高考数学一轮复习基础版讲义（适合艺术生、基础生一轮复习）——正态分布

第48讲 正态分布

1．正态曲线及其性质

(1)正态曲线：

函数，其中实数()为参数，我们称的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．

(2)正态曲线的性质：

①曲线位于轴上方，与轴不相交；

②曲线是单峰的，它关于直线对称；

③曲线在处达到峰值；

④曲线与轴之间的面积为1；

⑤当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图甲所示；

⑥当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中，如图乙所示：

甲　　　　　　　　　　　乙

2．正态分布

一般地，如果对于任何实数()，随机变量满足则称随机变量服从正态分布(normal distribution)．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为．

3．正态总体三个特殊区间内取值的概率值

①

②

③

4．原则

通常服从正态分布的随机变量只取之间的值．

1．（全国高二学业考试）设随机变量，函数没有零点的概率是0.5，则（    ）

附：若，则，.

A．0.1587 B．0.1355 C．0.2718 D．0.3413

【答案】B

【详解】

解：∵函数没有零点，即方程无实根，

∴，∴，

又∵没有零点的概率是0.5，∴，

由正态曲线的对称性知，

∴，∴，，

∴，，，，

∴，，

∴.

故选：B.

2．（全国高二单元测试）某军工企业为某种型号的新式步枪生产了一批枪管，其口径误差（单位：微米）服从正态分布，从已经生产出的枪管中随机取出一只，则其口径误差在区间内的概率为（    ）

（注：若随机变量服从正态分布，则，）

A．31.7% B．27.18%

C．13. 55% D．4.5%

【答案】C

【详解】

，

.

故选：C.

3．（全国高二课时练习）某工厂生产一种螺栓，在正常情况下，螺栓的直径X(单位：mm)服从正态分布．现加工10个螺栓的尺寸(单位：mm)如下：101.7，100.3，99.6，102.4，98.2，103.2，101.1，98.8，100.4，100.0．，有P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997．根据行业标准，概率低于0.003视为小概率事件，工人随机将其中的8个交与质检员检验，则质检员认为设备需检修的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

依题意，10个螺栓的尺寸，只有103.2不在区间[97，103]内，

工人随机将其中的8个交与质检员检验，质检员认为设备需检修，则尺寸为103.2的螺栓在8个之中，

所以质检员认为设备需检修的概率为.

故选：B

4．（全国高二课时练习）已知随机变量X服从正态分布即，且P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6，若随机变量X～N(5,1)，则P(X＞6)≈（    ）

A．0.341 3 B．0.317 4

C．0.158 7 D．0.158 6

【答案】C

【详解】

由题设P(4＜X≤6)≈0.682 6，所以由正态分布的对称性可得P(X≥6)＝[1－P(4＜X≤6)]≈(1－0.682 6)≈0.158 7.

故选：C

5．（全国高二课时练习）随机变量服从正态分布N(1,4)，若，则 (    )

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

因为随机变量服从正态分布N(1，4)，

所以正态曲线关于对称，

因为，

所以，

因为，，

，

所以，

故选：B.

6．（全国高二课时练习）已知随机变量服从正态分布，且，则实数的值为(    )

A．1 B．2 C．3  D．4

【答案】A

【详解】

因为随机变量服从正态分布，

所以曲线关于对称，且，

由，可知.

故选：A.

7．（全国高二课时练习）某市教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，下列说法中正确的是（    ）

A．甲科总体的标准差最小 B．丙科总体的平均数最小

C．乙科总体的标准差及平均数都居中 D．甲、乙、丙总体的平均数不相同

【答案】A

【详解】

不妨设成绩服从正态分布，

由正态曲线的性质知，曲线的形状由参数确定，越大，曲线越矮胖；越小，曲线越瘦高，且是标准差，为正态曲线的对称轴，且为平均数，

由题干所给图像可知，甲科总体标准差最小，乙科总体标准差居中，丙科总体标准差最大， 甲、乙、丙总体的平均数相同，故A正确，BCD错误.

故选：A.

8．（山东广饶一中高三月考）设随机变量，已知，则（    ）

A．0.95 B．0.05 C．0.975 D．0.425

【答案】A

【详解】

.

故选：A.

9．（全国高二单元测试）设X～N(μ1，)，Y～N(μ2，)，这两个正态曲线如图所示，下列说法正确的是（　　）

A．P(Y≤μ1)≥P(Y≤μ2)

B．P(X≥σ1)≥P(X≥σ2)

C．若t<0，则P(X≤t)≤P(Y≤t)

D．若t<0，则P(X≥t)≤P(Y≥t)

【答案】D

【详解】

由正态分布密度曲线图象的对称性知，μ1<0<μ2，由图象形状可得σ1>σ2>0，如图，

观察图象得：P(Y≤μ1)≤P(Y≤μ2)，A不正确；P(X≥σ1)≤P(X≥σ2)，B不正确；

由正态分布在区间上的概率的几何意义知：若t<0，则P(X≤t)≥P(Y≤t)，P(X≥t)≤P(Y≥t)，C不正确，D正确.

