2023年浙江省温州市普通高中学业水平合格性考试模拟数学试题（含解析）

2023年浙江省温州市普通高中学业水平合格性考试模拟数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．设命题，，则为（    ）

A．， B．，

C．， D．，或

3．已知向量，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．为提高学生学习数学的热情，实验中学举行高二数学竞赛，以下数据为参加数学竞赛决赛的10人的成绩：（单位：分）78，70，72，86，79，80，81，84，56，83，则这10人成绩的第80百分位数是（    ）

A．83 B．83.5 C．84 D．70

5．，，，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

6．某游泳馆统计了2022年8月1日到30日某小区居民在该游泳馆的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率视为概率），则下列说法正确的是（    ）

A．估计该小区居民在该游泳馆的锻炼天数的平均值为14

B．估计该小区居民在该游泳馆的锻炼天数的众数为18

C．已知天数在区间锻炼人数为30人，则总共锻炼了500人

D．估计该小区居民在该游泳馆的锻炼天数的中位数约为14.255

7．直角梯形ABCD中，，，，点为中点，在边上运动（包含端点），则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

8．定义在R上且图象连续不断的函数，若存在常数使得对任意实数x都成立，我们称是R上“m相伴函数”.下列关于“m相伴函数”的描述正确的是（    ）

A．存在唯一的常数函数是“m相伴函数” B．是“m相伴函数”

C．“2023相伴函数”至少有一个零点 D．“相伴函数”至少有一个零点

9．学校兴趣小组为了测量市民活动中心广场一圆柱状建筑物的高度，在地面上选取相距120米的两点M，N，若在M，N处分别测得圆柱状建筑物的最大仰角为和，则该圆柱状建筑物的高度约为（    ）

A．60 B． C．30 D．

10．已知为锐角的两个内角，满足，则（    ）

A． B．

C． D．

11．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法不正确的是（    ）

A．的图象关于直线对称

B．的图象向左平移个单位后得到的图象

C．在区间上单调递增

D．为偶函数

12．已知正数a，b满足，则最小值为（    ）

A．25 B． C．26 D．19

二、多选题

13．若复数，下列说法正确的是（    ）

A．若z在复平面内对应点位于第二象限，则

B．若z为纯虚数，则

C．若，则

D．若，则

14．一个袋子中有3个红球，m个黑球，采用不放回方式从中依次取球，每次取1个，每个球被取出的可能性相等，已知取出2个球都是黑球的的概率为，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．若取出2球，颜色为一红一黑的概率为

C．若取出2球，颜色相同的概率为

D．若直到某种颜色的球全部被取出，最后取出的球是黑球的概率为

15．如图，长方体中，底面是边长为的正方形，，动点在线段上运动，则下列判断正确的是（    ）

A．三棱锥的体积为定值

B．当为中点时，最短

C．三棱锥外接球表面积的最小值为

D．与所成角的范围是

16．关于x的不等式的解集中恰有3个正整数解，则a的值可以为（    ）

A． B． C． D．2

三、双空题

17．是定义在上单调递增的奇函数，则________；若，则x的取值范围为________.

四、填空题

18．已知，，则的值为________.

19．在公元前4世纪中叶，中国天文学家有一套测定天体球面坐标的仪器称作浑仪，比古希腊早了近60年.浑仪是由两个重重的同心圆环构成，整体看上去，近似一个球体.它的运行制作原理可以如下解释，同心圆环的小球半径为r，大球的半径为R，大球内安放六根等长的金属丝（不计粗细），使小球能够在金属丝框架内任意转动，若，则r的最大值为________.

20．已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围为________.

五、解答题

21．已知函数，，，若________.条件①关于直线对称；②向右平移个单位，再向下平移个单位得到的函数为奇函数，请写出你选择的条件，并求当时，方程根的和.

22．如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，为正三角形，.

(1)求证：面；

(2)若是的中点，求与面所成角的正弦值.

23．已知函数.

(1)当时，判断在R上的单调性；

(2)记在R上的最小值为，写出的表达式并求的最大值.

参考答案：

1．C

【分析】利用自然数集的定义与集合的基本运算即可得解.

【详解】因为，，

所以.

故选：C.

2．D

【分析】根据命题的否定的定义即可得到答案.

【详解】根据命题的否定得任意变存在，结论相反，

故为，或，

故选：D.

3．A

【分析】根据向量平行的坐标表示,可得,简单计算,可得结果.

【详解】∵，则，或.

∴当时，命题成立，

反之，当时，不一定成立.

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选；A.

4．B

【分析】根据百分位数的定义计算即可.

【详解】将10个数据从小到大排列得，56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，

，故其第80百分位数是，

故选：B.

