山西省大同市2024届高三上学期学情调研测试数学试卷（含答案）

山西省大同市2024届高三上学期学情调研测试数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知集合，，则(   )

A. B. C. D.

2、已知复数z满足，则(   )

A. B.3 C.5 D.

3、在2022年北京冬奥会期间，从2名男志愿者和3名女志愿者中任选2名志愿者去支援冰壶比赛的志愿者工作，若选出的2名中至少有1名男志愿者，则不同的选法有(   )
A.3种 B.7种 C.10种 D.12种

4、分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照如图1的分形规律可得如图2的一个树形图.记图2中第n行黑龱的个数为，白图的个数为，若，则(   )

 图一 图二

A.34 B.35 C.88 D.89

5、若函数在点处的切线斜率为1，其中，，则ab最大值为(   )

A. B. C. D.

6、已知圆雉的底面半径为1，母线长为3，该圆锥内半径最大的球的体积为(   )

A. B. C. D.

7、某校1500名学生参加交通安全知识竞赛，随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是(   )

A.频率分布直方图中a的值为0.0045
B.估计这100名学生竞赛成绩的第60百分位数为80
C.估计这100名学生竞赛成绩的众数为80
D.估计总体中成绩落在内的学生人数为500

8、已知函数的定义域为R，与都是偶函数，并且当时，，若关于x的方桯至少有8个实数解，则实数m的取值范围是(   )

A.  B.

C.  D.

二、多项选择题

9、已知函数，则下列说法正确的是(   )

A.函数的一条对称轴是

B.函数的最大值是

C.阧数在区间单调递增

D.函数的图像可由的图像向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到

10、设O为的外心，，，的角平分线AM交BC于点M，则(   )

A. B.

C.  D.

11、已知抛物线的焦点为F，其准线与x轴相交于点M，经过点M且斜穿为k的直线l与抛物线相交于点，两点，则下列结论中正确的是(   )

A.

B.

C.k的取值范围是

D.时，以AB为直径的圆经过点F

12、如图，正方体的校长为2，线段上有两个动点E，F，且，以下结论正确的有(   )

A.

B.

C.正方体的体积是三棱锥的体积的12倍

D.异面直线AE，BF所成的角为定值

三、填空题

13、已知，则_______.

14、的展开式中的系数为________.(用数字作答).

15、一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动8次，移动后，事件“质点位于原点O”的概率为________，事件“质点位于4的位置”的概率为_______.

16、已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作直线l交椭圆C于M，N两点，若，，则椭圆C的离心率为______.

四、解答题

17、从①；

②的外接圆的半径为且，这两个条件中选择一个，补充在下面问题中，并解答.

已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，________.

（1）求角B

（2）若，求的面积.

18、已知数列中，，是公差为的等差数列.

（1）求的通项公式；

（2）若，为数列的前n项和，证明：.

19、如图所示，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，，，E为PC上的一点

（1）求证：

（2）若E为PC的中点，求CD与平面AED所成角的正弦值.

20、食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在进某种蔬菜前，食品安检部门要求对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，该种蔬菜才能在该超市销售.已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，第三轮检测不合格的概率为，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测互不影响.
（1）求每箱这种蔬菜能在该超市销售的概率；
（2）若这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利100元，若不能在该超市销售，则每箱亏损50元，现有3箱这种蔬菜，设这3箱蔬菜的总收益为X元，求X的分布列和数学期望.

21、从双曲线上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点，点，分别是双曲线的左、右顶点，点，且，.

（1）求双曲线的方程；

（2）过点作直线L分别交双曲线左右两支于C，D两点，直线与直线交于点M，证明：点M在定直线上.

22、已知函数，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若存在，便得成立，求a的取值范围.

参考答案

1、答案：D

解析：不等式的解集为，又，所以，故选D.

2、答案：D

解析：由解得，故，故选D.

3、答案：B

解析：从2名男志愿者和3名女志愿者中任选2名参加支援，共有种选法，全是女志愿者的选法共有种，所以至少有1名男志愿者的选法共有种.故选B.

4、答案：D

解析：由题可知，每个白圈在下一行产生一个白圈一个黑圈，一个黑圈在下一行产生一个白圈两个黑圈，所以有，，又因为，，所以，，，，，，，，，，，，故选D.

5、答案：D

解析：因为，故在处的切线斜率表示为，所以，因为，，所以由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，故ab的最大值为，故选D.

