沪教版五四制数学年八年级上册17.2《因式分解法解一元二次方程》（第2课时）精品教学课件+作业（含答案）

17.2因式分解法解一元二次方程（第2课时）（作业）

（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、填空题

1．（2021·上海市莘光学校八年级期中）方程x（x﹣3）＝3﹣x的根是 ___．

【答案】

【分析】先移项把方程化为再把方程的左边分解因式，得到两个一次方程，再解一次方程即可.

【详解】解：x（x﹣3）＝3﹣x

或

解得：

故答案为：

【点睛】本题考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“把方程的右边化为0，再把方程的左边分解因式得到两个一次方程”是解本题的关键.

2．（2021·上海虹口·八年级期末）方程x2﹣9＝0的解是_____．

【答案】x＝±3

【分析】这个等式左边是一个平方差公式，直接分解因式，然后求出x即可．

【详解】解：x2﹣9＝0，

（x+3）（x﹣3）＝0，

或

所以x＝3或x＝﹣3．

故答案为：x＝±3．

【点睛】本题考查的是利用因式分解解一元二次方程，掌握“利用平方差公式把方程的左边分解因式”是解题的关键.

3．（2021·上海市培佳双语学校八年级期中）方程x2＝2x的解是_______．

【答案】x1＝0，x2＝2

【分析】先移项得到x2﹣2x＝0，再把方程左边进行因式分解得到x（x﹣2）＝0，方程转化为两个一元一次方程：x＝0或x﹣2＝0，即可得到原方程的解为x1＝0，x2＝2．

【详解】解：∵x2﹣2x＝0，

∴x（x﹣2）＝0，

∴x＝0或x﹣2＝0，

∴x1＝0，x2＝2．

故答案为：x1＝0，x2＝2．

【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并能够根据方程的特征灵活选用合适的方法解答是解题的关键．

4．（2021·上海市徐汇中学八年级期中）方程的解是________________

【答案】

【分析】设，从而方程可化为，再利用因式分解法解一元二次方程即可得．

【详解】解：设，则方程可化为，

，

，

或，

则或，

解得或，

所以原方程的解为，

故答案为：．

【点睛】本题考查了利用换元法和因式分解法解一元二次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．

5．（2020·上海市建平实验中学八年级期中）方程x（x﹣3）＝x﹣3的根是 ___．

【答案】x1=3，x2=1

【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．

【详解】解：x(x-3)-(x-3)=0，

（x-3）（x-1）=0，

x-3=0或x-1=0，

x1=3，x2=1．

故答案为：x1=3，x2=1．

【点睛】本题考查了解一元一次方程－因式分解法，熟练掌握因式分解法解方程是解题关键．

6．（2021·上海市第四中学八年级阶段练习）方程x2+4x+4=0的根是_____．

【答案】x1=x2=-2

【分析】利用因式分解法得到(x+2)2=0，再运用直接开平方解方程即可．

【详解】解：x2+4x+4=0，

∴(x+2)2=0，

∴x1=x2=-2．

故答案为：x1=x2=-2．

【点睛】本题考查了因式分解法与直接开平方法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．

7．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知方程（x-3）（x+m）=0与方程x2-2x-3=0的解完全相同，则m=______．

【答案】1

【分析】利用因式分解法把方程x2-2x-3=0变形，根据解完全相同可求m值．

【详解】解：把方程x2-2x-3=0左边因式分解得，

（x-3）（x+1）=0，

∵方程（x-3）（x+m）=0与方程x2-2x-3=0的解完全相同，

∴m=1，

故答案为：1．

【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用因式分解法解方程．

8．（2022·上海松江·八年级期末）一元二次方程的根是__________．

【答案】

【分析】先移项，再把方程的左边分解因式，从而可把原方程化为两个一次方程，再解一次方程即可.

【详解】解： ，

或

解得：

故答案为：

【点睛】本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程，掌握“把方程的右边化为0，把左边分解因式，再化为两个一次方程”是解本题的关键.

9．（2021·上海民办行知二中实验学校八年级期中）方程（x﹣3）（x+4）＝﹣10的解为 ___．

【答案】

【分析】先把方程化为一元二次方程的一般形式，再利用因式分解法解方程即可.