5．B

【分析】根据指数函数的性质求得，，根据对数函数的性质求得，即可得到答案.

【详解】根据指数函数的性质，可得，，

由对数函数的性质，可得，所以.

故选：B.

6．D

【分析】根据直方图写出对应该滑冰馆的锻炼天数区间的频率，再结合各选项的描述及中位数、平均数、众数以及利用频率估计总体的求法判断正误.

【详解】由图知：、、、、、的频率分别为、、、、、，

A：平均天数为天，故A错误；

B：由上述频率知，则众数位于之间，则众数取中间值17.5，故B错误；

C：人，故C错误；

D：由、、频率和为，若中位数为x，

则，可得，故D正确；

故选：D.

7．A

【分析】建立直角坐标系，分类讨论在边上运动时的取值范围，从而得解.

【详解】依题意，建立直角坐标系，如图，

则，

当在边上运动时，记，

则，

所以，则；

当在边上运动时，记，

则，所以，则；

当在边上运动时，记，

则，

所以，则；

综上：.

故选：A.

8．C

【分析】对于A举反例即可判断，对于B根据定义得到关于的方程组，解出即可判断；对于C，利用赋值法结合零点存在定理即可判断，对于D代入分析即可.

【详解】对于A，令，，则，

所以，解得，，函数有无数个，故A错误；

对于B，对恒成立，

化简得对恒成立，

则无解，则不是“m相伴函数”，故B错误；

对于C，，

令，，

当时，有实根0，

当时，，

因为函数在上的图象连续不断，则函数在上必有实根，

所以“2023相伴函数”至少有一个零点，故C正确；

对于D，，

当，，

若，，

不能判定此区间内是否有根，由于的任意性，则不能确定在上有无零点，故D错误；

故选：C.

【点睛】关键点睛：本题的关键是理解“m相伴函数”的定义，通过举反例、列方程组、零点存在定理以及赋值法即可判断.

9．B

【分析】设出圆柱状建筑物的高度，利用直角三角形的边角关系列出方程求解作答.

【详解】设圆柱状建筑物的高度为，则有，即，

所以.

故选：B

10．C

【分析】先利用三角恒等变换化得，再利用正弦定理得到，从而利用余弦定理结合基本不等式求得，由此得解.

【详解】因为，

所以，即，则，

故由正弦定理可得，

所以，

当且仅当时，等号成立，

因为为锐角三角形，所以，故.

故选：C.

11．B

【分析】利用图象求出函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断A选项；利用三角函数图象变换可判断B选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项；利用余弦型函数的奇偶性可判断D选项.

【详解】因为且，则，所以，，

因为点为函数的图象在轴右侧的第一个最低点，则，

解得，所以，.

对于A选项，因为，故函数的图象关于直线对称，A对；

对于B选项，的图象向左平移个单位后，

可得到函数的图象，且，B错；

对于C选项，当时，，

所以，函数在区间上单调递增，C对；

对于D选项，为偶函数，D对.

故选：B.

12．A

【分析】先进行化简得，再利用乘“1”法即可得到答案.

【详解】因为正数a，b满足，

所以

，当且仅当，联立，

即时等号成立，

故选：A.

13．ABC

【分析】求出a，b正负判断A；利用纯虚数判断B；利用复数的乘法结合复数是实数的条件判断C；计算复数的乘方判断D作答.

【详解】对于A，z在复平面内对应点位于第二象限，则，有，A正确；

对于B，z为纯虚数，则且，B正确；

对于C，，而，则，C正确；

对于D，，则，D错误.

故选：ABC

14．ACD

【分析】利用独立事件的乘法公式以及组合公式一一分析即可.

【详解】对A，由题意得，则，解得，故A正确；

对B，设为两球颜色为一红一黑，则，故B错误；

对C，设为两球颜色相同，则，故C正确；

对D，5个球被全部取出的方式有，两个黑球被全部取出的方式有，

故所求概率为：，故D正确.

故选：ACD.

15．AD

【分析】对于A，利用线面平行的判定定理证得平面，由此得以判断；对于B，假设说法成立，推得，计算出，从而得以判断；对于C，求得外接圆的半径，由球的性质可知，由此判断即可；对于D，结合图形可知与所成角取得最大与最小时的位置，计算即可判断.

