数学选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算同步达标检测题

第一章1.1.2　空间向量的数量积运算

A级  必备知识基础练

1.如图,在三棱锥A-BCD中,DA,DB,DC两两垂直,且DB=DC=3,AD=4,E为棱BC的中点,则=(　　)

A.3 B.2 C.1 D.0

2.在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形,则向量在向量上的投影向量为(　　)

A. B.

C. D.

3.已知四面体A-BCD的所有棱长都等于2,E是棱AB的中点,F是棱CD靠近C的四等分点,则= (　　)

A.- B.

C.- D.

4.如图,在棱长为1的正四面体ABCD中,M,N分别为棱BC,AD的中点,则直线AM和CN夹角的余弦值为(　　)

A. B.

C. D.

5.(多选题)如图所示,已知四面体ABCD的棱长都为a,点E,F,G分别是棱AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是              (　　)

A.2 B.2

C.2 D.2

6.(多选题)[2023新疆乌苏高二阶段练习]如图,在棱长都为1的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量两两夹角均为,则有(　　)

A.=1

B.AC1⊥平面A1BD

C.AC1⊥平面B1D1C

D.||=

7.已知斜三棱柱ABC-A1B1C1所有棱长均为2,∠A1AB=∠A1AC=,点E,F满足,则||=　　　　　. 

8.已知MN是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1内切球的一条直径,则=　　　　　. 

9. 在平行四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠D=60°,PA⊥平面ABCD,PA=6,求PC的长.

B级  关键能力提升练

10.(多选题)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都是1,且它们彼此的夹角都是60°,M为A1C1与B1D1的交点.记=a,=b,=c,则下列说法正确的是(　　)

A.=a+b+c

B.a-b+c

C.=0

D.||=

11.[2023吉林第二中学高二阶段练习]如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长均为6,且它们彼此的夹角都是60°,则体对角线AC1的长为　　　　　. 

12.如图,在正四面体ABCD中,棱长为a,M,N分别是棱AB,CD上的点,且MB=2AM,CN=ND,求MN的长.

13.[2023北京通州高二]如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=2,AA1=2,AD1=2,∠BAD=60°,∠BAA1=45°,AC与BD相交于点O.

(1)求;

(2)求∠DAA1;

(3)求OA1的长.

参考答案

1.1.2　空间向量的数量积运算

1.D　由题可得=0.

∵)=)=-2),,∴-2)·()=.

∵DB=DC,∴,∴=0.故选D.

2.B　四棱锥P-ABCD如图所示,

∵底面ABCD是矩形,∴BA⊥AD.

又PD⊥底面ABCD,AD⊂底面ABCD,∴PD⊥AD.

过向量的始点B作直线AD的垂线,垂足为点A,过向量的终点P作直线AD的垂线,垂足为点D,在向量上的投影向量为.

由底面ABCD是矩形,得.故选B.

3.D　因为E是棱AB的中点,F是棱CD靠近C的四等分点,所以.

因为=||||cos<>=2×2×cos 60°=2,

=||||cos<>=2×2×cos 60°=2,

=||||cos<>=2×2×cos 120°=-2,

所以×2+2+×(-2)=.故选D.

4.A　在正四面体ABCD中,∠BAC=∠BAD=∠CAD=.

因为M,N分别为棱BC,AD的中点,

所以),,

所以)·==×-1=-.

由题可得,AM=CN=,

所以|cos<>|=,

即直线AM和CN夹角的余弦值为.故选A.

5.AC　在四面体ABCD中,夹角为60°,所以2=2×||×||cos 60°=a2,故A正确;

夹角为120°,所以2=2×||×||cos 120°=-a2,故B错误;

因为点F,G分别是棱AD,DC的中点,所以FG∥AC,且||=|,所以夹角为0°,所以2=2×||×||cos 0°=a2,故C正确;

因为点E,F分别是棱AB,AD的中点,所以EF∥BD,所以夹角为120°,所以2=2×||×||cos 120°=-a2,故D错误.故选AC.

6.BCD　因为=()·()=()()+·()==1-1+1×1×cos-1×1×cos=0,所以AC1⊥BD,故A错误.同理可得AC1⊥A1B.

因为BD∩A1B=B,A1B,BD⊂平面A1BD,

所以AC1⊥平面A1BD,故B正确.

因为B1D1∥BD,B1D1⊄平面A1BD,BD⊂平面A1BD,所以B1D1∥平面A1BD.

因为CD1∥A1B,CD1⊄平面A1BD,A1B⊂平面A1BD,所以CD1∥平面A1BD.

又CD1∩B1D1=D1,所以平面B1D1C∥平面A1BD,所以AC1⊥平面B1D1C,故C正确.

||=||=

=

=,故D正确.故选BCD.

7.　由题可得=2.

∵=-)=,

∴=2==2,故||=.

8.2　因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,所以其内切球的半径r=×2=1.

球心一定在该正方体的体对角线的中点处,且体对角线长为=2.

设该正方体的内切球的球心为O,则AO=,OM=ON=1,易知,所以=()·()=||2+·()+=3+0-1=2.

9.解因为,所以||2=()2=||2+||2+||2+2+2+2=62+42+32+2||||cos 120°=61-12=49,所以||=7,即PC=7.

10.AC　=a+b+c,故A正确;

因为M为线段A1C1的中点,所以)=)=)=-a+b+c,故B错误;

因为=b-a,所以=c·(b-a)=c·b-c·a=1×1×cos 60°-1×1×cos 60°=0,故C正确;

||=,故D错误.故选AC.

11.6　由题可得,,则+2+2+2=3×62+3×2×6×6×cos 60°=216,故||==6.

12.解∵+()+)=-,

∴||2=|2+|2+|2-a2-a2cos 60°-a2cos 60°+a2cos 60°=a2,

故||=a,

即MN=a.

13.解(1)=||||cos∠BAD=4×2×cos 60°=4.

(2)因为ABCD-A1B1C1D1为平行六面体,所以四边形AA1D1D为平行四边形,则A1D1∥AD,A1D1=AD=2.

在△AA1D1中,AA1=2,A1D1=2,AD1=2,所以cos∠D1A1A==-,所以∠D1A1A=135°.

又A1D1∥AD,所以∠DAA1=45°.

(3)由题意知,=-,则=4+1+8+×4×2×-4×2-2×2=3,所以||=.所以OA1=.