2023年江西省鹰潭市余江县中考数学二模试卷（含解析）

2023年江西省鹰潭市余江县中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算：的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是化学实验室经常用到的玻璃漏斗，其俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  已知、是关于的方程的两根，下列结论中不一定正确的是(    )

A.  B.  C.  D. 方程必有一正根

4.  从地到地有驾车、公交、地铁三种出行方式，为了选择适合的出行方式，对：：时段这三种出行方式不同出发时刻所用时长
从地到地进行调查、记录与整理，数据如图所示．


根据统计图提供的信息，下列推断合理的是(    )

A. 若：出发，驾车是最快的出行方式
B. 地铁出行所用时长受出发时刻影响较小
C. 若选择公交出行且需要分钟以内到达，则：之前出发均可
D. 同一时刻出发，不同出行方式所用时长的差最长可达分钟

5.  如图，在正方形网格图中，以为位似中心，作的位似图形，若点是点的对应顶点，则点的对应顶点是(    )

A. 点
B. 点
C. 点
D. 点

6.  函数的图象如图所示，则选项中函数的图象正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7.  分解因式： ______ ．

8.  我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题，大意为：粮仓开仓收粮，有人送来米石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得粒内夹谷粒，则该人送来的这批米内夹谷约为______ 石

9.  如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为______ ．

10.  七巧板起源于我国先秦时期，古算书周碑算经中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，如图所示．世纪传到国外，被称为“唐图”意为“来自中国的拼图”，图是由边长为的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中抬起的“腿”即阴影部分的面积为______．

11.  我国古代算法统宗里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住人，那么有人无房可住；如果每一间客房住人，那么就空出一间客房设有间客房，可列方程为：______ ．

12.  如图，，点在上，且，是上的点，在上找点，以为边，，，为顶点作正方形，则的长为        ．

三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13.  本小题分
计算：；
解不等式组：．

14.  本小题分
矩形和矩形有公共顶点和，、相交于点，、相交于点求证：≌．

15.  本小题分
鹰潭高铁站开通后，从鹰潭北到南吕西站中间无其它站点，旅客在网购车票时，系统是随机分配座位的，王某和李某打算购买从鹰漂北到南吕丙的高铁车桌如图所示，一排中的座位编号为，，，，假设系统已将两人的位置分配到同一排后，在同一排分配各个座位的机会是均等的．
“系统分给这两个人，座位”是______ 事件填“必然”或“不可能”或“随机”；
若系统分给王某座后，再给李某座的概率是______ ；
利用画树形图或列表格，求系统分配给干某和李某相邻座位过道两侧座位，不算相邻的概率．

 

16.  本小题分
关于的一元二次方程有两个实数根．
求的取值范围；
若为正整数，求此时方程的根．

17.  本小题分
图，图都是由边长为的小等边三角形构成的网格，为格点三角形请仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图．
在图中，画出中边上的中线；
在图中，画出，使，且点是格点画出一个即可．
 

18.  本小题分
如图，是一辆小汽车与墙平行停放的实物图片，图是它的俯视图．汽车靠墙一侧与墙平行且距离为米，已知小汽车车门宽为米．参考数据：，，，，，

当车门打开角度为时，车门是否会碰到墙？请说明理由．
若车停在原地不动，靠墙一侧的车门能打开的最大角度约为多少？

19.  本小题分
如图，一次函数的图象分别交轴、轴于、两点，为的中点，轴于点，延长交反比例函数的图象于点，且，
求的值；
连、，求证：四边形是菱形．

20.  本小题分
如图，为外一点，线段交于点，，，的半径为，点在上．
当的面积最大时，求的长；
当与相切时，求的长．

21.  本小题分
某学校科技小组对甲、乙两幅作品从创新性、使用性两个方面进行量化评分得分为整数分，并把成绩制成不完整的条形统计图图和扇形统计图图．

若甲、乙两幅作品的总得分相等，请补充完整条形统计图；
若将甲、乙的两项量化成绩，按照扇形统计图各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，若甲作品的综合成绩高，求乙作品的使用性得分的最大值．

22.  本小题分
【课本再现】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值我们知道：如图，如，那么称点为线段的黄金分割点．
【问题发现】如图，请直接写出与的比值是______ ．
【尺规作黄金分割点】如图，在中，，，，在上截取，在上截取，求的值；
【问题解决】如图，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，点对应点，得折痕，试说明：是的黄金分割点．

 

23.  本小题分
如图，地面上两根等长立柱，之间悬挂一根近似成抛物线的绳子．

求绳子最低点离地面的距离；
因实际需要，在离为米的位置处用一根立柱撑起绳子如图，使左边抛物线的最低点距为米，离地面米，求的长；
将立柱的长度提升为米，通过调整的位置，使抛物线对应函数的二次项系数始终为，设离的距离为，抛物线的顶点离地面距离为，当时，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：

