2023年广东省江门市重点学校中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省江门市重点学校中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A. 笛卡尔心形线 B. 阿基米德螺旋线
C. 科克曲线 D. 赵爽弦图

4.  把抛物线向左平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的解析式为(    )

A.  B.
C.  D.

5.  中国华为麒麟处理器是采用纳米制程工艺的手机芯片，在的尺寸上塞进了亿个晶体管，是世界上最先进的具有人工智能的手机处理，亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在中，，，直线，顶点在直线上，直线交于点，交于点，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，在中，是边上的点，，：：，则与的面积比是(    )

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

8.  如图，，在上，是直径，，则(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，点，，若反比例函数经过点，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，四边形是边长为的正方形，四边形是边长为的正方形，点与点重合，点，，在同一条直线上，将正方形沿方向平移至点与点重合时停止，设点、之间的距离为，正方形与正方形重叠部分的面积为，则能大致反映与之间函数关系的图象是(    )
 

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  分解因式        ．

12.  在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是          ．

13.  若分式有意义，则的取值范围是          ．

14.  如图，四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，将它沿向上折叠，若点落在点处，，，则等于______ ．

15.  如图是二次函数是常数，图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是直线，对于下列说法：；；；为实数；当时，，其中正确的有______ 填序号．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

17.  本小题分
如图，中，，．
利用尺规作图在边上找一点，使得保留作图痕迹，不要求写作法和证明；
在的条件下，连接，若，求的长．

18.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．
求一次函数的解析式；
求的面积．

19.  本小题分
自我省深化课程改革以来，铁岭市某校开设了：利用影长求物体高度，制作视力表，设计遮阳棚，制作中心对称图形，四类数学实践活动课规定每名学生必选且只能选修一类实践活动课，学校对学生选修实践活动课的情况进行抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据图中信息解决下列问题：
本次共调查______ 名学生，扇形统计图中所对应的扇形的圆心角为______ 度；
补全条形统计图；
选修类数学实践活动的学生中有名女生和名男生表现出色，现从人中随机抽取人做校报设计，请用列表或画树状图法求所抽取的两人恰好是名女生和名男生的概率．

20.  本小题分
近日，教育部印发义务教育课程方案和课程标准年版，将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动据了解，市场上每捆种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用元在市场上购买的种菜苗比在菜苗基地购买的少捆．
求菜苗基地每捆种菜苗的价格；
菜苗基地每捆种菜苗的价格是元，学校决定在菜苗基地购买，两种菜苗共捆，所花的费用不超过元，求在菜苗基地购买种菜苗至少多少捆．

21.  本小题分
如图，在▱中，为边的中点，连接并延长，交的延长线于点，延长至点，使，分别连接，，．

求证：≌；
当平分时，四边形是什么特殊四边形？请说明理由．

22.  本小题分
如图，是的直径，弦，垂足为，为上一点，过点作的切线，分别交，的延长线于点，连接，交于点．

求证：；
连接，若，，，求的长．

23.  本小题分
如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，并与轴交于点，点是对称轴与轴的交点．
求抛物线的解析式；
如图所示，是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接，，求的面积的最大值；
如图所示，在对称轴的右侧作交抛物线于点，求出点的坐标；并探究：在轴上是否存在点，使？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
一个数在数轴上对应的点到原点的距离即为这个数的绝对值，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是，据此即可求得答案．
本题考查绝对值的定义及绝对值的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故A符合题意；
B、与不属于同类二次根式，不能运算，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用去绝对值的法则，负整数指数幂的法则，二次根式的加法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查积的乘方，实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

3.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：抛物线向左平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的解析式为：．
故选：．
根据二次函数图象平移的方法即可得出结论．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，且，
，
在中，
，
，
，
，

故选：．
先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可得，由三角形外角的性质可得的度数，由平行线的性质可得同位角相等，可得结论．
本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的内角和外角和性质，题目比较基础，熟练掌握性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
∽，
，
故选：．
根据相似三角形的周长之比等于相似比可以解答本题．
本题考查相似三角形的性质，解答本题的关键是明确相似三角形的面积之比等于相似比的平方．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接，

，
，
为的直径，
，
，
故选：．
连接，先利用同弧所对的圆周角相等求出，再根据直径所对的圆周角是直角求出，最后利用直角三角形两锐角互余进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，

菱形的边在轴上，点，
，
．
，

点坐标
若反比例函数经过点，
，
故选：．
由菱形的性质和锐角三角函数可求点，将点坐标代入解析式可求的值．
本题考查了反比例函数性质，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，锐角三角函数，关键是求出点坐标．
 

10.【答案】 

【解析】解：，正方形与正方形重叠部分的面积为
；
；


综上可知，图象是
故选：．
图：







正方形与正方形重叠部分主要分为个部分，是个分段函数，分别对应三种情况中的对应函数求出来即可得到正确答案．
解决有关动点问题的函数图象类习题时，关键是要根据条件找到所给的两个变量之间的函数关系，尤其是在几何问题中，更要注意基本性质的掌握和灵活运用．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
原式提取公因式即可得到结果．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：点关于原点对称的点的坐标是：．
故答案为：．
直接利用关于原点对称点的性质得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确把握对应点横纵坐标的关系是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
根据分式有意义的条件可知，再解不等式即可．
【解答】
解：由题意得：，
解得：．
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：，，
是等边三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
由翻折可知：，
．
故答案为：．
根据已知条件可得是等边三角形，是等腰直角三角形，再由翻折的性质即可解决问题．
本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握折叠的性质．
 

