高中数学竞赛专题大全竞赛专题3三角函数50题竞赛真题强化训练含解析

这是一份高中数学竞赛专题大全竞赛专题3三角函数50题竞赛真题强化训练含解析，共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
竞赛专题3 三角函数（50题竞赛真题强化训练）一、单选题1．（2018·吉林·高三竞赛）已知，则对任意，下列说法中错误的是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【详解】由得，所以该式不一定成立，sinx有可能是负数，所以选项A错误；.所以选项B正确；=表示单位圆上的点和（-2,0）所在直线的斜率的绝对值，数形结合观察得到，所以选项C正确；，所以选项D正确.故答案为A2．（2018·四川·高三竞赛）函数的最大值为（       ）.A． B．1 C． D．【答案】B【解析】【详解】因为，令，则，于是令，则.由知或1.因为，于是的最小值是，所以的最大值是.故答案为:B3．（2019·全国·高三竞赛）函数的值域为（       ）（表示不超过实数的最大整数）.A． B．C． D．【答案】D【解析】【详解】..下面的讨论均视.（1）当时，；（2）当时，；（3）当时，；（4）当或时，；（5）当时，；（6）当时，；（7）当时，.综上，.故答案为D4．（2010·四川·高三竞赛）已知条件和条件．则是的（       ）．A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【详解】因，所以，是的充要条件．5．（2018·全国·高三竞赛）在中，，，则的取值范围是（       ）.A． B．C． D．【答案】C【解析】【详解】由条件有.利用辅助角公式有，所以，或者或者,即或者或者,亦即中有一个为.若,则，所以，只能，此时，,矛盾；若，则,所以，只能，从而，，亦矛盾. 选C.二、填空题6．（2018·江西·高三竞赛）若三个角、、成等差数列，公差为，则______．【答案】       【解析】【详解】根据，，则，．所以，，．则．故答案为-37．（2018·广东·高三竞赛）已知△ABC的三个角A、B、C成等差数列，对应的三边为a、b、c，且a、c、成等比数列，则___________.【答案】【解析】【详解】因为A、B、C成等差数列，，，因此.又因为a、c、成等比数列，所以，.由正弦定理，整理得，，.所以，，，.故，所以.故答案为8．（2019·全国·高三竞赛）设锐角、满足，且，则__________．【答案】【解析】【详解】由已知等式得，.但锐角，故.故答案为9．（2021·全国·高三竞赛）函数的最小正周期为____________．【答案】【解析】【详解】解析：当时，，当时，，其中且，画出图象可得函数周期为．故答案为：.10．（2021·浙江金华第一中学高三竞赛）设为定义在上的函数．若正整数满足，则的所有可能值之和为______．【答案】12121【解析】【详解】,,考虑的周期为4,分四种情况考虑(1)当(为正整数)时,,所以;(2)当时，,无正整数解;(3)当时，,无正整数解;(4)当时，,此时，综上,或,故答案为：12121.11．（2021·全国·高三竞赛）在中，，则的值为__________．【答案】7【解析】【详解】解析：记中A、B、C所对的边分别是a、b、c， 如图，设内切圆的半径为，则，，，故，故，即，故答案为：712．（2021·全国·高三竞赛）已知满足，则的最小值是_______．【答案】16【解析】【详解】解析：．令，则．当时，，所以，故．故答案为：1613．（2020·浙江·高三竞赛）已知，则的最大值为___________.【答案】.【解析】【详解】，同理，故，而，因为，故.当且仅当时，各等号成立，故答案为：.14．（2021·全国·高三竞赛）已知三角形的三个边长成等比数列，并且满足.则的取值范围为___________.【答案】【解析】【详解】由条件，结合余弦定理，则有，从而，而是最大角，从而.故答案为：.15．（2021·全国·高三竞赛）设，且，则实数m的取值范是___________.【答案】【解析】【详解】解析：.令，则，且，于是，为然m是上的减函数，所以，即.