2023年湖南省长沙市开福区重点中学中考数学三模试卷（含解析）

2023年湖南省长沙市开福区重点中学中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中，无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  最近，武汉一教师凭借“挖呀挖呀挖”的视频火遍全网，新华网以幼儿园老师用温暖的歌曲，带给花朵们温馨的童年为题，转发了这则视频，短时间内点赞突破万，万用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如果一个多边形的内角和等于，这个多边形是(    )

A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形

6.  下列说法正确的是(    )

A. 了解一批灯泡的使用寿命，应采用全面调查
B. 圆的切线垂直于圆的半径
C. 角平分线上任意一点到角两边的距离相等
D. “明天降雨概率”，指明天有的时间在下雨

7.  如图，是等边三角形，边长为，根据作图的痕迹，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  抢微信红包成为节日期间人们最喜欢的活动之一对某单位名员工在春节期间所抢的红包金额进行统计，并绘制成了如下统计图根据如图提供的信息，红包金额的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

9.  我国古代算法统宗里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住人，那么有人无房可住；如果一间客房住人，那么就空出一间客房，若设该店有客房间，房客人，则列出关于，的二元一次方程组正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知有个完全相同的边长为、的小长方形和个边长为、的大长方形，小明把这个小长方形按如图所示放置在大长方形中，小明经过推理得知，要求出图中阴影部分的周长之和，只需知道、、、中的一个量即可，则要知道的那个量是(    )
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  若代数式有意义，则实数的取值范围是______．

12.  因式分解： ______ ．

13.  如图，中，为上的点，请你添加一个条件：______，使和相似．

 

14.  若是方程的根，则______．

15.  如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，点在反比例函数的图象上，则菱形的面积为______ ．

16.  如图，为直角边上一点，以为半径的与斜边相切于点，交于点，已知，则图中阴影部分的面积是         ．

 

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
先化简，再求值：，其中，

19.  本小题分
下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．

20.  本小题分
为迎接年第届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了：机器人；：航模；：科幻绘画；：信息学；：科技小制作等五项比赛活动每人限报一项，将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图．

根据统计图中的信息解答下列问题：
本次参加比赛的学生人数是______名；
把条形统计图补充完整；
求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角的度数；
在组最优秀的名同学名男生名女生和组最优秀的名同学名男生名女生中，各选名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是名男生名女生的概率．

21.  本小题分
如图，正方形中，是上的一点，连接，过点作，垂足为点，延长交于点，连接．
求证：．
若正方形边长是，，求的长．

22.  本小题分
某市为了提升菜篮子工程质量，计划用大、中型车辆共辆调拨不超过吨蔬菜和吨肉制品补充当地市场．已知一辆大型车可运蔬菜吨和肉制品吨；一辆中型车可运蔬菜吨和肉制品吨．
符合题意的运输方案有几种？请你帮助设计出来；
若一辆大型车的运费是元，一辆中型车的运费为元，试说明中哪种运输方案费用最低？最低费用是多少元？

23.  本小题分
如图，为的直径，为的一条弦，过点作直线，使．
求证：为的切线；
若，，，求的长．

24.  本小题分
我们定义：若点在一次函数图象上，点在反比例函数图象上，且满足点与点关于轴对称，则称二次函数为一次函数与反比例函数的“衍生函数”，点称为“基点”，点称为“靶点”．
若二次函数是一次函数与反比例函数的“衍生函数”，则______，______，______；
若一次函数和反比例函数的“衍生函数”的顶点在轴上，且“基点”的横坐标为，求“靶点”的坐标；
若一次函数和反比例函数的“衍生函数”经过点试说明一次函数图象上存在两个不同的“基点”；设一次函数图象上两个不同的“基点”的横坐标为、，求的取值范围．