故选：D

10．（河南高二期末（理））某袋装加碘食盐的质量（单位：克）服从正态分布，某超市在进货前要在厂家随机抽检这种食盐袋，则质量在内的袋数约为（    ）

附：若，则，．

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

因，则有，，，，

于是得质量在内的概率为：

，

则有，

所以质量在内的袋数约为.

故选：A

11．（济南市历城第二中学高三开学考试）某地政府为解除空巢老年人缺少日常护理和社会照料的困境，大力培育和发展养老护理服务市场.从2016年开始新建社区养老机构，下表是该地近五年新建社区养老机构数量对照表：

（1）根据上表数据可知，与之间存在线性相关关系，用最小二乘法求关于的经验回归方程；

（2）若该地参与社区养老的老人，他们的年龄近似服从正态分布，其中年龄的有人，试估计该地参与社区养老的老人有多少人？

参考公式：线性回归方程，，.

参考数据：，

【答案】（1）；（2）人．

【详解】

（1）由题意知，

，

，

，

所以，

，

故所求经验回归方程为；

（2）由题可知，

该地参与社区养老的老人有（人）

该地参与社区养老的老人约有人.

12．（全国高二课时练习）在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N(70，100)．已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12人．

（1）试问此次参赛学生的总数约为多少人？

（2）若成绩在80分以上(含80分)为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人？

附正态分布3σ概率表：
P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.997 3

【答案】（1）527人；（2）84人．

【详解】

（1）设参赛学生的成绩为X，因为X～N(70，100)，

所以μ＝70，σ＝10.

则P(X≥90)＝P(X≤50)＝[1－P(50<X<90)]

＝[1－P(μ－2σ<X<μ＋2σ)]≈×(1－0.954 5)

＝0.022 75，

12÷0.022 75≈527(人)．

因此，此次参赛学生的总数约为527人．

（2）由P(X≥80)＝P(X≤60)＝[1－P(60<X<80)]

＝[1－P(μ－σ<X<μ＋σ)]≈×(1－0.682 7)

＝0.158 65，

527×0.158 65≈84(人)．

因此，此次竞赛成绩为优的学生约为84人．

13．（全国高二课时练习）已知随机变量，且其正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上为减函数，且.

(1)求参数，的值．

(2)求．

附：若，则，.

【答案】(1)，；(2)0.1359.

【详解】

(1)因为正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且正态曲线关于对称，

所以正态曲线关于直线对称，即，

因为，

所以，，解得，；

(2)因为正态曲线关于对称，

所以，

因为，

所以，

故，

又，

所以，

故.

14．（重庆市第七中学校高三月考）为了解大学生每年旅游消费支出（单位：百元）的情况，相关部门随机抽取了某大学的1000名学生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：

（1）根据样本数据，可近似地认为学生的旅游费用支出服从正态分布．若该所大学共有学生65000人，试估计有多少位同学旅游费用支出在8100元以上；

（2）已知样本数据中旅游费用支出在范围内的8名学生中有5名女生，3名男生，现想选其中3名学生回访，记选出的男生人数为．求的分布列与数学期望．

附：若，则，，．

【答案】（1）1482;（2）分布列为见解析，数学期望为.

【详解】

（1）由题意得：，根据正态分布的公式得到：，

再乘以总数得到结果0.0228×65000=1482.

估计有1482位同学旅游费用支出在8100元以上

（2）Y的可能取值为0，1，2，3.

；

；

；

.

Y的分布列为：

所以，Y的数学期望为：

.

15．（黑龙江哈尔滨三中高二月考）某精密仪器生产车间每天生产（充分大，且）个零件，质检员小张每天都会随机地从中抽取50个零件进行检查是否合格，若较多零件不合格，则需对其余所有零件进行检查.根据多年的生产零件的数据和经验，知这些零件的长度（单位：）服从正态分布，且相互独立.若满足，则认为该零件是合格的，否则该零件不合格.

（1）假设某一天小张抽查出不合格的零件数为，求及的数学期望；

附：若随机变量服从正态分布，则，，.

（2）小张某天恰好从50个零件中检查出2个不合格的零件，以此频率作为当天生产零件的不合格率.已知检查一个零件的成本为10元，而每个不合格零件流入市场带来的损失为260元.为了使损失尽量小，小张是否需要检查其余所有零件？试说明理由.

【答案】（1）0.006，；（2）需要，理由见解析.

【详解】

（1）由于车间每天生产的零件很多，小张随机抽取50个零件可视为有放回地抽取，各次试验之间的结果是独立的.又，，所以，因此.

，

故.

（2）由题意可知不合格率为.

若不再检查其余所有零件，则损失的期望为；

若检查其余所有零件，总检查成本为，由于，

当充分大时，，

所以为了使损失尽量小，小张需要检查其余所有零件.