精品解析：上海市松江一中2022-2023学年高二下学期5月月考数学试题（解析版）

松江一中2022学年第二学期高二年级数学月考

2023.6

一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，第题每个空格填对得4分，第题每个空格填对得5分，否则一律得零分．）

1. 抛物线的准线方程为__________．

【答案】

【解析】

【分析】抛物线的准线方程为，由此得到题目所求准线方程.

【详解】抛物线的准线方程是.

【点睛】本小题主要考查抛物线的准线方程，抛物线的准线方程为，直接利用公式可得到结果.属于基础题.

2. 已知随机变量服从二项分布，则________．

【答案】

【解析】

【分析】利用二项分布期望公式求期望即可.

【详解】由二项分布期望公式得.

故答案为：

3. 设两圆与圆的公共弦所在的直线方程为_______

【答案】

【解析】

【分析】利用两圆的方程相减即可求解.

【详解】因为圆，圆，

由得，，

所以两圆的公共弦所在的直线方程为.

故答案为：.

4. 已知随机变量，且，则__________．

【答案】##

【解析】

【分析】由正态分布的对称性得出概率.

【详解】.

故答案为：

5. 若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是_____．

【答案】

【解析】

【分析】由题意，求导f′（x）＝x2+2x＝x（x+2）确定函数的单调性，从而作出函数的简图，由图象求实数a的取值范围．

【详解】由题意，f′（x）＝x2+2x＝x（x+2），

故f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上是增函数，

在（﹣2，0）上是减函数，

作其图象如图，

令x3+x2得，

x＝0或x＝﹣3；

则结合图象可知，

；

解得，a∈[﹣3，0）；

故选C．

【点睛】本题考查了导数的综合应用及学生作图识图的能力，属于中档题．

6. 把一颗质地均匀的骰子连续抛掷两次，记事件为“所得点数之和是偶数”，记事件为“至少有一次点数是4”，则________．

【答案】

【解析】

【分析】列举出事件A的所有基本事件，然后从其中找出满足事件B的基本事件，利用古典概型概率公式可得.

【详解】事件有下列可能：，，，，，，，，，，，，，，，，，共18种；

满足条件有：，，，，，共5种，所以
 

故答案为：

7. 从一批含有13只正品,2只次品的产品中,不放回地抽取3次,每次抽一只,设抽取次品数为,则= _____

【答案】3

【解析】

【详解】抽取次品数满足超几何分布：，故，，，其期望，故.

8. 期中考卷有8道单选题，小明对其中5道题有思路，3道题完全没思路．有思路的题做对的概率是0.9，没思路的题只能猜答案，猜对的概率为0.25，则小明从这8道题中随机抽取1道做对的概率为__________．

【答案】

【解析】

【分析】根据全概率公式求解即可.

【详解】设事件表示“考生答对”，设事件表示“考生选到有思路的题”

则小明从这道题目中随机抽取道做对概率为：

.

故答案为：.

9. 已知一组成对数据的回归方程为，则该组数据的相关系数__________（精确到0.001）．

【答案】

【解析】

【分析】一组成对数据的平均值一定在回归方程上，可求得，再利用相关系数的计算公式算出即可.

【详解】由条件可得，

，

，

一定在回归方程上，代入解得，

，

，

，

，

故答案为：

10. 设，若关于的方程有三个实数解，则的取值范围为__________.

【答案】

【解析】

【分析】设，根据题意转化为函数的图象与直线有三个不同的交点，求得，求得函数的单调性与极值，作出函数的图象，结合图象，即可求得实数的取值范围.

【详解】由，可得，

设函数，则函数的图象与直线有三个不同的交点，

又由，

当或时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以的极小值为，极大值为，

且时，，当时，，

作出函数的大致图象如图所示，

由图象可知，要使函数的图象与直线由三个不同的交点，

则满足，即实数的取值范围是.

故答案为：.

11. 如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的交点，若，则与的离心率之积的最小值为______.

【答案】##

【解析】

【分析】根据椭圆和双曲线的定义和对称性，结合三角形面积公式、余弦定理、基本不等式进行求解即可.

【详解】设椭圆方程为，

双曲线方程，

如下图，连接，所以为平行四边形，

由得，

设，

在椭圆中，由定义可知：，

由余弦定理可知：

，

，

在双曲线中，由定义可知中：：，

由余弦定理可知：

，

，

所以，

，当且仅当时取等号，

所以，

所以与的离心率之积的最小值为．

故答案为：

12. 卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆的方程为：，为坐标原点，点，点为卵圆上任意一点，则下列说法中正确的是________.

①卵圆关于轴对称

②卵圆上不存在两点关于直线对称

③线段长度的取值范围是

④的面积最大值为

【答案】①③④

【解析】

【分析】利用点和均满足方程，即可判断①；设和都在卵圆上，再解即可判断②；利用两点间的距离公式表示，然后利用导数研究其最值，即可判断③；利用三角形的面积公式表示出，然后利用导数研究其最值，即可判断④.