【详解】解：（x﹣3）（x+4）＝﹣10

或

解得：

故答案为：

【点睛】本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程，掌握“利用十字乘法把方程的左边分解因式化为两个一次方程”是解本题的关键.

10．（2021·上海·虹口实验学校八年级期中）方程x（2x﹣1）＝2x﹣1的解是 ___；

【答案】x1=，x2=1

【分析】移项后提公因式，然后解答．

【详解】解：移项，得x（2x-1）-（2x-1）=0，

提公因式，得，（2x-1）（x-1）=0，

解得2x-1=0，x-1=0，

x1=，x2=1．

故答案为：x1=，x2=1．

【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．

11．（2021·上海市莘光学校八年级期中）一个三角形的两边长分别为3和5，其第三边是方程﹣13x+40＝0的根，则此三角形的周长为 ___．

【答案】13

【分析】先求﹣13x+40＝0的根，根据三角形存在性，后计算周长．

【详解】∵﹣13x+40＝0，

∴=0，

∴，

当第三边为5时，三边为3，5，5，三角形存在，

∴三角形的周长为3+5+5=13；

当第三边为8时，三边为3，5，8，且3+5=8，三角形不存在，

∴三角形的周长为13；

故答案为：13．

【点睛】本题考查了三角形的存在性，一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．

二、解答题

12．（2021·上海市洋泾菊园实验学校八年级期末）解方程：（x2﹣9）+x（x﹣3）＝0．

【答案】．

【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得．

【详解】解：，

，

，即，

或，

或，

故方程的解为．

【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握方程的解法（直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法等）是解题关键．

13．（2021·上海市莘光学校八年级期中）解方程：（y﹣2）（1+3y）＝6．

【答案】．

【分析】先将方程化成一般形式，再利用因式分解法解一元二次方程即可得．

【详解】解：化成一般形式为，

因式分解，得，

或，

或，

故方程的解为．

【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题关键．

14．（2021·上海市泗塘中学八年级阶段练习）解方程：（x+8）（x+1）＝﹣12

【答案】，．

【分析】先将方程化简变形为，再运用因式分解法求解即可．

【详解】解：，

整理得：，

，

解得：，．

【点睛】题目主要考查解一元二次方程的因式分解法，熟练掌握因式分解方法是解题关键．

15．（2020·上海市西南位育中学八年级期中）用适当的方法解方程：2x（x﹣2）＝x2＋5

【答案】x1＝5，x2＝﹣1

【分析】整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.

【详解】解：整理得：x2﹣4x﹣5＝0，

（x﹣5）（x+1）＝0，

∴x﹣5＝0或x+1＝0，

∴x1＝5，x2＝﹣1．

【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，因式分解法，配方法等．

16．（2021·上海民办行知二中实验学校八年级期中）解方程（2x+1）2＝x（2x+1）．

【答案】

【分析】先移项，再提取公因式 利用因式分解法解方程即可.

【详解】解：（2x+1）2＝x（2x+1）

即

或

解得：

【点睛】本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程，掌握“提取公因式分解因式，再化为两个一次方程”是解本题的关键.

17．（2022·上海市南洋模范中学八年级期末）解方程：（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．

【答案】，

【分析】方程左边提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．

【详解】解：分解因式得：，即

可得：或

解得：，

【点睛】本题考查利用因式分解法求一元二次方程的解．熟练掌握因式分解法是解答本题的关键．

【能力提升】

一、单选题

1．（2021·上海市罗星中学八年级期中）如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一根的一半，则称这样的方程为“半根方程”．以下关于半根方程的说法，正确的是（       ）

