知，所以，根据在上是增函数，，且，所以在上厷唯一零点，由（1）知以及，于是有和，所以，又因为，，，在上是减函数，所以在上有唯一零点，当时，由（1）知，，于是，而，所以，无零点，因此或时，无零点，时，只有一个零点，时，有两个零点.

22、答案：（1）

（2）

解析：（1）设点，点，则直线PQ的方程为，与渐近线联立，得，解得，即直线PQ与双曲线的一条渐近线交点为，又直线PQ与双曲线的一条渐近线的交点为，所以即，因此双曲线方程为.

（2）设，，把代入，得，，，，，，点O到直线的距离，所以的面积为，令，所以，令，则，因为，所以，由

，得，由，得，由，得，即当，，，，时，等号成立，此时满足，所以面积的最小值为.