25.  本小题分
如图，直线：与轴交于点，与轴交于点，点是线段上一动点以点为圆心，长为半径作交轴于另一点，交线段于点，连结并延长交于点．

求直线的函数表达式和的值；
如图，连结，当时，
求证：∽；
求点的坐标；
当点在线段上运动时，求的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是有理数，故A不符合题意；
B、，是有理数，故B不符合题意；
C、，是有理数，故C不符合题意；
D、是无理数，故D符合题意；
故选：．
根据无理数的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了无理数，算术平方根，立方根，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：万，
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，掌握形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：选项A、、均能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；
选项B不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；
故选：．
根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用幂的乘方运算法则、完全平方公式、二次根式的除法运算法则、整式的加减运算法则分别计算，进而得出答案．
此题主要考查了幂的乘方运算、完全平方公式、二次根式的除法运算、整式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：设所求正边形边数为，
则，
解得．
故选：．
根据边形的内角和为得到，然后解方程即可．
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
 

6.【答案】 

【解析】解：了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查，而不应采用全面调查，
故A错误；
圆的切线垂直于过切点的半径，而不是垂直于圆的任意一条半径，
故B错误；
根据角平分线的性质，角平分线上任意一点到角两边的距离相等，
故C正确；
“明天降雨概率”，指的是降雨的可能性是，而不是指明天有的时间在下雨，
故D错误，
故选：．
了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查，可判断A错误；圆的切线垂直于过切点的半径，而不是垂直于圆的任意一条半径，可判断B错误；角平分线上任意一点到角两边的距离相等，这是角平分线的性质，可判断C正确；“明天降雨概率”，指的是降雨的可能性是，可判断D错误，于是得到问题的答案．
此题重点考查随机事件的概率、切线的性质定理、角平分线的性质定理等知识，此题难度不大，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由作图可知：平分，
是等边三角形，边长为，
，，
由勾股定理得：．
故选：．
由作图可知：是的角平分线，根据等边三角形的性质可知：是高线和中线，由勾股定理可得结论．
此题主要考查了等边三角形的性质，角平分线的作图，勾股定理，正确识别是角平分线是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：红包金额为元的人数最多，有人，
众数是，
个数据从小到大排列，第、位置的数都为，
中位数为．
故选：．
根据众数和中位数的定义求解即可．
本题考查了众数和中位数，掌握众数和中位数的定义是关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意得出方程组是解决问题的关键．
设该店有客房间，房客人，根据“一房七客多七客，一房九客一房空”得出方程组即可．
【解答】
解：设该店有客房间，房客人，
根据题意得：
故选：．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
先用含、、、的代数式表示出阴影部分的长宽，再求阴影部分的周长之和即可．
本题主要考查了整式的加减，能用含、、、的代数式表示出阴影部分的长和宽是解决本题的关键．
【解答】
解：由图和已知可知：，，，．
阴影部分的周长为：


．
所以求图中阴影部分的周长之和，只需知道一个量即可．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
根据分式的分母不等于即可得出答案．
本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不等于是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
先提取公因式，再运用平方差公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

13.【答案】或或答案不唯一 

【解析】解：在和中，；
若两个三角形相似，可添加的条件为：
；；：：，即；
故答案为：或或答案不唯一．
利用相似三角形的判定方法可求解．
本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：把代入方程中，
得，
解得．
故答案为：．
把代入方程中，计算即可得出答案．
本题主要考查了一元二次方程的解，应用一元二次方程的解的定义进行求解是解决本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，交于点，

菱形的顶点在轴上，
，
点在反比例函数的图象上，
，
，
故答案为：．
连接，交于点，根据菱形的性质，，利用的的几何意义，得到，代入计算即可．
本题考查了菱形的性质，反比例函数的几何意义，熟练掌握菱形的性质，反比例函数的几何意义是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图：

在中，，，
，
，
是圆的切线，
与斜边相切于点，
，，
，
在中，，
．
与斜边相切于点，
，
，，
在中，
，
，

解得，
．
故答案为．
本题考查切线的性质、切线长定理以及勾股定理的运用．
首先利用勾股定理求出的长，再证明，进而由可求出的长度，利用含角的直角三角形的性质可求出的度数，则圆心角的度数可求出，在中利用勾股定理求出的长，最后利用扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】先化简各式，再从左向右的顺序依次计算，即可求解．
本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握算术平方根、零指数幂、特殊三角函数及负整数指数幂的运算法则．
 

