高中人教A版 (2019)5.5 三角恒等变换第2课时复习练习题

第五章　第2课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式

A级  必备知识基础练

1.[探究点一]化简cos 16°cos 44°-cos 74°sin 44°的值为(　　)

A. B.- 

C. D.-

2.[探究点一](多选题)cos α-sin α化简的结果可以是(　　)

A.cos B.2cos

C.sin D.2sin

3.[探究点一]函数f(x)=cos-cos是(　　)

A.周期为π的偶函数 B.周期为2π的偶函数

C.周期为π的奇函数 D.周期为2π的奇函数

4.[探究点二]已知tan=,则tan α=(　　)

A. B.- 

C.5 D.-5

5.[探究点二]已知cos(α+β)=,cos(α-β)=-,则cos αcos β=　　　　　.

6.[探究点二、三]已知tan α=2,tan β=-3,其中0°<α<90°,90°<β<180°,

则=　　　　　,α-β=　　　　　. 

7.[探究点一]化简求值:

(1)sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β);

(2)cos(70°+α)sin(170°-α)-sin(70°+α)cos(10°+α);

(3)cos 21°·cos 24°+sin 159°·sin 204°.

B级  关键能力提升练

8.若tan(α+β)=,tan(α-β)=,则tan 2α=(　　)

A. B. 

C. D.

9.设α∈,β∈,且tan α=,则(　　)

A.3α-β= B.3α+β=

C.2α-β= D.2α+β=

10.在△ABC中,如果sin A=2sin Ccos B,那么这个三角形一定是(　　)

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形 D.等边三角形

11.在△ABC中,tan A+tan B+tan C=3,tan2B=tan A·tan C,则角B等于(　　)

A.30° B.45° 

C.120° D.60°

12.在△ABC中,3sin A+4cos B=6,3cos A+4sin B=1,则C的大小为(　　)

A. B. 

C. D.

13.函数y=cos x+cos的最小值是　　　　　,最大值是　　　　　.

14.形如的式子叫做行列式,其运算法则为=ad-bc,则行列式的值是　　　　　. 

C级  学科素养创新练

15.是否存在锐角α,β,使得(1)α+2β=,(2)tantan β=2-同时成立?若存在,求出锐角α,β的值;若不存在,请说明理由.

答案：

1.C　解析 cos 16°cos 44°-cos 74°sin 44°

=cos 16°cos 44°-sin 16°sin 44°=cos(16°+44°)=cos 60°=.故选C.

2.BD　解析 cos α-sin α=2=2

=2cos=2sin.

3.D　解析 因为f(x)=cos-cos

=-sin x,

所以函数f(x)的最小正周期为=2π.

又f(-x)=-sin(-x)=sin x=-f(x),x∈R,所以函数f(x)为奇函数.故选D.

4.B　解析 tan=,解得tan α=-.故选B.

5.0　解析 由已知得cos αcos β-sin αsin β=,cos αcos β+sin αsin β=-,

两式相加得2cos αcos β=0,故cos αcos β=0.

6.-7　-45°　解析 =-7.

因为tan(α-β)==-1,

又0°<α<90°,90°<β<180°,

所以-180°<α-β<0°,所以α-β=-45°.

7.解 (1)原式=sin(α+β+α-β)=sin 2α.

(2)原式=cos(70°+α)sin(10°+α)-sin(70°+α)cos(10°+α)

=sin [(10°+α)-(70°+α)]=sin(-60°)=-.

(3)原式=cos 21°cos 24°+sin(180°-21°)sin(180°+24°)

=cos 21°cos 24°-sin 21°sin 24°=cos(21°+24°)=cos 45°=.

8.D　解析 tan 2α=tan [(α+β)+(α-β)]=.

9.C　解析 由tan α=,得,

得sin αcos β-cos αsin β=cos α,sin(α-β)=sin.

又α∈,β∈,故α-β=-α,即2α-β=.

10.C　解析 ∵A+B+C=π,∴A=π-(B+C).

由已知可得sin(B+C)=2sin Ccos B,

∴sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Ccos B,

即sin Bcos C-cos Bsin C=0,即sin(B-C)=0.

∵0<B<π,0<C<π,∴-π<B-C<π,

∴B=C.故△ABC一定为等腰三角形.

11.D　解析 由公式变形得tan A+tan B=tan(A+B)(1-tan Atan B)

=tan(180°-C)(1-tan Atan B)=-tan C(1-tan Atan B)=-tan C+tan Atan Btan C,

∴tan A+tan B+tan C=-tan C+tan Atan Btan C+tan C=tan Atan Btan C=3.

∵tan2B=tan Atan C,∴tan3B=3,∴tan B=,则B=60°.故选D.

12.A　解析 由题意知

①2+②2得9+16+24sin(A+B)=37,

则sin(A+B)=,∴在△ABC中,sin C=,

∴C=或C=.

若C=,则A+B=,

∴1-3cos A=4sin B>0,∴cos A<.

又,∴A>.

此时A+C>π,不符合题意,∴C≠,∴C=.

13.-　解析 (方法1)y=cos x+cos xcos-sin xsin

cos x-sin x=cos.

当cos=-1时,ymin=-;

当cos=1时,ymax=.

(方法2)y=cos+cos

=coscos+sinsin+cos

cossin

=coscos,

所以-≤y≤.

14.-1　解析 sin 15°-cos 15°

=2

=2sin(15°-45°)

=2sin(-30°)

=-1.

15.解 假设存在锐角α,β使得(1)α+2β=,(2)tantan β=2-同时成立.

由(1)得+β=,

所以tan=.

又tantan β=2-,所以tan+tan β=3-,

因此tan,tan β可以看成方程x2-(3-)x+2-=0的两个根,

设方程的两根为x1,x2,解得x1=1,x2=2-.

若tan=1,则α=,这与α为锐角矛盾,

所以tan =2-,tan β=1,所以α=,β=,

所以满足条件的α,β存在,且α=,β=.