2023年湖南省长沙市青竹湖湘一外国语学校中考三模数学试题（含解析）

2023年湖南省长沙市青竹湖湘一外国语学校中考三模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．的倒数是（    ）

A． B． C． D．

2．生物具有遗传多样性，遗传信息大多储存在DNA分子上，一个DNA分子的直径约为0.000000301cm．数据“0.000000301”用科学记数法表示为（   ）

A． B． C． D．

3．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录．下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“立夏”、“小满”，其中是轴对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

4．16的算术平方根是(    )

A．4 B．-4 C． D．8

5．如图，，点在上，平分，若，则的度数为（　　）

A． B． C． D．

6．不等式组的解集在数轴上表示正确的为（   ）

A．   B．  

C．   D．  

7．如图，圆周角与相交于点A，B，已知，弦，的半径为（   ）

A． B． C． D．3

8．某课外学习小组有 人，在一次数学测验中的成绩分别是：则他们的成绩的中位数和众数分别是（   ）

A． 和  B． 和  C． 和  D． 和

9．某商品连续两次涨价，由每件元涨为每件元，平均每次上涨的百分比为（    ）

A． B． C． D．

10．关于二次函数的最值，说法正确的是（   ）

A．最小值为  B．最小值为  C．最大值为  D．最大值为

二、填空题

11．分解因式：______．

12．已知一个角是 ，那么这个角的补角是_____．

13．若＝，则的值是_________

14．若，则 的值为_____．

15．已知是一元二次方程的两个实数根，则_____．

16．如图，小兰想测量塔的高度．她在处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进至处，测得仰角为60°，那么塔高为______．

三、解答题

17．计算：

18．先化简，再求值：，其中．

19．如图，已知．

(1)尺规作图：作出线段的垂直平分线，交 于点 D，交 于点 E（不写作法，但保留作图痕迹）；

(2)在（1）的条件下，若，连接 ，求的面积．

20．中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务.成立一百周年之际，各中学持续开展了A：青年大学习；B：青年学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加.为了解参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图.

请根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)在这次调查中，一共抽取了____________名学生；

(2)补全条形统计图；

(3)若该校共有学生1280名，请估计参加B项活动的学生数；

(4)小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率.

21．如图，点 在 边 上，．

(1)求证：；

(2)若，求的度数．

22．为了全面推进素质教育，增强学生体质，丰富校园文化生活，我校将举行春季特色运动会，需购买A， B两种奖品，经市场调查，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品2件和B 种奖品3件，共需65元．

(1)求 A，B 两种奖品的单价各是多少元；

(2)运动会组委会计划购买A，B两种奖品共100 件，购买费用不超过元，且A种奖品的数量不超过B种奖品数量的3倍，运动会组委会共有几种购买方案？并求出最小费用．

23．如图，在中，，分别是的中点，延长至点，使，连接交于点O．

(1)证明：与互相平分；

(2)若，求的长度．

24．我们约定：在平面直角坐标系中，若某函数图像上至少存在不同的两点，满足，则称此函数为关于d的“函数”，这两点叫做一对关于d的“点”．

(1)下列函数中，其图象上至少存在一对关于1的“点”的，请在相应题目后面横线上“√”，不存在的打“×”：① ；② ；③；

(2)若关于3的“函数”的图象和反比例函数第四象限的图象交于两点，求的面积；

(3)关于x的函数G：是关于t的“函数”，记函数H为（为常数，），常数h的图象经过三点，且，若函数G的图像和函数H的图象有两个不同的交点，求线段长的取值范围．

25．如图1，是的直径，弦，垂足为点，连接．

(1)如图1，若，求劣弧所对圆心角的度数；

(2)在图1中，连接，若，求的值；

(3)①如图2，连接并延长交于点F，交于点G，若，求的长；

②如图2，若，求关于x的函数关系式．

参考答案：

1．C

【分析】根据倒数的定义，相乘等于1的两个数互为倒数．

【详解】解：的倒数是，

故选：C．

【点睛】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．

2．B

【分析】小于1的正数也可以用科学记数法，表示为a乘10 的负n次方的形式，其中a是正整数，n是整数，即可解答．

【详解】解：根据科学记数法：，

故选：B．

【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，熟知概念是解题的关键．

3．C

【分析】根据轴对称的定义：沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形，逐个判断即可得到答案.

【详解】解：由题意可得，

A选项图形不是轴对称图形，不符合题意，

B选项图形不是轴对称图形，不符合题意，

C选项图形是轴对称图形，符合题意，

D选项图形不是轴对称图形，不符合题意，

故选C.

【点睛】轴对称的定义：沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形．

4．A

【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．

【详解】解：∵，

∴，

故选：A．

【点睛】本题主要考查了算术平方根的定义，熟悉相关性质是解题的关键．

5．C

【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义可求出，再根据邻补角的定义求解.