．
故选：．
直接利用有理数减法法则计算即可．
本题考查了有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即：．
 

2.【答案】 

【解析】解：该空心圆柱的俯视图为：

故选：．
根据从上边看到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查常见几何体的三视图，解题的关键是注意：可以看到的线用实线，看不到的线用虚线．
 

3.【答案】 

【解析】解：、根据根与系数的关系可得出，结论A正确，不符合题意；
B、根据根与系数的关系可得出，结论不一定正确，符合题意；
C、根据方程的系数结合根的判别式，可得出，由此即可得出，结论C正确，不符合题意；
D、由，结合判别式可得出方程必有一正根，结论D正确，不符合题意．
故选：．
根据一元二次方程根与系数的关系，求出，的值，分析后即可判断项，项是否符合题意；再结合判别式，分析后即可判断项，项是否符合题意．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据统计图可得，：出行，汽车用时分钟，公交车用时约分钟，地铁用时分钟，所以最快的出行方式是地铁，选项说法不正确，故A选项不符合题意；
B.根据统计图可得，地铁的出行时间受出发时刻影响比较小，所以选项说法正确，故B符合题意；
C.根据统计图可得，：出行，选择公交车所用时间为分钟，所以选项说法错误，故C不符合题意；
D.根据统计图可得，最大时长差出现在：，时长差为分钟，所以选项说法错误，
故D不符合题意．
故选：．
根据折线统计图中的信息进行判定即可得出答案．
本题主要考查了折线统计图，根据题目要求读懂折现统计图中的信息进行求解是解决本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意得：：：，
两个三角形的相似比为：，
，
点的对应顶点是点，
故选：．
根据题意求出相似比，结合图形解答即可．
本题考查的是位似变换，根据题意求出相似比是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由的图象可得，
，，，
函数，
该函数的图象开口向下，顶点坐标为，且该函数图象的顶点在第一象限，
故选：．
先根据的图象得到、、的正负情况，然后即可得到函数的图象的开口方向，顶点坐标，解顶点坐标所在的位置，从而可以判断哪个选项中的图象符合题意．
本题考查二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，求出、、的正负情况，利用二次函数的性质解答．
 

7.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：．
提公因式后再利用平方差公式即可．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
 

8.【答案】 

【解析】解：石．
即该人送来的这批米内夹谷约为石．
故答案为：．
用总数量乘以样本中夹谷粒数所占比例即可．
本题主要考查用样本估计总体，掌握用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，

，，
，
，
，
．
故答案为：．
由平行线的性质可得，再由邻补角的定义可求得，利用三角形的外角性质即可求．
要不是主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意，如图中，阴影部分的平行四边形的面积，
阴影部分的三角形的面积，
阴影部分的面积，
故答案为：．
分别求出阴影部分平行四边形，三角形的面积可得结论．
本题考查七巧板，正方形的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
故答案为：．
根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程组即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程组，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
 

12.【答案】或或 

【解析】解：如图，正方形以为对角线，且点在点的左侧，
，，，
，
，
；
当正方形以为对角线，且点在点的右侧时，；
如图，正方形以为对角线，且点在点的左侧，
，，
，
，
，
，
解得；
如图，正方形以为对角线，且点在点的右侧，
，，
，
解得，
综上所述，的长为或或，
故答案为：或或．
分三种情况，一是正方形以为对角线，则，所以，此时点在点的左侧或右侧，的长相同；二是正方形以为对角线，且点在点的左侧，则，所以，则；三是正方形以为对角线，且点在点的右侧，则，所以．
此题重点考查正方形的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，依据正方形的对角线的不同和点的位置的不同，正确地进行分类是解题的关键．
 

13.【答案】解：


；
，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：． 

【解析】先计算乘除法和负整数指数幂，再算加减，即可解答；
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，解一元一次不等式组，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

14.【答案】证明：四边形与四边形都是矩形，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形与四边形都是矩形，
，，，
，，
，
在与中，
，
≌． 

【解析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，通过推理得出是解题的关键．
先证得四边形是平行四边形，然后利用即可证明≌．
 

15.【答案】不可能  

【解析】解：“分给这两个同学，座位”是不可能事件；
若分给王某座后，再给李某座的概率是；
故答案为：随机，
；
根据题意画树状图如下：

由树状图可知，共有种等情况数，其中相邻座位的情况数有种，
则系统分配给王某和李某相邻座位过道两侧座位，不算相邻的概率是．
根据随机事件的定义即可得出答案；
根据概率公式即可得出答案；
根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