A．若方程（x﹣2）（mx＋n）＝0是半根方程，则4m2＋5mn＋n2＝0

B．方程x2﹣x﹣2＝0是半根方程

C．方程x2﹣4＝0是半根方程

D．若点A（m，n）在函数y＝2x的图象上，则关于x的方程mx2﹣n＝0是半根方程

【答案】A

【分析】得方程的解后即可利用半根方程的定义进行逐项判断，即可求解．

【详解】解：A．∵方程（x﹣2）（mx＋n）＝0是半根方程，且x1＝2，x2＝，

∴＝1或＝4，

∴m＋n＝0，4m＋n＝0，

∵4m2＋5mn＋n2＝（4m＋n）（m＋n）＝0，此结论正确．

B．方程x2﹣x﹣2＝0的解为x1＝﹣1、x2＝2，此方程不是半根方程，此结论错误；

C．方程x2﹣4＝0的解为x1＝2、x2＝﹣2，此方程不是半根方程，此结论错误；

D．∵点A（m，n）在函数y＝2x的图象上，

∴n＝2m，

解方程mx2﹣2m＝0得：x1＝，x2＝﹣，

∴此方程不是半根方程，此结论错误．

故选：A

【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握半根方程的定义是解题的关键．

二、填空题

2．（2022·上海·八年级专题练习）若方程（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣2＝0，则x2+y2＝___．

【答案】2

【分析】把方程看成是关于的一元二次方程，利用因式分解法解方程即可．

【详解】方程左边分解因式为：

∴，

∴，

但，故不合题意

∴

故答案为：2．

【点睛】本题考查了解一元二次方程，用到了整体思想，但这里要注意的是，等于－1的值不合题意，要舍去．

3．（2022·上海·八年级期末）方程的解是___________．

【答案】x1＝x2＝3．

【分析】先移项得到x（x﹣3）﹣3（x﹣3）＝0，然后利用因式法分解法解方程．

【详解】解：x（x﹣3）﹣3（x﹣3）＝0，

（x﹣3）（x﹣3）＝0，

x﹣3＝0，

所以x1＝x2＝3．

故答案为：x1＝x2＝3．

【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

4．（2022·上海·八年级期末）现定义运算“☆”，对于任意实数、，都有☆，如3☆6=，若☆12=6，则实数的值是____________

【答案】2或3

【分析】利用新定义运算法则列出方程，再解一元二次方程即可.

【详解】根据题意，☆12=6

列出方程 ：

故答案为2或3

【点睛】本题是以新定义计算为背景的一元二次方程计算题，熟练掌握一元二次方程求解是解题关键.

5．（2021·上海·八年级期中）已知：(x2+y2)(x2+y2-4)-12=0,则x2+y2的值为_____________.

【答案】6

【分析】设x2+y2=t，且t≥0，然后代入方程，求出t的值即可.

【详解】解：设x2+y2=t，代入方程得：

t(t-4)-12=0

t2-4t-12=0

（t-6）（t+2）=0

t=6或t=-2（舍去）

故答案为6

【点睛】本题考查运用因式分解解复杂的二元一次方程的方法，运用整体换元法是解答本题的关键.

6．（2021·上海市南洋模范中学八年级阶段练习）已知三角形两边长分别是2和9，第三边的长为一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为__________．

【答案】19

【分析】利用因式分解法可得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到符合题意的边，进而求得三角形周长即可．

【详解】解：解方程得第三边的边长为6或8，

依据三角形三边关系，不难判定边长2，6，9不能构成三角形，2，8，9能构成三角形，

∴三角形的周长=2+8+9=19．

故答案为：19．

【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法和三角形三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯．

7．（2021·上海·八年级期中）对于实数，定义运算“”：．例如，因为，所以．若是一元二次方程的两个根，则_________．

【答案】或

【分析】首先解出一元二次方程的两个解，然后根据定义新运算分情况讨论即可．

【详解】∵是一元二次方程的两个根，

，

∴或，

当时，；

当时，；

综上所述，的值为或，

故答案为：或．

【点睛】本题主要考查定义新运算，分情况讨论是关键．

8．（2021·上海·八年级期中）方程的根为_______．

【答案】

【分析】利用因式分解法解方程即可．

【详解】∵，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了一元二次方程－因式分解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．

9．（2021·上海·八年级期中）已知等腰三角形的边长是方程的两个根，则这个等腰三角形的周长是______．

【答案】22

【分析】先利用因式分解法求出方程的两个根，从而可得等腰三角形的两边长，再根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理可得这个等腰三角形的三边长，然后利用三角形的周长公式即可得．