15.【答案】 

【解析】解：顶点在轴的上方，
，即，故正确；

对称轴，
；故正确；

，
，
当时，，
，故错误；

根据图示知，当时，有最大值；
当时，有，
所以为实数．
故正确；

如图，当时，不只是大于．
故错误．
故答案为：．
由抛物线的开口方向判断与的关系，然后根据对称轴判定与的关系以及；当时，；然后由图象确定当取何值时，．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握二次项系数决定抛物线的开口方向，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右．简称：左同右异常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于．
 

16.【答案】解：原式

，
当时，
原式
． 

【解析】先通分算括号内的，把除化为乘，化简后将的值代入计算即可．
本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，把所求式子化简．
 

17.【答案】解：作线段的垂直平分线，交于，
则答案不唯一；
，，
，
，
，
，
，
． 

【解析】根据题意作出图形即可；
根据三角形的内角和定理得到，根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了作图基本作图，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，正确地作出图形是解题的关键．
 

18.【答案】解：把，两点坐标代入可得，，
，，
一次函数的图象经过点、，
，
解得，
一次函数的解析式为．
设直线与轴的交点为，
把代入，解得，
，
． 

【解析】首先求出、两点坐标，再利用待定系数法即可解决问题；
求得直线与轴的交点，然后根据求得即可．
本题考查一次函数与反比例函数的交点、待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用图象解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】   

【解析】解：本次调查的学生人数为名，
则扇形统计图中所对应的扇形的圆心角为．
故答案为：，．
类别人数为人，则类别人数为人，
补全条形图如下：

画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中所抽取的两人恰好是名女生和名男生的结果数为，
所以所抽取的两人恰好是名女生和名男生的概率为．
用类别人数除以其所占百分比可得总人数，用乘以类别人数占总人数的比例即可得；
总人数乘以类别的百分比求得其人数，用总人数减去，，的人数求得类别的人数，据此补全图形即可；
画树状图展示种等可能的结果数，再找出所抽取的两人恰好是名女生和名男生的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
 

20.【答案】解：设菜苗基地每捆种菜苗的价格是元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：菜苗基地每捆种菜苗的价格是元；
设购买种菜苗捆，则购买种菜苗捆，
，
，
，
最小是，
答：菜苗基地购买种菜苗至少捆． 

【解析】设菜苗基地每捆种菜苗的价格是元，根据用元在市场上购买的种菜苗比在菜苗基地购买的少捆，列方程可得菜苗基地每捆种菜苗的价格是元；
设购买种菜苗捆，则购买种菜苗捆，由本次购买花费不超过元得：解即可得答案．
本题考查分式方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
为边的中点，
，
在和中，
，
≌．
解：四边形是矩形，理由如下：
≌，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
四边形是矩形． 

【解析】由，得，由为边的中点，，而，即可证明≌；
由≌，得，，而，则，因为，所以四边形是平行四边形，再证明，则，因为，所以，则，所以四边形是矩形．
此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、矩形的判定等知识，证明是解第题的关键．
 

22.【答案】证明：证明：连接，
是圆的切线，
．
．
．
，
．
．
，
．
．
，
．
．

解：连接，设圆的半径为，
直径于，，
．
，
．
．
．
．
．
在中，
，
．
．
，，
．
．
．
． 

【解析】连接，要使，需要，通过切线和垂直的已知条件，利用等角的余角相等可得，结论可得．
设圆的半径为，在中，利用勾股定理可以求得半径，通过说明，得到，利用直角三角形的边角关系可求．
本题主要考查了圆的切线的性质，勾股定理，垂径定理，解直角三角形的知识．使用添加圆中常添加的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】解：抛物线顶点坐标为，
可设抛物线解析式为，
将代入可得，
；

连接，


由题意，，，
设，
，
，
，
，


，
当时，的最大值为；

存在，设点的坐标为，
过作对称轴的垂线，垂足为，

则，，
，
，
在中，
，
，
或舍
，
，，
连接，
在中，，
，
，，
以为圆心，为半径的圆与轴的交点为点，
此时，，
设，为圆的半径，
则，
，
，
或，
综上所述：点坐标为或 

【解析】本题考查一次函数与二次函数的综合题，涉及到待定系数法解二次函数解析式，三角形面积，二次函数的最值，勾股定理等知识点，熟练掌握二次函数的图象及性质，能够利用直角三角形和圆的知识综合解题是关键．
由题意可设抛物线解析式为，将代入可得，则可求解析式；
连接，设，分别求出，，，利用整理结果，结合二次函数的最值可得结论；
设点的坐标为，过作对称轴的垂线，垂足为，得出，，在中，求出，即可进一步求出的坐标，得出，，连接，在中，，，以为圆心，为半径的圆与轴的交点为点，此时，，设，为圆的半径，，求出，即可求点．