2023年福建省福州市鼓楼区杨桥中学中考模拟数学试题（含解析）

2023年福建省福州市鼓楼区杨桥中学中考模拟数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．的倒数是（    ）

A．2023 B． C． D．

2．预计到2025年，中国5G用户将超过460 000 000，将460 000 000用科学记数法表示为（   ）

A． B． C． D．

3．将两个长方体如图放置，则所构成的几何体的主视图可能是（　　　）

A． B． C． D．

4．下列运算结果正确的是（    ）

A． B．  C． D．

5．一把直尺和一块直角三角尺（含30°、60°角）如图所示摆放，直尺的一边与三角尺的两直角边BC、AC分别交于点D、点E，直尺的另一边过A点且与三角尺的直角边BC交于点F，若∠CAF＝42°，则∠CDE度数为（    ）

A．62° B．48° C．58° D．72°

6．雅乐登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1 km气温下降，登山队员由大本营向上登高x km时，他们所在位置的气温为y℃，则y与x的函数关系式为（    ）

A． B． C． D．

7．我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”．意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶盛酒斛，1个小桶盛酒斛，下列方程组正确的是（    ）．

A． B． C． D．

8．某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（      ）

A．米 B．米 C．米 D．米

9．如图，是直径，点C、D将分成相等的三段弧，点P在上．已知点Q在上且，则点Q所在的弧是（    ）

A． B． C． D．

10．点，都在抛物线上．若，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．计算：________．

12．下图是根据甲、乙两城市一周的日均气温绘制的折线统计图，根据统计图判断本圈的日平均气温较稳定的城市是____________．（选填“甲”或“乙”）

13．如图，点，分别为，边上的中点，若，则的长为________．

14．已知，则x﹣y＝_____．

15．如图，一张扇形纸片OAC，∠AOC＝120°，OA＝8，连接AB，BC，AC，若OA＝AB，则图中阴影部分的面积为_____（结果保留π）．

16．如图，正方形的边长为2，G是对角线上一动点，于点E，于点F，连接．给出四种情况：①若G为上任意一点，则；②若，则；③若G为的中点，则四边形是正方形；④若，则．则其中正确的是_____．

三、解答题

17．解不等式组：．

18．如图，在中，点是延长线上一点，，，，求证：．

19．先化简，再求值的值，其中．

20．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：千帕）随气体体积V（单位：立方米）的变化而变化，p随V的变化情况如表所示．

（1）写出一个符合表格数据的p关于V的函数解析式　 　（2）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，依照（1）中的函数解析式，基于安全考虑，气球的体积至少为多少立方米？

21．如图所示，在△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D．已知点E是AC上一点，且满足CE＝DE．设AD＝2a，BD＝3a（a＞0）．

(1)尺规作图：在图中确定点E的位置（要求保留作图痕迹，不写作法）．

(2)在（1）的条件下，若BC＝10，求DE的长．

22．某中学为了解学生每学期诵读经典的情况，在全校范围内随机抽查了部分学生上一学期阅读量，学校将阅读量分成优秀、良好、较好、一般四个等级，绘制如下统计表：

请根据统计表中提供的信息，解答下列问题：

(1)本次调查一共随机抽取了__________名学生；表中_________，_________，_________．

(2)求所抽查学生阅读量的众数和平均数．

(3)样本数据中优秀等级学生有4人，其中仅有1名男生．现从中任选派2名学生去参加读书分享会，请用树状图法或列表法求所选2名同学中有男生的概率

23．是的直径，C是上一点，，垂足为D，过点A作的切线，与的延长线相交于点E．

(1)如图1，求证；

(2)如图2，连接，若的半径为2，，求的长．

24．已知，如图1，在▱ABCD中，点E是AB中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F．

（1）求证：△ADE≌△BFE；

（2）如图2，点G是边BC上任意一点（点G不与点B、C重合），连接AG交DF于点H，连接HC，过点A作AK∥HC，交DF于点K．

①求证：HC=2AK；

②当点G是边BC中点时，恰有HD=n•HK（n为正整数），求n的值．

25．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．

(1)求该二次函数的表达式；

(2)连接，在该二次函数图象上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；

(3)如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线，分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

参考答案：

1．B

【分析】根据倒数的定义，进行求解即可．

【详解】解：的倒数是

故选B．

【点睛】本题考查了倒数，熟练掌握互为倒数的两数之积为1，是解题的关键．

2．C

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．

【详解】460 000 000=4.6×108．

故选C．

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．A

【分析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形即可解答．

【详解】解：根据主视图的概念可知，从物体的正面看得到的视图是A．

故选：A．

【点睛】本题考查了简单几何体的主视图，掌握主视图的概念是解答此题的关键．

4．D

【分析】根据合并同类项，同底数幂相除，积的乘方，单项式乘以单项式法则，逐项判断即可求解．

【详解】解：A：，故选项A错误；

B：，故选项B错误；

C：，故选项C错误；

D：，故选项D正确，

故选：D．

【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂相除，积的乘方，单项式乘以单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．

