人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第3课时练习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第3课时练习题，共9页。试卷主要包含了[探究点三]化简，[探究点三]求证等内容，欢迎下载使用。

1.[探究点三](多选题)下列各式中,一定成立的有( )
A.sin 8α=2sin 4αcs 4α
B.1-sin2α=(sin α-cs α)2
C.sin2α=1-cs2α2
D.tan 2α=2tanα1+tan2α
2.[探究点二]已知tan α=17,tan β=13,且α,β均为锐角,则α+2β的值为( )
A.3π4B.5π4
C.π4D.2π3
3.[探究点二]设sin α=13,2π<α<3π,则sinα2+csα2=( )
A.-233B.233
C.43D.-33
4.[探究点一]cs275°+cs215°+cs 75°cs 15°的值等于( )
A.62B.32
C.54D.1+34
5.[探究点二]若sinα+csαsinα-csα=12,则tan 2α=( )
A.-34B.34
C.-43D.43
6.[探究点二]已知α∈(0,π),且有1-2sin 2α=cs 2α,则cs α= .
7.[探究点三(角度2)]化简:3tan12°-3sin12°(4cs212°-2).
8.[探究点三(角度1)]求证:cs2(A+B)-sin2(A-B)=cs 2Acs 2B.
B级 关键能力提升练
9.已知tan θ2=23,则1-csθ+sinθ1+csθ+sinθ的值为( )
A.23B.-23
C.32D.-32
10.已知函数f(x)=cs2x-1cs2x-π20A.函数f(x)的最大值为3,无最小值
B.函数f(x)的最小值为-3,最大值为0
C.函数f(x)的最大值为33,无最小值
D.函数f(x)的最小值为-3,无最大值
11.4sin 80°-cs10°sin10°=( )
A.3B.-3
C.2D.22-3
12.若α∈0,π2,且cs2α+csπ2+2α=310,则tan α=( )
A.12B.14
C.13D.13或-7
13.函数f(x)=sin2x+3π2-3cs x的最小值为( )
A.1B.2
C.-2D.-4
14.(多选题)已知函数f(x)=|sin x||cs x|,则下列说法正确的是( )
A.f(x)的图象关于直线x=π2对称
B.f(x)的周期为π2
C.(π,0)是f(x)的图象的一个对称中心
D.f(x)在区间π4,π2上单调递增
15.若θ∈π4,π2,sin 2θ=378,则cs 2θ= ;sin θ= .
16.化简:2+2+2csα(2π<α<3π)= .
17.求证:1cs2θ-tan θtan 2θ=1.
18.已知csπ4+αcsπ4-α=-14.
(1)求cs 2α的值;
(2)求cs 4α的值.
C级 学科素养创新练
19.在△ABC中,sin Acs A=sin Bcs B,且A≠B.
(1)求证:A+B=π2;
(2)求sin A+sin B的取值范围;
(3)若(sin Asin B)x=sin A+sin B,试确定实数x的取值范围.
答案：
1.AC
2.C 解析 tan 2β=2tanβ1-tan2β=34,tan(α+2β)=tanα+tan2β1-tanαtan2β=1.
因为α,β均为锐角,且tan α=17<1,tan β=13<1,
所以α,β∈0,π4,所以α+2β∈0,3π4,所以α+2β=π4.
3.A 解析 ∵sin α=13,∴sinα2+csα22=1+sin α=43.
又2π<α<3π,∴π<α2<3π2,
∴sinα2<0,csα2<0,∴sinα2+csα2=-233.
4.C 解析 原式=sin215°+cs215°+sin 15°cs 15°=1+12sin 30°=1+14=54.
5.B 解析 等式sinα+csαsinα-csα=12左边分子、分母同时除以cs α(显然cs α≠0),
得tanα+1tanα-1=12,解得tan α=-3,
∴tan 2α=2tanα1-tan2α=34.
6.55 解析 由1-2sin 2α=cs 2α,得1-cs 2α=2sin 2α,
即2sin2α=4sin αcs α.
又α∈(0,π),所以sin α≠0,所以sin α=2cs α>0.
由sin2α+cs2α=(2cs α)2+cs2α=5cs2α=1,
解得cs α=55.
7.解 原式=3sin12°-3cs12°cs12°2sin12°(2cs212°-1)=23(12sin12°-32cs12°)2sin12°cs12°cs24°
=23sin(12°-60°)sin24°cs24°=-23sin48°12sin48°=-43.