6、答案：B

解析：

如图为圆锥及圆锥内半径最大球的轴截面图，球心为O，设球半径为r，则，，则，所以，，由等面积法可得，所以该圆锥内半径最大的球的体积为.故选B.

7、答案：B

解析：由可得，故A错误；

前三个矩形的面积和为，所以这100名学生竞赛成绩的第60百分位数为80，故B正确；这100名学生竞赛成绩的众数为75，故C错误；总体中成绩落在内的学生人数为，故D错误.故选B.

8、答案：C

解析：

时，

时，

因为是偶函数，所以关于对称，又因为也是偶函数，所以，所以关于对称，所以的周期为4，因为关于对称，如图所示，图像在右侧至少有四个交点，当时，只需，即；同理，当时，有，即，当时，显然成立.

9、答案：ABC

解析：由题知，，对于A，，所以函数的一条对称轴为，故A正确；对于B，，当时，函数取最大值为，故B正确；对于C，，单调增区间应满足，解得，，所以单调增区间为，，因为，所以函数在区间单调递增，故C正确；对于D，的图像向左平移个单位长度，得，再向下平移个单位长度得到，故D错误.故选ABC.

10、答案：AC

解析：因为，，AM为的角平分线，所以，则，因为O为的外心，所以，所以.故选AC.

11、答案：AD

解析：依题意得，直线l的方程为，联立得，消去y得，因为直线l与抛物线相交，，两点，所以，解得且，故C错误；因为，所以，易知，，同号，所以，于是A正确；B错误；由于，，所以，，显然当时，，此时为直角，即以AB为直径的圆经过点F，故D正确.故选AD.

12、答案：ABC

解析：

对于A，易知，，所以，A正确；

对于B建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，所以，，即，，因为，，平面，所以平面，又平面，所以，B正确；

对于C，连接BD，AC，交于点O，则，因为平面ABCD，平面ABCD，所以，又，BD，平面，所以平面，所以，又，所以正方体的体积是三棱锥的体积的12倍，C正确；

对于D，当点E在处，F为的中点时，异面直线AE，BF所成的角是，当E在的中点时，F在的位置，异面直线AE，BF所成的角是，显然两个角不相等，所以D错误.故选ABC.

13、答案：

解析：

14、答案：-14

解析：的展开式中的系数为，的系数为，因此的展开式中的系数为.

15、答案：，

解析：，.

16、答案：

解析：因为，，所以，且，延长并延长交椭圆于点Q，则由对称性可设，，，，因为，所以.则由，，，所以，在中，由可得离心率.

17、答案：（1）

（2）

解析：（1）选①：因为，在中，将正弦定理代入化简可得：，即，即，在中，由余弦定理可得：，因为，所以；

选②：因为的外接圆的半径为且，在中，由正弦定理可得：，解得，因为，所以，所以.

（2）由（1）知，，，在中，由余弦定理可得：，解得，所以.

18、答案：（1）

（2）证明见解析

解析：（1）因为，所以，又是公差为的等差数列，所以，所以.

（2）因为，所以因为，所以，得证.

19、答案：（1）证明见解析

（2）

解析：（1）

因为，，所以可解得，，又因为，所以，所以，因为平面ABCD，所以，所以平面PAC，所以.

（2）

以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，，，，则，，，设平面AED的法向量为，由，，令，可得平面AED的一个法向量为，设CD与平面AED所成角为，则，所以CD与平面AED所成角的正弦值为.

20、答案：（1）

（2）分布列见解析，期望为30.

解析：（1）设每箱这种蔬菜能在该超市销售为事件A，则，即每箱这种蔬菜能在该超市销售的概率为.

（2）X的所有可能取值为300，150，0，-150.

因为，，，.

所以X的分布列为

.

21、答案：（1）

（2）证明见解析

解析：（1）有题意可知，，因为，所以，即，所以，因为，所以，所以，，，所以双曲线的方程为.

（2）设，，直线，联立可得，，由可得或，所以，，直线①，直线②，③，由①②可得，把③代入上式化简可得，解得，所以点M在定直线上.

22、答案：（1）见解析

（2）

解析：（1）函数的定义域为，且，①当时，恒成立，在上单调递增；②当时，令得，当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在单调递增.

（2）的定义域为，由，整理得，即存在使成立，令，则，因为，所以，令，则，因为，所以，若，即时，在上恒成立，所以在上单调递增，只需，得，若，即时，在[1，e]上恒成立，所以在上单调递减，只需，不成立，若，即时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以在上的极小值为，只需，即，而当时，，所以不成立.

综上a的取值范围为.