【详解】对于①，设是卵圆上的任意一个点，

因为，所以点也在卵圆上，

又点和点关于轴对称，

所以卵圆关于轴对称，故①正确；

对于②，设在卵圆上，关于直线对称的点也在卵圆上，

则，解得或，

所以卵圆上存在两点关于直线对称，故②错误；

对于③，由，得，

所以，又，所以，

设点，

则，

令，

则，

令，则或，

当或时，，当时，，

所以函数在上递增，在上递减，

又，

且，

所以，即，

所以，故③正确；

对于④，点，

，

令，则，

当时，，当时，，

所以在上递减，在上递增，

所以，

此时的面积取得最大值，故④正确.

故答案为：①③④.

【点睛】关键点点睛：本题考查了圆锥曲线的新定义问题，解决此类问题的关键在于理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答.

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

13. 计算：（    ）

A. 0 B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据导数的定义转化题设公式有，即可得答案.

【详解】由.

故选：B

14. 下列命题为真命题的有（    ）

A. 若随机变量的方差为，则．

B. 已知经验回归方程，则与具有正线性相关关系．

C 对于随机事件与，若则事件与独立．

D. 根据分类变量与成对样本数据，计算得到，根据的独立性检验，有的把握认为与有关．

【答案】C

【解析】

【分析】A利用方差性质求新方差；B根据回归方程系数的正负判断；C应用对立事件的概率、条件概率公式及独立事件的判定即可判断；D根据独立检验的基本思想即可得结论.

【详解】A：由，则，错；

B：由的一次项系数为负，故与具有负线性相关关系，错；

C：由，而，则，

所以，即事件与相互独立，对；

D：由，故没有的把握认为与有关，错.

故选：C

15. 已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则   

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出

【详解】由题可得圆心为，半径为2，

则圆心到直线的距离，

则弦长为，

则当时，取得最小值为，解得.

故选：C.

16. 已知函数，，对于不相等的实数、，设，，现有如下命题：

①对于任意的实数，存在不相等的实数、，使得；

②对于任意的实数，存在不相等的实数、，使得，

下列判断正确的是（    ）

A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题

C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题

【答案】D

【解析】

【分析】假设①中的结论成立，构造，取，判断函数的单调性，可判断①；假设②中的结论成立，构造函数，判断出函数的单调性，可判断②.

【详解】对于①，假设对于任意的实数，存在不相等的实数、，使得，

则，可得，

即，取，可得，

令，因为函数、在上均为增函数，

所以，当、，且时，；

当时，函数的增长速度比函数的速度增长得更快，

任取、，且，记点、、、，

则直线比直线的斜率更大，即，

故，故①错；

对于②，假设对于任意的实数，存在不相等的实数、，使得，

则，可得，

构造函数，

因为函数为上的增函数，函数在上为增函数，

所以，函数在上为增函数，

取，则，

记，

当时，，则，

所以，存在区间，使得函数在上不是增函数，

故对任意的实数，函数不单调，

故对于任意的实数，存在不相等的实数、，使得，②对.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题考查的是有关函数命题真假的判断，解题的关键在于假设结论成立，通过等式的结构构造新函数，转化为新函数的单调性问题来处理.

三．解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

17. 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a、b∈R)的图象过点P(1,2)，且在点P处的切线斜率为8.

(1)求a、b的值；

(2)求函数f(x)的单调区间．

【答案】（1）；（2）增区间为，，单调减区间为

【解析】

【详解】试题分析：（1）求出，根据函数的图象过点与函数图象在点处的切线斜率为，，建立关于和的方程，解之即可；（2）分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间.

试题解析：(1)∵函数f(x)的图象过点P(1,2)，

∴f(1)＝2.

∴a＋b＝1.①

又函数图象在点P处的切线斜率为8，

∴f ′(1)＝8，

又f ′(x)＝3x2＋2ax＋b，

∴2a＋b＝5.②

解由①②组成的方程组，可得a＝4，b＝－3.

(2)由(1)得f ′(x)＝3x2＋8x－3，

令f ′(x)>0，可得x<－3或x>；

令f ′(x)<0，可得－3<x<.

∴函数f(x)的单调增区间为(－∞，－3)，(，＋∞)，单调减区间为(－3，)．

18. 甲､乙两人进行乒乓球决赛，采用五局三胜制.对于每局比赛，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果互相独立.

（1）在乒兵球比赛中，如果一方连胜最终获得比赛的胜利，那么将其形象地称之为“剃光头”.求甲､乙的这场乒乓球决赛“剃光头”的概率；

（2）在乒乓球比赛中，如果实力较弱的一方最终获得比赛的胜利，那么将其称之为“爆冷门”，求甲､乙的这场乒乓球决赛“爆冷门”的概率.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）分别计算甲、乙连胜三局的概率，相加即可得到结果；

（2）分析可知乙实力较弱，将乙共用三局、四局和五局获得比赛胜利的概率相加即可求得结果.

【小问1详解】

甲连胜三局的概率为，乙连胜三局的概率为，

甲､乙的这场乒乓球决赛“剃光头”的概率为.

【小问2详解】

甲每局比赛获胜的概率大于乙每局比赛获胜的概率，乙实力较弱，

“爆冷门”的概率.