8.证明 左边=1+cs(2A+2B)2-1-cs(2A-2B)2=cs(2A+2B)+cs(2A-2B)2
=12(cs 2Acs 2B-sin 2Asin 2B+cs 2Acs 2B+sin 2Asin 2B)
=cs 2Acs 2B=右边,所以等式成立.
9.A 解析 ∵tan θ2=23,
∴1-csθ+sinθ1+csθ+sinθ=2sin2θ2+2sin θ2cs θ22cs2θ2+2sin θ2cs θ2=2sin θ2(sin θ2+cs θ2)2cs θ2(cs θ2+sin θ2)=tan θ2=23.故选A.
10.D 解析 因为f(x)=cs2x-1cs2x-π2=cs2x-1sin2x=-2sin2x2sinxcsx=-tan x,0所以函数f(x)的最小值为-3,无最大值.故选D.
11.B 解析 4sin 80°-cs10°sin10°=4cs10°sin10°-cs10°sin10°
=2sin20°-cs10°sin10°=2sin(30°-10°)-cs10°sin10°
=2(sin30°cs10°-cs30°sin10°)-cs10°sin10°=-3.
12.C 解析 cs2α+csπ2+2α=cs2α-sin 2α=cs2α-2sin αcs α
=cs2α-2sinαcsαsin2α+cs2α=1-2tanαtan2α+1=310,
整理得3tan2α+20tan α-7=0,解得tan α=13或tan α=-7.
又α∈0,π2,所以tan α=13,故选C.
13.D 解析 ∵f(x)=sin2x+3π2-3cs x=-cs 2x-3cs x=-2cs2x-3cs x+1.
令t=cs x,则t∈[-1,1].
设g(t)=-2t2-3t+1.
又函数g(t)图象的对称轴为直线t=-34∈[-1,1],且开口向下,
∴当t=1时,g(t)有最小值-4.
综上,f(x)的最小值为-4.
14.AB 解析 因为函数f(x)=|sin x||cs x|=|sin xcs x|=12|sin 2x|,画出函数图象,如图所示,
由图可知,f(x)的图象的对称轴是直线x=kπ4,k∈Z,
所以直线x=π2是f(x)图象的一条对称轴,A正确;
f(x)的最小正周期是π2,所以B正确;
f(x)是偶函数,其图象没有对称中心,C错误;
由图可知,f(x)=12|sin 2x|在区间π4,π2上单调递减,D错误.
15.-18 34 解析 ∵θ∈π4,π2,
∴sin θ>0,2θ∈π2,π,∴cs 2θ≤0.
∴cs 2θ=-1-sin22θ=-1-3782=-18.
又cs 2θ=1-2sin2θ,
∴sin2θ=1-cs2θ2=1--182=916,∴sin θ=34.
16.2sinα4 解析 ∵2π<α<3π,∴π<α2<3π2,π2<α4<3π4.
∴2+2+2csα=2+4cs2α2
=2-2csα2=4sin2α4=2sinα4.
17.证明 1cs2θ-tan θtan 2θ=1cs2θ-sinθsin2θcsθcs2θ
=csθ-2sin2θcsθcsθcs2θ=1-2sin2θcs2θ=cs2θcs2θ=1.
18.解 (1)∵csπ4+αcsπ4-α=-14,
∴csπ4+αsinπ2-π4-α=-14,
∴csπ4+αsinπ4+α=-14,
∴12sinπ2+2α=-14,∴cs 2α=-12.
(2)cs 4α=2cs22α-1=2×-122-1=-12.
19.(1)证明 因为sin Acs A=sin Bcs B,
所以sin 2A=sin 2B,解得2A=2B或2A+2B=π,
即A=B,或A+B=π2.
又A≠B,所以A+B=π2.
(2)解 由(1)可知A+B=π2,
故sin A+sin B=sin A+sinπ2-A=sin A+cs A=2sinA+π4.
由题意可知0所以1<2sinA+π4≤2,
故sin A+sin B的取值范围是(1,2].
(3)解 由题意可知sin Asin B≠0,
所以x=sinA+sinBsinAsinB=sinA+csAsinAcsA,
设sin A+cs A=t∈(1,2],则t2=1+2sin Acs A,
故sin Acs A=t2-12,代入得x=tt2-12=2tt2-1=2t-1t≥22-12=22,
故实数x的取值范围为[22,+∞).