初中数学中考复习：29勾股定理及其逆定理(含答案)

中考总复习：勾股定理及其逆定理(提高) 巩固练习

【巩固练习】

一、选择题

1．（2011湖北黄石）将一个有45度角的三角板的直角顶点C放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点A在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图，则三角板的最大边的长为（    ）.　A. 3cm 　　　B. 6cm　　　 C. 3cm 　　　D. 6cm
 

2．在△中，若，则△是（    ）.
　　. 锐角三角形 　 . 钝角三角形　　　 . 等腰三角形 　 . 直角三角形

3. 如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为（    ）.
　　A. 　　　 B. 　　　 C.　　　D.3
　　
;

4如图，分别以直角的三边为直径向外作半圆．设直线左边阴影部分的面积为，右边阴影部分的面积和为，则（   　）.
　
　　A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．无法确定

5（2012•济宁）如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为（-2，3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（　　）.

A. -4和-3之间      B．3和4之间    C．-5和-4之间    D．4和5之间

6（2012•宁波）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（　　）.

A.90     B．100       C．110           D．121 

二、填空题

7. 如图，在由12个边长都为1且有一个锐角是60°的小菱形组成的网格中，点P是其中的一个顶点，以点P为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边的长________．
　

8. 如图，已知点F的坐标为(3，0)，点A、B分别是某函数图象与x轴，y轴的交点，点P是此图像上的一动点，设点P的横坐标为x，PF的长为d，且d与x之间满足关系：d=5－x(0≤x≤5),则结论：①AF=2； ②BF=5； ③OA=5； ④OB=3中，正确结论的序号是______________.
　　

9.如图所示，正方形ABCD的AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一点P，使EP＋BP最短． EP＋BP的最小值是_______．

10.勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边PQ上，那么△PQR的周长等于_________________.

11．观察下列一组数：

列举：3、4、5，猜想：32=4+5；

列举：5、12、13，猜想：52=12+13；

列举：7、24、25，猜想：72=24+25；…
列举：13、b、c，猜想：132=b+c；
请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b=_____,c=________.

12.如图，正方体的棱长为2，O为AD的中点，则O，A1，B三点为顶点的三角形面积为________________．

三、解答题

13. 作长为、、的线段.

14.如图A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直。现要从点E处开设通往村庄A、村庄B的一条电缆，现在共有两种铺设方案：方案一：E→D→A→B；方案二：E→C→B→A．经测量得千米，BC=10千米，∠BDC=45°，∠ABD=15°．已知：地下电缆的修建费为2万元／千米，水下电缆的修建费为4万元／千米．
求：1)河宽AD(结果保留根号)；
    2)公路CD的长;
　　3)哪种方案铺设电缆的费用低?请说明理由。
　　
　

15.如图，菱形ABCD的边长为12cm，∠A=60°，点P从点A出发沿线路AB⇒BD做匀速运动，点Q从点D同时出发沿线路DC⇒CB⇒BA做匀速运动．
（1）已知点P，Q运动的速度分别为2cm/秒和2.5cm/秒，经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点，试判断△AMN的形状，并说明理由；
（2）如果（1）中的点P、Q有分别从M、N同时沿原路返回，点P的速度不变，点Q的速度改为vcm/秒，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF与题（1）中的△AMN相似，试求v的值．

16．刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm；图②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上（移动开始时点D与点A重合）．
（1）在△DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐________.．（填“不变”、“变大”或“变小”）
（2）刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：
问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行？
问题②：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形？
问题③：在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD=15°？如果存在，求出AD的长度；如果不存在，请说明理由．
请你分别完成上述三个问题的解答过程．

【答案与解析】

一．选择题

1.【答案】D.

【解析】过点A作AH垂直于纸带边沿于点H，
　　　　　在直角△AHC中，∵AH=3，∠ACH=30°，
　　　　　∴AC=2AH=6,
　　　　　再在等腰直角△ABC中，∵AC=6, ∠B=45°，
　　　　　∴AB=.
　　　　　故选D.

2．【答案】D.

【解析】因为=4，所以，
　　　　　，由勾股定理的逆定理可知：△ABC是直角三角形, 答案选D.

3．【答案】C．

【解析】如图，过D点作DE⊥BC于E,则DE=AB，AD=BE,EC=BC－BE=3
　　　　　在Rt△CDE中，DE=,
　　　　　延长AB至F，使AB=BF，连接DF，交BC于P点，连接AP，
　　　　　这时候PA+PD取最小值，
　　　　　∵AD∥BC，B是AF中点，
　　　　　∴
　　　　　在Rt△ABP中，AP=
　　　　　∵
　　　　　∴=,故选C.

4．【答案】A.

【解析】圆的面积为，设三条边长为a,b,c,分别表示三块阴影部分面积，用勾股定理即可.

5．【答案】A．

【解析】∵点P坐标为（-2，3），
∴OP=，
∵点A、P均在以点O为圆心，以OP为半径的圆上，
∴OA=OP=，
∵9＜13＜16，
∴3＜＜4．
∵点A在x轴的负半轴上，
∴点A的横坐标介于-4和-3之间．
故选A．

6．【答案】 C.

二．填空题

7．【答案】2，，，4，.

【解析】如下图，可能的直角三角形斜边长有2，，，4，.
　　

8．【答案】①； ②； ③ .

【解析】令x=0得到d=5,此时点P与点B重合，BF=5，由勾股定理的OB=4.令x=5得到d=2,此时点P与点A重合，可得AO=5，AF=2.

9．【答案】5.