19. 概率统计在生产实践和科学实验中应用广泛.请解决下列两个问题.

（1）随着中小学“双减”政策的深入人心，体育教学和各项体育锻炼迎来时间充沛的春天.某初中学校学生篮球队从开学第二周开始每周进行训练，第一次训练前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）.每次训练，都是从中不放回任意取出2个篮球，训练结束后放回原处. 设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求随机变量ξ的分布和期望.

（2）由于手机用微波频率信号传递信息，那么长时间使用手机是否会增加得脑瘤的概率？研究者针对这个问题，对脑瘤病人进行问卷调查，询问他们是否总是习惯在固定的一侧接听电话？如果是，是哪边？结果有88人喜欢用固定的一侧接电话.其中脑瘤部位在左侧的病人习惯固定在左侧接听电话的有14人，习惯固定在右侧接听电话的有28人；脑瘤部位在右侧的病人习惯固定在左侧接听电话的有19人，习惯固定在右侧接听电话的有27人.根据上述信息写出下面这张列联表中字母所表示的数据，并对患脑瘤在左右侧的部位是否与习惯在该侧接听手机电话相关进行独立性检验.（显著性水平

参考公式及数据：，其中，

【答案】（1）分布列见解析， 1   

（2）表格见解析，长时间使用手机与是否得脑瘤没有显著关系

【解析】

【分析】（1）由题可知可取的值为0，1，2，后结合题目条件可得分布列与相应期望；

（2）由题目条件可将列联表补充完整，后由列联表数据计算，比较其与大小即可判断长时间使用手机与是否得脑瘤有无显著关系.

【小问1详解】

第一次训练时所取的球是从6个球（3新，3旧）中不放回取出2个球，所以可取的值为0，1，2..

则分布列如下

则期望为；

【小问2详解】

由题目条件可得列联表如下：

则=，故长时间使用手机与是否得脑瘤没有显著关系.

20. 已知，曲线．

（1）若曲线为圆，且与直线交于两点，求的值；

（2）若曲线为椭圆，且离心率，求椭圆的标准方程；

（3）设，若曲线与轴交于，两点（点位于点的上方），直线与交于不同的两点， ，直线与直线交于点，求证：当时，A，，三点共线．

【答案】（1）4    （2）   

（3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据曲线是圆，得到，由垂径定理得到弦长；

（2）分焦点在轴与轴上，两种情况，由离心率求出的值，得到椭圆方程；

（3）联立与曲线方程，得到两根之和，两根之积，表达出点坐标，计算出，从而得到A，，三点共线.

【小问1详解】

若曲线为圆，则

圆方程为：，此时圆心到直线的距离

此时；

【小问2详解】

曲线的方程为

当焦点在轴上时，

此时

此时椭圆的标准方程为

当焦点在轴上时，

此时

此时椭圆的标准方程为；

【小问3详解】

当时，方程为，，，设，

直线的方程为：，

令

联立

，

因为，

分子

，

即，因而A，，三点共线．

【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，处理三点共线，四点共圆，或两直线倾斜角互补或相等问题时，往往会转化为斜率之和为0或斜率相等，进而列出方程，代入计算即可.

21. 设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图像． 若过点恰能作曲线的条切线（），则称是函数的“度点”．

（1）判断点与点是否为函数的1度点，不需要说明理由；

（2）已知，． 证明：点是的0度点；

（3）求函数的全体2度点构成的集合．

【答案】（1）原点是函数的一个1度点，点不是函数的一个1度点   

（2）证明见解析    （3）或

【解析】

【分析】（1）求出曲线在点处的切线方程，该切线过点时，列出方程，求出一个根，满足要求，该切线过点，构造函数，解超越方程，无解，不合要求；

（2）求出在点处的切线方程，转化为无解，构造，求导得到其单调性，证明出无解，故证毕；

（3）求出切线方程，得到的一个2度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解，设，分，与三种情况，进行求解.

小问1详解】

设，则曲线在点处的切线方程为．

则该切线过点当且仅当，即． 故原点是函数的一个1度点，

该切线过点，故，

令，则，令得，令得，

故在上单调递增，在上单调递减，

在处取得极小值，也时最小值，且，

故无解，点不是函数的一个1度点

【小问2详解】

设，，

则曲线在点处的切线方程为．

则该切线过点当且仅当（*）．

设，则当时，，故在区间上严格增．

因此当时，，（*）恒不成立，即点是的一个0度点．

【小问3详解】

，

对任意，曲线在点处的切线方程为．

故点为函数的一个2度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解．

设． 则点为函数的一个2度点当且仅当两个不同的零点．

若，则在上严格增，只有一个实数解，不合要求．

若，因为，解得有两个驻点．

由或时得严格增；而当时，得严格减．

故在时取得极大值，在时取得极小值．

又因为，，

所以当时，由零点存在定理，在、、上各有一个零点，不合要求；

当时，仅上有一个零点，不合要求；

当时，仅上有一个零点，也不合要求．

故两个不同的零点当且仅当或．

若，同理可得两个不同的零点当且仅当或．

综上，的全体2度点构成的集合为或．

【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：

（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；

（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；

（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；

（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.