5．B

【分析】先根据平行线的性质求出∠CED，再根据三角形的内角和等于180°即可求出∠CDE．

【详解】解：∵DE∥AF，∠CAF=42°，

∴∠CED=∠CAF=42°，

∵∠DCE=90°，∠CDE+∠CED+∠DCE=180°，

∴∠CDE=180°-∠CED-∠DCE=180°-42°-90°=48°，

故选：B．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和等于180°，熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等是解决问题的关键．

6．B

【分析】根据“大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温下降℃”可得向上登高xkm可得气温下降了℃，即可写出函数关系式．

【详解】由题意得，y与x的函数关系式为，

故选：B．

【点睛】本题考查了列函数关系式，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．

7．A

【分析】根据大小桶所盛酒的数量列方程组即可.

【详解】∵5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，

∴5x+y=3，

∵1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，

∴x+5y=2，

∴得到方程组，

故选：A.

【点睛】此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键.

8．B

【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出AB的长．

【详解】解：作AD⊥BC于点D，

则BD＝＋0.3＝，

∵cosα＝，

∴cosα＝，

解得，AB＝米，

故选B．

【点睛】本题考查解直角三角形的应用、轴对称图形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

9．D

【分析】根据圆周角定理和弧角关系求解．

【详解】解：如图，

∵AB为⊙O的直径，P在上，

∴∠APB=90°，

∵∠APQ=115°，∠APQ=∠APB+∠BPQ，

∴∠BPQ=25°，

∴∠BOQ=2∠BPQ=50°，

∵点C、D将分成相等的三段弧，

∴，

∴∠BOD=，

∵∠BOQ<∠BOD，

∴Q在上，

故选D．

【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆周角定理、弧角关系及直径所对圆周角大小是解题关键．

10．B

【分析】根据列出关于m的不等式即可解得答案．

【详解】解：∵点，都在二次函数的图象上，

∴，

，

∵，

∴，

∴，

即，

∴，故B正确．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式．

11．/

【分析】按照算术平方根和零指数幂化简后，再进行加法计算即可．

【详解】解：，

故答案为：．

【点睛】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握算术平方根和零指数幂是解题的关键．

12．乙

【分析】根据方差的性质：方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小.，判断即可．

【详解】解：由图知，乙的气温波动较小，故本周的日平均气温稳定的是乙城市．

故答案为：乙．

【点睛】本题主要考查了方差的性质，掌握利用方差判断稳定性是解题的关键．

13．6

【分析】根据三角形中位线定理计算即可．

【详解】解：，分别为，边上的中点，

是的中位线，

，

故答案为：6．

【点睛】本题考查了三角形中位线，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．

14．1．

【分析】一般方法是用加减消元法解得两未知数的值，再代入要求的代数式求值，但仔细观察可发现，直接用第二个方程整体减去第一个方程即可得到要求的式子的值.

【详解】，

①﹣②得：x﹣y＝1，

故答案为：1．

【点睛】本题考查的是用加减法求特定代数式的值，熟练掌握加减消元法，仔细观察问题与条件的关系是关键.

15．

【分析】证明S阴影=S扇形AOB求解即可．

【详解】解：∵OA=AB，OA=OB，

∴OA=OB=AB，

∴△AOB是等边三角形，

∴∠AOB=∠ABO=60°，

∵∠AOC=120°，

∴∠BOC=120°-60°=60°，

∴∠ABO=∠BOC=60°，

∴AB//OC，

∴S△ABC=S△ABO，

∴S阴=S扇形AOB=．

故答案为．

【点睛】本题考查扇形的面积，平行线的判定和性质，等高模型等知识，解题的关键是学会把不规则图形转化为规则图形．

16．

【分析】连接交于O，连接，先证，可得，再证，得到四边形是矩形，可得到，即可判断；

由可得，从而得出，即可判断；

先证明，可得是等腰直角三角形，得出，从而可得四边形是正方形，即可判断；

连接，在中，，求得，得到，从而得出，解得，即可求解．

【详解】解：连接交于O，连接，

∵正方形，

∴，

 在和中

∴，

∴，

∵，

∴，

∴四边形是矩形，

∴，

∴，故①正确；

∵，

∴，

∴，故②正确；

∵点G为的中点，，

∴点E为的中点，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∵四边形是矩形，

∴四边形是正方形，故③正确；

 连接，

∵正方形，

∴，

 在中，，

 解之得：，

∴；

∵

∴，

 解之得：，

∴，故④正确；

∴正确结论的序号为.

 故答案为：

【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的性质及判定，解决本题的关键是熟练掌握四边形的有关性质．

17．﹣1＜x≤6．

【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分．

【详解】，

解得：x＞﹣1，

解得：，

则不等式的解集为：．

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是解答此题的关键．

18．证明见解析

【分析】先证明再利用SAS证明，再利用全等三角形的性质可得答案.

【详解】解： ，

，

在与中，

，

（SAS），

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用SAS证明三角形全等”是解本题的关键.