【解析】根据正方形的对称性可知：BP＝DP，连接DE，交AC于P，ED＝EP＋DP＝EP＋BP，

    即最短距离EP＋BP也就是ED．

 ∵AE＝3，EB＝1，∴AB＝AE＋EB＝4，

    ∴AD＝4，根据勾股定理得： ．

    ∵ED＞0，∴ED＝5，∴最短距离EP＋BP＝5．

10．【答案】27+13．

【解析】在直角△ABC中，根据三角函数即可求得AC，进而由等边三角形的性质和正方形的性质及三角函数就可求得QR的长，在直角△QRP中运用三角函数即可得到RP、QP的长，就可求出△PQR的周长．

11.【答案】 84,85.

【解析】认真观察三个数之间的关系：首先发现每一组的三个数为勾股数，第一个数为从3开始连续的奇数，第二、三个数为连续的自然数；进一步发现第一个数的平方是第二、三个数的和；最后得出第n组数为（2n+1），（），（），由此规律解决问题．

12．【答案】.

【解析】直角△AA1O和直角△OBA中，利用勾股定理可以得到OA1=OB=，

在直角△A1AB中，利用勾股定理得A1B=2，过点O作高，交A1B与M，连接AM，
则△AOM是直角三角形，则AM=A1B=，OM==，
∴△OA1B的面积=A1B•OM=．

三.综合题

13．【解析】

作法：如图所示
　　　　　　　　　　
　　（1）作直角边为1（单位长度）的等腰直角△ACB，使AB为斜边；
　　（2）作以AB为一条直角边，另一直角边为1的Rt。斜边为；
　　（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、、、的长      度就是、、、.

14．【解析】1).过B作BF⊥AD交DA延长线于F，
　　　　　在Rt△ABF中，可知∠BAF=60°，AB，
　　　　　∴ BF=6，，
　　　　　在Rt△BFD中，∵∠BDF=45°，
　　　　　∴ DF=BF=6，
　　　　　∴
　　　　　2).过B作BG⊥CD于G，则BG=6，BC=10，有CG=8，
　　　　　∴ DC=CG+DG=14.
　　　　　3).设CE=x，则方案一、二费用分别为：
　　　　　，
　　　　　，
　　　　　由可解得
　　　　　∴ 当＜CE＜14时，方案一较省；
　　　　　当0＜CE＜时，方案二较省；
　　　　　当CE=时，方案一、二均可．

15．【解析】

（1）∵∠A=60°，AD=AB=12，
∴△ABD为等边三角形，故BD=12，
又∵VP=2cm/s
∴SP=VPt=2×12=24（cm），
∴P点到达D点，即M与D重合vQ=2.5cm/s SQ=VQt=2.5×12=30（cm），
∴N点在AB之中点，即AN=BN=6（cm），
∴∠AND=90°即△AMN为直角三角形；
（2）VP=2m/s t=3s
∴SP=6cm，
∴E为BD的中点，
又∵△BEF与△AMN相似，
∴△BEF为直角三角形，且∠EBF=60°，∠BPF=30°，
①Q到达F1处：SQ=BP-BF1=6-=3（cm），故VQ==1（cm/秒）；
②Q到达F2处：SQ=BP+=9，故VQ===3（cm/秒）；
③Q到达F3处：SQ=6+2BP=18，故VQ===6（cm/秒）．

16. 【解析】

（1）变小；
（2）问题①：∵∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm
∴AC=12
∵∠FDE=90°，∠DEF=45°，DE=4
∴DF=4cm
连接FC，设FC∥AB
∴∠FCD=∠A=30°

∴在Rt△FDC中，DC=4
∴AD=AC-DC=12-4
∴AD=12-4时，FC∥AB；
问题②：设AD=x，在Rt△FDC中，FC2=DC2+FD2=（12-x）2+16
∵AC=12cm，DE=4cm，
∴AD≤8cm，
（I）当FC为斜边时，
由AD2+BC2=FC2得，x2+62=（12-x）2+16，x=；
（II）当AD为斜边时，
由FC2+BC2=AD2得，（12-x）2+16+62=x2，x=＞8（不合题意舍去）；
（III）当BC为斜边时，
由AD2+FC2=BC2得，x2+（12-x）2+16=36，x2-24x+160=0，
方程无解，
∴由（I）、（II）、（III）得，当x=时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形；
另解：BC不能为斜边，
∵FC＞CD，∴FC+AD＞12
∴FC、AD中至少有一条线段的长度大于6，
∴BC不能为斜边，
∴由（I）、（II）、（III）得，当x=cm时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形；
问题③：解法一：不存在这样的位置，使得∠FCD=15,°
理由如下：
假设∠FCD=15°
∵∠EFC=30°
作∠EFC的平分线，交AC于点P
则∠EFP=∠CFP=15°，∠DFE+∠EFP=60°
∴PD=4，PC=PF=2FD=8
∴PC+PD=8+4＞12
∴不存在这样的位置，使得∠FCD=15°;
解法二：不存在这样的位置，使得∠FCD=15°
假设∠FCE=15°AD=x
由∠FED=45°
得∠EFC=30°
作EH⊥FC，垂足为H．
∴HE=EF=2
CE=AC-AD-DE=8-x
且FC2=（12-x）2+16
∵∠FDC=∠EHC=90°
∠DCF为公共角
∴△CHE∽△CDF
∴=

又（）2=（）2=
∴（）2=，即=

整理后，得到方程x2-8x-32=0
∴x1=4-4＜0（不符合题意，舍去）
x2=4+4＞8（不符合题意，舍去）
∴不存在这样的位置，使得∠FCD=15°．