18.【答案】解：原式
，
当时，原式． 

【解析】利用平方差公式、单项式乘多项式的运算法则把原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查的是整式的化简求值，掌握平方差公式、单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
 

19.【答案】解：选择方法一，证明如下：
根据题意，如图：

，

是的中点，
．
在与中，
，
≌．
，，
是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，． 

【解析】选择方法一：根据题意，先证明≌，然后证明四边形是平行四边形，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
 

20.【答案】解：本次参加比赛的学生人数为名；
故答案为：；
组人数为：名，把条形统计图补充完整如图：

扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角的度数为；
画树状图如图：

共有个等可能的结果，所选两名同学中恰好是名男生名女生的结果有个，
所选两名同学中恰好是名男生名女生的概率为． 

【解析】由组的人数及其所占百分比可得本次参加比赛的学生人数；
求出组人数，从而补全条形统计图；
由乘以组所占的百分比即可；
画出树状图，由概率公式求解即可．
本题考查了列表法或画树状图法、条形统计图和扇形统计图的有关知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
≌，
；
正方形边长是，
，
，
，
：：，
：：，
． 

【解析】根据证明≌，可得结论；
根据得：≌，则，最后利用勾股定理可得的长．
此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，本题证明≌是解本题的关键．
 

22.【答案】解：设安排辆大型车，则安排辆中型车，
依题意，得：，
解得：．
为整数，
，，．
符合题意的运输方案有种，方案：安排辆大型车，辆中型车；方案：安排辆大型车，辆中型车；方案：安排辆大型车，辆中型车．
方案所需费用为：元，
方案所需费用为：元，
方案所需费用为：元．
，
方案安排辆大型车，辆中型车所需费用最低，最低费用是元． 

【解析】

【分析】
本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
设安排辆大型车，则安排辆中型车，根据辆车调拨不超过吨蔬菜和吨肉制品补充当地市场，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数即可得出各运输方案；
根据总运费单辆车所需费用租车辆车可分别求出三种租车方案所需费用，比较后即可得出结论．  

23.【答案】证明：，，
，
为的直径，
，
，
为的切线；
解：连接，过作于，
为的直径，
，
，
，
，
，设，则，
，
，
，
解得或不合题意舍去，
． 

【解析】根据圆周角定理和切线的判定定理即可得到结论；
连接，过作于，根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到，求得，设，则，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】     

【解析】解：由定义可知，，，，
故答案为：，，；
由题意可知，“衍生函数”为，
顶点在轴上，
，
一次函数为，
“基点”的横坐标为，
，
点与点关于轴对称，
，
“靶点”的坐标；
证明：由题意可知“衍生函数”为，
经过点，
，
，
，
，
设“靶点”，则，
，
整理得，
，
方程有两个不同的实数根，
一次函数图象上存在两个不同的“基点”；
解：由可知，，
，，
，
，
，
．
由定义直接求解即可；
由题意先求出，则可求，再求点关于轴的对称点即可；
题意可知“衍生函数”为，将点代入可得，再由题意可求，设“靶点”，则，则，整理得，由，即可证明；
由可知，，根据根与系数的关系可得，，则，再由，即可求．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，将所求问题与所求函数问题相结合是解题的关键．
 

25.【答案】解：直线：与轴交于点，
，
，
直线的函数表达式，
，
，，
在中，；

如图，连接，，
，
，
，
，
四边形是的圆内接四边形，
，
，
，
∽，
过点于，
由知，，
设，则，
，，
，，
，
由知，∽，
，
，
，
，
，
舍或，
，，
，
如图，设的半径为，过点作于，
，，
，，
，
，
，
，
，
连接，
是直径，
，，
，
∽，
，
，
时，最大值为． 

【解析】利用待定系数法求出即可得出直线表达式，即可求出，，即可得出结论；
先判断出，进而得出，即可得出结论；
设出，，进而得出点坐标，即可得出的平方，再根据的相似得出比例式得出的平方，建立方程即可得出结论；
利用面积法求出，进而得出，，再构造相似三角形，即可得出结论．
此题是圆的综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．