【详解】对于A，因为在长方体中，易得，

所以四边形是平行四边形，则，

又平面，平面，所以平面，

而动点在线段上运动，所以点到平面的距离恒定，

所以三棱锥的体积为定值，故A正确；

对于B，假设当为中点时，最短，则此时，

所以由三线合一可知，

而底面是边长为的正方形，则，

又，易知，所以在中，，

则，矛盾，故B错误；

对于C，与选项B同理，易得，

记的中点为，连接，设的外接圆的圆心为，连接，

因为是等腰三角形，则，落在上，

易得，设的外接圆的半径为，

则有，即，解得，

显然三棱锥外接球的半径必然满足，

所以其表面积满足，

显然三棱锥外接球取不到最小值，故C错误；

对于D，因为平面，平面，所以，

结合图形易知，当与重合时，与所成角取得最大值；

当与重合时，与所成角取得最小值，

此时，因为，，则，

所以在中，，，则，

易知，则，即与所成角取得最小值；

综上：与所成角的范围是.

故选：AD.

16．CD

【分析】由题意先判断出，写出不等式的解集，由不等式的解集中恰有3个正整数，分析的这3个正整数为,计算求解即可.

【详解】不等式化简为的解集中恰有3个正整数，

当时，不等式化为，则解集中有无数个整数.

当时，不等式的解集中有无数个正整数，故A错误；

所以，，，所以

所以不等式的解集为：， 根据0一定属于此集合，

则由不等式的解集中恰有3个正整数，

则这3个整数中一定为：，

则，解得

故可取和2，故C,D正确，AB错误；

故选：CD.

17．         

【分析】根据给定条件，利用奇函数性质求出a值；再利用奇函数定义结合单调性解不等式作答.

【详解】依题意，，解得；

因此函数是上单调递增的奇函数，由，得，

于是，解得，

所以x的取值范围为.

故答案为：；

18．

【分析】利用正切函数的和差公式即可得解.

【详解】因为，，

所以.

故答案为：.

19．

【分析】小球与正四面体的各条棱相切，大球为正四面体的外接球，即可保证最大，设正四面体的棱长为，为的中心，可得平面，求得，，在直角中，求得，过点作，求得，即可求解.

【详解】由题意，小球与正四面体的各条棱相切，大球为正四面体的外接球，即可保证最大，

如图所示，设正四面体的棱长为，为的中心，可得平面，

因为平面，则，且，

所以，

在直角中，，可得，

解得，

过点作，垂足为，

在直角中，可得，

即小球的最大半径为

故答案为：.

20．

【分析】法一：将问题转化为与的值域有交集，并考虑其反面即可得解.

法二：利用的单调性得到，从而得解.

【详解】法一：

因为存在，使得成立，

所以与的值域有交集，

因为，

当时，，则，即的值域为，

当时，为使有意义，

则能成立，即能成立，即，

因为，所以，

此时，故的值域为，

当与的值域没有交集时，有或，

则或，即或.

所以当与的值域有交集时，.

法二：

因为在上是单调递增函数，

所以若存在，使得成立，则有，故，

因为，则，所以，故，

同时，在上能成立，即能成立，即，

因为，所以，

综上：.

故答案为：.

21．答案见解析.

【分析】首先利用二倍角公式和辅助角公式得，选①则通过对称性求出参数，再利用正弦函数图象与性质即可得到答案，选②则写出其平移后的解析式，再利用其奇偶性求出参数，再利用正弦函数图象与性质即可得到答案.

【详解】

选①，，，

解得,，因为，

，，

由，解得或，

当时，，，

或，解得或，

当时，，，

所以方程根的和为.

选②，函数，

因为其为奇函数，则，解得，，

因为，则，

以下同①.

22．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接，设，利用余弦定理求出，可得出等边的边长，利用勾股定理可证得，，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；

（2）取线段的中点，连接、、，计算出，再求出到平面的距离，设与面所成角为，可得出，即为所求.

【详解】（1）证明：连接，设，

在菱形中，，则，

由余弦定理，可得，

因为是等边三角形，所以，

因为，所以，

所以，同理，

因为，、平面，

所以平面.

（2）取线段的中点，连接、、，

因为、分别为、的中点，则且，

因为平面，所以平面，

在中，，，，

由余弦定理，可得，

因为平面，所以，

所以，

所以，

，

设点到平面的距离为，因为，

所以由，可得，

所以，

因此，点为线段的中点，所以点到平面的距离为，

设与面所成角为，则，

因此，与面所成角的正弦值为.

23．(1)在上单调递减，在上单调递增.

(2)，

【分析】（1）讨论分段函数中二次函数的对称轴与的大小关系即可得到答案.

（2）分，和讨论即可.

【详解】（1），即

当时，， ，

则函数在上单调递减，在上单调递增，

（2），，

当，即时，，

函数在上单调递减，

在上单调递增，

，，，

，

当且，即时，

函数在上单调递减，在上单调递增，

，

当，即时，，

函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，

综上，

当时，，

所以.

【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是讨论二次函数的对称轴与分界点的关系，同时要注意在最后得到的表达式之后，还需继续求出其最大值.