【详解】解：∵，

∴，

∵平分，

∴，

∴，

故选：C.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

6．A

【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后在数轴上表示出来即可解答．

【详解】解：，

由①得：，

由②得：，

∴不等式的解集为，

∴在数轴上表示为：

  ；

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的步骤，在数轴上表示不等式，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．

7．A

【分析】作直径，连接，利用圆周角定理求得，再根据正弦函数的定义求解即可．

【详解】解：如图，作直径，连接，则，

∵，

∴，

∴，

∴的半径为，

故选：A．

【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

8．C

【分析】根据中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数及众数是一组数据中出现次数最多的数即可解答．

【详解】解：∵在一次数学测验中的成绩分别是：

∴从小到大的排序是，

∴中位数是，众数为，

故选．

【点睛】本题考查了中位数的定义，众数的定义，理解中位数及众数的定义是解题的关键．

9．D

【分析】设平均每次上涨的百分比为，根据增长率的计算方法列方程即可求解．

【详解】解：设平均每次上涨的百分比为，

∴，整理得，，

∴，

∴，，

∵从每件元涨为每件元，是正增长，

∴，即增长率是，

故选：．

【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际运用，掌握直接开方法解一元二次方程，增长率的计算方法是解题的关键．

10．C

【分析】将二次函数解析式一般式化为顶点式即，再根据二次函数的性质即可解答．

【详解】解：∵二次函数的解析式为，

∴，

∵，

∴有最大值为；

故选．

【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．

11．

【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可．

【详解】，

，

，

故答案为：

【点睛】本题考查了提公因式法和公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的几种方法是解题的关键．

12．/度

【分析】根据如果两个角的和等于，这两个角互为补角即可解答．

【详解】解：设这角的补角为，根据题意可得方程，

，

解得：，

∴这个角的补角为，

故答案为：；

【点睛】本题考查了求一个角的补角，如果两个角的度数和等于，这两个角互为补角，理解补角的定义是解题的关键．

13．

【分析】根据等式的性质，可用a表示b，根据分式的性质，可得答案．

【详解】解：由＝，得：，

∴=，

故答案为：.

【点睛】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出是解题关键．

14．

【分析】将变形后可得即可解答．

【详解】解：∵，

∴，

∴，

故答案为；

【点睛】本题考查了运用整体思想求代数式值，将条件和问题进行准确变形再整体代入计算是解题的关键．

15．

【分析】根据一元二次方程的根与系数关系得到，即可解答．

【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根，

∴，，

∴，

故答案为．

【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，已知式子的值求代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系是解题的关键．

16．

【分析】由题意可知：AB＝BD＝50m，再根据sin60°＝，即可求解．

【详解】∵∠DAB＝30°，∠DBC＝60°，

∴∠ADB＝30°，

∴BD＝AB＝50m，

在Rt△BCD中，

∴m

故答案为：．

【点睛】本题考查仰角的定义，解题的关键是借助仰角找出直角三角形各边之间的联系及熟练掌握特殊角的三角函数值．

17．

【分析】根据绝对值的性质，零指数幂的运算法则，特殊角的三角函数，二次根式的性质即可解答．

【详解】解：

．

【点睛】本题考查了绝对值的性质，零指数幂的运算法则，特殊角的三角函数，二次根式的性质，掌握绝对值的性质及二次根式的性质是解题的关键．

18．，3

【分析】根据分式运算法则先对原式进行运算化简，化为最简形式后，代值运算．

【详解】

=

=

=

当时，

原式=．

【点睛】本题考查分式的运算，熟练因式分解及分式运算法则是解题的关键．

19．(1)见解析

(2)

【分析】（1）根据垂直平分线的作图方法作图即可；

（2）根据线段垂直平分线的性质得到,，再利用含30度角的直角三角形三边的关系求出的长，然后根据三角形面积公式计算．

【详解】（1）解：分别以A、C为圆心，以大于长为半径在上下画弧，相交于一点，连接两个交点即为所求，如图所示，

（2）解：∵垂直平分，，

∴,，

∵，

∴，

∴；

【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了三角形的面积和线段垂直平分线的性质．

20．(1)200；

(2)见解析；

(3)估计参加B项活动的学生数有512名；

(4)画树状图见解析，他们参加同一项活动的概率为．

【分析】（1）根据D项活动所占圆心角度数和D项活动的人数计算即可；

（2）根据总人数求出参加C项活动的人数，进而可补全条形统计图；

（3）用该校总学生人数乘以抽查的学生中参加B项活动所占的比例即可；

（4）画出树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们参加同一项活动的情况数有4种，然后根据概率公式计算即可．

【详解】（1）解：（名），

即在这次调查中，一共抽取了200名学生，

故答案为：200；

（2）参加C项活动的人数为：200－20－80－40＝60（名），

补全条形统计图如图：

（3）（名），

答：估计参加B项活动的学生数有512名；

（4）画树状图如图：

由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们参加同一项活动的情况数有4种，

所以他们参加同一项活动的概率为．

【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，列表法或树状图法求概率，能够从不同的统计图中获取有用信息是解题的关键．