【详解】，

因式分解，得，

解得，

等腰三角形的边长是方程的两个根，

这个等腰三角形的两边长为，

（1）当边长为4的边为腰时，这个等腰三角形的三边长为，

此时，不满足三角形的三边关系定理，舍去；

（2）当边长为9的边为腰时，这个等腰三角形的三边长为，

此时，满足三角形的三边关系定理，

则这个等腰三角形的周长为；

综上，这个等腰三角形的周长为22，

故答案为：22．

【点睛】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理等知识点，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．

10．（2021·上海市徐汇中学八年级期中）已知x=1是一元二次方程（m-2）x2+4x-m2=0的一个根，则m的值是_____．

【答案】-1

【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把x=1代入方程求解可得m的值．

【详解】把x=1代入方程（m-2）x2+4x-m2=0得到（m-2）+4-m2=0，

整理得：，

因式分解得：，

解得：m=-1或m=2，

∵m-2≠0

∴m=-1，

故答案为：-1．

【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是正确的代入求解．注意：二次项系数不为0的条件．

三、解答题

11．（2021·上海市培佳双语学校八年级期中）解方程：4x（x﹣6）+3（6﹣x）＝0．

【答案】x1＝6，x2＝

【分析】由4x（x﹣6）+3（6﹣x）＝0知4x（x﹣6）﹣3（x﹣6）＝0，继而得（x﹣6）（4x﹣3）＝0，据此得出x﹣6＝0或4x﹣3＝0，再进一步求解即可．

【详解】解：∵4x（x﹣6）+3（6﹣x）＝0，

∴4x（x﹣6）﹣3（x﹣6）＝0，

∴（x﹣6）（4x﹣3）＝0，

则x﹣6＝0或4x﹣3＝0，

解得x1＝6，x2＝．

【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．

12．（2020·上海市浦东模范中学八年级期末）解方程：x2﹣4x﹣9996＝0．

【答案】，

【分析】运用因式分解法求解方程即可．

【详解】解：x2﹣4x﹣9996＝0

∴，

【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．

13．（2021·上海市罗南中学八年级阶段练习）解关于的一元二次方程，其中是满足不等式组的整数．

【答案】，方程的解为，

【分析】通过解关于的不等式组以及一元二次方程的定义求得的值；然后利用因式分解法解关于的一元二次方程即可．

【详解】解：，

由①得：，

由②得：，

∴不等式组解集是：，

整数的值为0或1；

将整理得：，

又∵是关于的一元二次方程，

，

即，

，

关于的一元二次方程是，

即，

或，

∴，．

【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法、一元二次方程的定义以及一元一次不等式组的整数解．注意一元二次方程的二次项系数不为零．

14．（2021·上海长宁·八年级期末）解方程：3（x﹣2）2＝x（2﹣x）．

【答案】x1＝2，x2＝．

【分析】先移项，再提取公因式（x-2），可得两个一元一次方程，解方程即可得答案．

【详解】3（x﹣2）2＝x（2﹣x）

移项得：3（x﹣2）2+x（x﹣2）＝0，

提取公因式得：（x﹣2）（3x﹣6+x）＝0，

∴x﹣2＝0或3x﹣6+x＝0，

解得：x1＝2，x2＝．

【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法．因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

15．（2021·上海市仙霞第二中学八年级期末）解方程：．

【答案】

【分析】利用因式分解法解方程．

【详解】

，

∴x-2=0或2x-3=0，

∴．

【点睛】此题考查解一元二次方程，掌握解方程的方法：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，根据每个一元二次方程的特点选用恰当的解法是解题的关键．

16．（2021·上海·八年级期中）解方程：

【答案】x1＝﹣6，x2＝3．

【分析】设x﹣1＝t，则方程转化为关于t的一元二次方程t2+5t﹣14＝0，由此求得t，即（x﹣1）的值．

【详解】解：设x﹣1＝t．

由原方程得t2+5t﹣14＝0，

整理得（t+7）（t﹣2）＝0，

解得t1＝﹣7，t2＝2，

则x1＝﹣6，x2＝3．

【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．