19．

【分析】利用因式分解对进行化简，并代入解得答案．

【详解】解：

当时，

．

【点睛】本题考查了因式分解，二次根式的运算等知识，其中准确使用公式进行因式分解是解题的关键．

20．（1）P=；（2）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积至少为立方米．

【分析】 设p与V的函数的解析式为，利用待定系数法求函数解析式即可；

由p=144时，，所以可知当气球内的气压＞144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于立方米．

【详解】（1）由表格中数据可得PV=96，

故答案为

（2）由P=144时，，

当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积至少为立方米．

【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式．会用不等式解决实际问题．

21．(1)见解析

(2)4

【分析】（1）利用基本作图（作一个角等于已知角）作∠EDC＝∠ACD即可；

（2）证明，则可判断△ADE∽△ABC，然后利用相似比可求出DE的长．

【详解】（1）解：如图，点E为所作；

（2）解：∵CE＝DE，

∴∠EDC＝∠ECD，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD＝∠BCD，

∴∠BCD＝∠EDC，

∴，

∴△ADE∽△ABC，

∴，即，

∴DE＝4．

【点睛】本题考查了尺规作图、角平分线、平行线的判定、相似三角形的判定与性质，按要求作出图是解决本题的关键．

22．(1)50  ，，

(2)众数为4，平均数为

(3)

【分析】对于（1），先求出总数，根据总数×频率求出a，再根据频数÷总数求出b，最后用1分别减去三组数据的频率求出c即可；

对于（2），根据众数和平均数的定义解答即可；

对于（3），列出所有可能出现的结果，再根据概率公式计算即可．

【详解】（1）12÷0.24=50，，，；

故答案为：50  20，0.28，0.08；

（2）∵阅读量为4本的同学最多，有20人，

∴众数为4；

平均数为；

（3）记男生为A，女生为，，，列表如下：

∴由表可知，在所选2名同学中共有12种选法，其中必有男生的选法有6种，

∴所求概率为：．

【点睛】本题主要考查了频数分布表，求众数和平均数，列表（树状图）求概率等，掌握定义和计算公式是解题的关键．

23．(1)见解析

(2)

【分析】（1）证明，，即可得出；

（2）证明，求出OD，由勾股定理求出DB，由垂径定理求出BC，进而利用勾股定理求出AC，AD．

【详解】（1）解：∵ ，

∴，

∵ 是的切线，

∴，

在和中，，，

∴；

（2）解：如图，连接AC．

∵ 的半径为2，

∴，，

∵ 在和中，

，，

∴，

∴，即，

∴，

在中，由勾股定理得：，

∴．

∵ ，经过的圆心，

∴，

∴．

∵是的直径，C是上一点，

∴，

在中，由勾股定理得：，

∴．

在中，由勾股定理得：，

∴．

【点睛】本题考查切线的定义、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，熟练掌握上述知识点，通过证明求出OD的长度是解题的关键．

24．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）n=4．

【分析】此题涉及的知识点是两三角形全等的判定，平行四边形的性质点的综合应用，解题时先根据已知条件证明△ADE≌△BFE，再根据两三角形相似的判定，等量代换得出边的大小关系

【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠ADE=∠BFE，∠A=∠FBE，

在△ADE和△BFE中，

，

∴△ADE≌△BFE；

（2）如图2，作BN∥HC交EF于N，

∵△ADE≌△BFE，

∴BF=AD=BC，

∴BN=HC，

由（1）的方法可知，△AEK≌△BEN，

∴AK=BN，

∴HC=2AK；

（3）如图3，作GM∥DF交HC于M，

∵点G是边BC中点，

∴CG=CF，

∵GM∥DF，

∴△CMG∽△CHF，

∴==，

∵AD∥FC，

∴△AHD∽△GHF，

∴===，

∴=，

∵AK∥HC，GM∥DF，

∴△AHK∽△HGM，

∴==，

∴=，即HD=4HK，

∴n=4．

【点睛】此题重点考查学生对于三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质的综合应用能力，熟练掌握判定条件和性质是解题的关键．

25．(1)

(2)或

(3)

【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；

（2）根据题意，分情况讨论，①过点作关于的对称点，即可求P的坐标，②轴上取一点，使得，则，设，根据勾股定理求得，建列方程，解方程求解即可；

（3）设，，过点作轴于点，则，证明，根据相似三角形的性质列出比例式求得，即可求解．

【详解】（1）解：∵由二次函数，令，则，

，

过点，，

设二次函数的表达式为，

将点代入得，

，

解得，

，

（2）二次函数的图象经过点，，

抛物线的对称轴为，

①如图，过点作关于的对称点，

，

，

，

，

②轴上取一点，使得，则，设，

则，

，

解得，

即，

设直线CD的解析式为，

，

解得，

直线CD的解析式为，

联立，

解得或，

，

综上所述，或，

（3）的值是定值，

设，，

过点作轴于点，则，

，

，

，

，

，

即，

，，

，

，

．

即的值是定值

【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，角度问题，相似三角形的性质与判定，掌握二次函数的性质是解题的关键．