21．(1)证明见解析；

(2)；

【分析】（1）根据平行线的性质及全等三角形的判定即可解答；

（2）根据全等三角形的性质及等腰三角形的性质即可解答．

【详解】（1）解：∵，

∴，

∵，，，

∴，

∴在和中，

，

∴；

（2）解：∵，

∴，，

∵，

∴，

∴在中，，

∴，

【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

22．(1)A种奖品的单价是10元，B种奖品的单价是15元；

(2)运动会组委会共有8种购买方案，最小费用为元．

【分析】（1）设A种奖品的单价是x元，B种奖品的单价是y元，根据购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品2件和B 种奖品3件，共需65元列出方程组，解方程组即可得到答案；

（2）设购买A两种奖品m件，则购买B种奖品件，根据购买A，B两种奖品共100 件，购买费用不超过元，且A种奖品的数量不超过B种奖品数量的3倍列出一元一次不等式组，解不等式组得到m的取值范围，即可求出方案的种数，设购买费用为元，列出一次函数表达式，根据一次函数的性质进行求解即可．

【详解】（1）解：设A种奖品的单价是x元，B种奖品的单价是y元，

则，

解得，

∴A种奖品的单价是10元，B种奖品的单价是15元；

（2）设购买A两种奖品m件，则购买B种奖品件，

由题意得到，

解得，

∵m是正整数，

∴运动会组委会共有8种购买方案，

设购买费用为元，

则，

∵，

∴随着m的增大而减小，

∵，

∴当时，有最小值，此时，

即最小费用为元．

【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，读懂题意，找准等量关系和不等关系，正确列出方程组、不等式组、一次函数是解题的关键．

23．(1)证明见解析

(2)5

【分析】（1）根据三角形的中位线定理得，，而，则，即可证明四边形是平行四边形，则与互相平分；

（2）由，，得，因为，所以，而，则 ．

【详解】（1）证明：∵E、F分别是、的中点，

∴，，

∵点D在的延长线上，，

∴，，

∴四边形是平行四边形，

∴与互相平分．

（2）∵，，

∴，

∵，，

∴，，

∵与互相平分．

∴，

∴ ，

∴的长度是 5 ．

【点睛】此题重点考查三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理等知识，证明且是解题的关键．

24．(1)√；×；√

(2)

(3)

【分析】（1）先根据新定义计算，再进行判断即可；

（2）先根据新定义求得，再联立方程组求得点E、F的坐标，再利用分割法求三角形的面积即可；

（3）根据函数的新定义求得，联立方程组可得，且一元二次方程有两个不相等的实数根，从而可得，再由的图象经过三点，且，求得，即可求解．

【详解】（1）解：①由题意可得，，

∴，

∴此时图象上存在无数个关于1的“点”，

故答案为：√；

②由题意可得：，

∵，

∴图象上不存在一对关于1的“点”，

故答案为：×；

③由题意可得：，，

∴，，

∴此时图象上存在无数个关于1的“点”，

故答案为：√；

（2）解：由题意可得：，

∵，

∴，

∴，

∴联立方程组得：，解得：，，

∵当时，；当时，，

∴，，

∵当时，；当时，，即，

∴一次函数与x、y轴的交点为、，

∴；

（3）解：∵是关于t的“函数”，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴函数G的解析式为，

∵函数G的图像和函数H的图象有两个不同的交点，

∴联立方程组：，得：，

∴一元二次方程有两个实数根、，

∴，

∵，且经过点，

∴是一元二次方程的根，

∴，即，

∴，

∵的图象经过三点，且，

又∵，，

∴，，

∴，，即，，

∴，

∴，

∴的取值范围为：．

【点睛】本题考查函数的新定义、二次函数图象与性质、熟练掌握二次函数的图象与性质，理解新定义，将所求问题转化为函数问题是解题的关键．

25．(1)

(2)

(3)①；②；

【分析】（1）如图1，连接，，根据垂径定理和圆心角与圆周角的关系可得，由弧的度数等于对应圆心角的度数可得结论；

（2）如图2，连接，，设，则，证明，可得，设，再建立方程求解即可；

（3）①证明， ， 结合， 可得， 设，则， 可得， 解得：， 证明是的中位线， 可得答案；②证明，则，表示 ，则，根据已知的三角函数可得 ，最后根据勾股定理列方程为，解出可得结论．

【详解】（1）解：如图1，连接，，

∵是的直径，弦，

∴ ，

∴，

∵，

∴ ，

∴，

∴劣弧的度数是；

（2）如图2，连接，

∵，设，则，

∵为直径，

∴，

∴，设

∴，

解得：（负根舍去），

∴，

∴，

∴；

（3）①∵，

∴， ，

∵，

∴， 设，则，

由，

即， 解得：，

∴，

∵，，

∴是的中位线，

∴；

②∵是的直径，

∴，

∵ ，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴ ，

∵，且，

∴，

∴，

∴ ， 如图3，连接，

∵，，

∴ ，

∵，

∴，

∴ ，

∵，

∴，即，

两边同时除以，得：，

设，则原方程变形为：，

∴，

∴，

∴（舍），，

∴，

∴ ，

∴．

【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，一元二次方程等知识点，解直角三角形，最后一问有难度，能正确构建方程，利用换元法解方程是解本题的关键．