高考数学一轮复习基础版讲义（适合艺术生、基础生一轮复习）——离散型随机变量，均值与方差

第47讲 离散型随机变量的分布列、均值与方差

1．随机变量的有关概念

随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，…表示．

离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．

2．离散型随机变量分布列的概念及性质

（1）离散型随机变量的分布列的概念

设离散型随机变量X可能取的不同值为，，…，，X取每一个值 (i＝1，2，…，n)的概率，则下表称为随机变量X的概率分布，简称为X的分布列.

有时也用等式表示X的分布列．

（2）离散型随机变量的分布列的性质

①(i＝1，2，…，n)；

②．

3．必记结论

（1）随机变量的线性关系

若是随机变量，，是常数，则Y也是随机变量．

（2）分布列性质的两个作用

①利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值．

②随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．

4．离散型随机变量的均值与方差

一般地，若离散型随机变量的分布列为：

（1）称为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．

（2）称为随机变量的方差，它刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差．

5．均值与方差的性质

若，其中为常数，则也是随机变量，

且；

6．二项分布的期望、方差：

若，则,.

【题型一：离散型随机变量分布列】

1．（黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考）设离散型随机变量的分布列为

若随机变量，则等于（    ）

A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7

2．（全国高二课时练习）已知随机变量ξ只能取三个值，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是（    ）

A． B．

C．[－3，3] D．[0，1]

3．（全国高二课时练习）随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且，则的值为（    ）

A． B． C．110 D．55

4．（全国）袋中装有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量，则ξ所有可能取值的个数是（    ）

A．25 B．10 C．15 D．9

5．（全国）抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为，则“”表示试验的结果为（    ）

A．第一枚为5点，第二枚为1点

B．第一枚大于4点，第二枚也大于4点

C．第一枚为6点，第二枚为1点

D．第一枚为4点，第二枚为1点

6．（全国）若为非负实数，随机变量的分布列为

则的最大值为（    ）

A．1 B． C． D．2

7．（全国高二单元测试）设离散型随机变量的分布列为：

则的充要条件是（    ）

A． B． C． D．

8．（河南高二期末（理））若随机变量的分布列如下表，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

9．（黑龙江哈尔滨三中高二月考）已知随机变量的概率分布如下：

则（    ）

A． B． C． D．

10．（全国）已知随机变量的分布列如表所示.

若，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【题型二：离散型随机变量的均值和方差】

1．（全国高二单元测试）已知离散型随机变量的分布列为

则的数学期望（    ）

A． B．2 C． D．3

2．（全国高二单元测试）已知随机变量，则随机变量的方差为（    ）

A． B． C． D．

3．（黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考）已知一组数据的方差是1，那么另一组数据，，，，，的方差是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

4．（全国高二课时练习）设随机变量的方差，则的值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

5．（全国高二课时练习）已知随机变量的分布列为，.则等于（    ）

A．6 B．9

C．3 D．4

6．（全国高二课时练习）已知随机变量满足，则＝（    ）

A．6 B．8

C．18 D．20

7．（天津市蓟州区擂鼓台中学）为了展示中华汉字的无穷魅力，传递传统文化，提高学习热情，某校开展“中国汉字听写大会”的活动为响应学校号召高二9班组建了兴趣班，根据甲、乙两人近期8次成绩所得数据分别为

甲:68，69，71，72，74，78，83，85;

乙:65，70，70，73，75，80，82，85.

（1）求甲、乙两人成绩的平均数和中位数;

（2）现要从甲、乙两人中选派一人参加比赛，从统计学的角度你认为派哪位学生参加比较合适?

8．（四川南充·（理））随机抛掷一枚质地均匀的骰子，设向上一面的点数为.

（1）求的分布列；

（2）求和.

9．（福建省永春第二中学高二期末）设随机变量具有分布列：

求这个随机变量的与

10．（浙江丽水·高二课时练习）为降低雾霾等恶劣气候对居民的影响，某公司研发了一种新型防雾霾产品．每一台新产品在进入市场前都必须进行两种不同的检测，只有两种检测都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该新型防雾霾产品第一种检测不合格的概率为，第二种检测不合格的概率为，两种检测是否合格相互独立．

（1）求每台新型防雾霾产品不能销售的概率；

（2）如果产品可以销售，则每台产品可获利40元；如果产品不能销售，则每台产品亏损80元（即获利元）．现有该新型防雾霾产品3台，随机变量表示这3台产品的获利，求的分布列及数学期望．

11．（浙江丽水·高二课时练习）某运动员射击一次所得环数的分布列如下：

现进行两次射击，且两次射击互不影响，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为．

（1）求该运动员两次命中的环数相同的概率；

（2）求的分布列和数学期望．

12．（甘肃城关·兰州一中高三月考（理））现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.

（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；

（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；

（Ⅲ）用，分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.