16.【答案】解：，
依题意，得
解得且；
为正整数，
，
原方程为．
解得，． 

【解析】由方程有两个相等的实数根得，可得关于的不等式，解之可得的范围，结合一元二次方程的定义可得答案；
由知，得出方程，再用因式分解法求解可得．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图所示，线段即为所求．
如图所示，点即为所求． 

【解析】根据三角形中线的定义即可得到结论；
根据圆周角定理即可得到结论．
本题考查作图应用与设计、等边三角形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

18.【答案】解：过点作，垂足为点，

在中，
，米，
米，
汽车靠墙一侧与墙平行且距离为米，
车门不会碰到墙．
当靠墙一侧的车门能打开的最大角度时，米，
，
．
答：靠墙一侧的车门能打开的最大角度约为． 

【解析】过点作，垂足为点，解三角形求出的长度，进而作出比较即可；
当靠墙一侧的车门能打开的最大角度时，米，根据正弦定义可得答案．
本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确添加辅助线，此题难度不大．
 

19.【答案】解：，为中点，
，

，
，
，
≌
，
令一次函数中的，得到，令，得到，
即点坐标，点坐标，即，，
易知，又，
，
所以点的坐标，
代入反比例解析式得；

证明：由≌，得，
又，
四边形为平行四边形，
又，
四边形为菱形． 

【解析】由，得到三角形为直角三角形，又为斜边的一半，得到与相等，由与垂直，根据“三线合一”得到为中点，又根据与平行，得到一对内错角相等，再加上一对直角相等，利用“”得到三角形与三角形全等，从而得到与相等，然后令直线解析式得和分别求出对应的和的值，确定出与的坐标，进而得到与的长，从而求出与的长，写出点的坐标，把的坐标代入到反比例解析式中即可求出的值；
由中证出的三角形与三角形全等，得到与相等，与相等，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形得到为平行四边形，再由得到的，根据邻边相等的平行四边形为菱形即可得证．
此题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质以及菱形的判定，是一道反比例的综合题．要求学生掌握平行线的性质，直角三角形、等腰三角形的性质及反比例函数的图象与性质，会利用待定系数法求函数的解析式，熟练运用所学知识，借助图形选择合适的方法，培养了学生分析问题，解决问题的能力．
 

20.【答案】解：如图，

作于，交于，连接，此时的面积最大，
，
，
，
；
如图，

作直径，连接，
，
，
，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
． 

【解析】作于，交于，连接，此时的面积最大，在中求出，进而在中求得结果；
作直径，连接，可证得，进而得出∽，从而得出，进一步得出结果．
本题考查了切线的性质，勾股定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
 

21.【答案】解：乙作品的使用性得分为：，
补充完整条形统计图如下：

设乙作品的使用性得分为，依据题意得，
，
，
因为是整数，所以最大值为．
答：甲作品的综合成绩高，则乙作品的使用性得分的最大值为． 

【解析】根据甲、乙两幅作品的总得分相等列式计算解答即可；
根据扇形统计图可知创新性占，使用性占，再根据题意列不等式解答即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图，理解和掌握两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提．
 

22.【答案】 

【解析】解：点为线段的黄金分割点，

故答案为：；
，，，
，
，
，
，
故答案为：；
如图，设与交于点，作于，

，且为的中点，
，
平分，，，
，
设，
，
，
，
，
解得，
经检验是原方程的解，

，
故点为的黄金分割点．
根据黄金分割的比例关系得出与的比值即可；
先由勾股定理求出，再由，得，即可求解；
设，根据，解方程得出，进而求出即可得出比例关系证明结论．
本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

23.【答案】解：，
抛物线顶点为最低点，
，
绳子最低点离地面的距离为：米；

由可知，对称轴为，则，
令得，
，，
由题意可得：抛物线的顶点坐标为：，
设的解析式为：，
将代入得：，
解得：，
抛物线为：，
当时，，
的长度为：米；

，
根据抛物线的对称性可知抛物线的顶点在的垂直平分线上，
的顶点横坐标为：，
设抛物线的顶点坐标为：，
抛物线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
，
是关于的二次函数，
又由已知，在对称轴的左侧，
随的增大而增大，
当时，，
解得：，不符合题意，舍去，
当时，，
解得：，不符合题意，舍去，
的取值范围是：． 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次函数的应用以及顶点式求二次函数解析式等知识，正确表示出函数解析式是解题关键．
直接利用配方法求出二次函数最值得出答案；
利用顶点式求出抛物线的解析式，进而得出时，的值，进而得出的长；
根据题意得出抛物线的解析式，得出的值，进而得出的取值范围．