故答案为：.16．（2021·浙江·高三竞赛）在中，，.若动点，分别在，边上，且直线把的面积等分，则线段的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】【详解】如图所示，设,所以,所以,由余弦定理可得,,易得,所以,所以,则的取值范围为.故答案为：.17．（2021·浙江·高三竞赛）若，则函数的最小值为______.【答案】【解析】【分析】【详解】令，,当且仅当即时取等号.故答案为：.18．（2021·全国·高三竞赛）已知等腰直角的三个顶点分别在等腰直角的三条边上，记、的面积分别为、，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】【详解】（1）当的直角顶点在的斜边上，如图1所示，则P，C、Q，R四点共圆，，所以．在、中分别应用正弦定理得．又，故，即R为的中点．过R作于H，则，所以，此时的最小值为．（2）当的直角顶点在的直角边上，如图2所示．设，则．在中，，在中，，由正弦定理，，因此．这样，，当且仅当时取等号，此时的最小值为．故答案为：.19．（2021·全国·高三竞赛）满足方程的实数x构成的集合的元素个数为________．【答案】14【解析】【分析】【详解】将方程变形为，．两边同乘，运用积化和差和正弦的倍角公式，得：，即，故或，即或．又因为在方程两边同时乘时，所以引入了增根（代入原方程检验可得）．再结合，得所求结果为14．故答案为：14.20．（2021·全国·高三竞赛）设的三内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若，则值为_________．【答案】1【解析】【分析】【详解】．故答案为：1.21．（2021·全国·高三竞赛）中，A、B、C的对边分别为a、b、c，O是的外心，点P满足，若，且，则的面积为_________．【答案】【解析】【分析】【详解】由，得，即．注意到，所以．同理，，所以P是的垂心，，所以，，所以．故答案为：.22．（2021·全国·高三竞赛）设的三个内角分别为A、B、C，并且成等比数列，成等差数列，则B为____________.【答案】【解析】【分析】【详解】依题意，，前一式积化和差可得，后一式和差化积可得，所以，联立两式得或3（舍去），所以.故答案为：.23．（2021·全国·高三竞赛）如果三个正实数满足，，，则_________.【答案】【解析】【分析】【详解】易知三个等式可化为构造，其中.设为内一点，使得.因，则，所以.故答案为：.24．（2021·全国·高三竞赛）设，则_________．【答案】【解析】【分析】【详解】因为，所以：．令：，①，②①+②得：：，所以，即．又，则．故答案为：.25．（2021·全国·高三竞赛）已知，则的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】【详解】设，易得，即.由于，所以，解得.故答案为：.26．（2020·全国·高三竞赛）在中，，边上的中线长为，则的值为_______．【答案】．【解析】【分析】由中线长公式计算出的长度，然后运用余弦定理计算出的值，化简后即可求出结果.【详解】记M为的中点，由中线长公式得，可．由余弦定理得，所以．故答案为：【点睛】关键点点睛：解答本题关键是能够熟练运用中线长公式、余弦定理、倍角公式等进行计算，考查综合能力.27．（2019·江苏·高三竞赛）已知函数的最小值为－6，则实数a的值为________ .【答案】【解析】【详解】令，则，∴，∴，当，时，函数的最小值为：，解得：，不合题意，舍去；当，时，函数的最小值为：，解得：，不合题意，舍去；当，时，函数的最小值为：，解得：，满足题意.故答案为：．28．（2019·福建·高三竞赛）在△ABC中，若，AB=2，且，则BC=____________ .【答案】【解析】【详解】由，得，即，所以.结合，得.所以由余弦定理，得：所以.故答案为：．29．（2018·全国·高三竞赛）设是的三个内角.若,其中,,且,则______.【答案】【解析】【详解】因为,所以,为锐角,.又,则.于是.若为钝角,则为锐角.又为锐角,则矛盾.从而,为锐角,且.故,则30．（2018·全国·高三竞赛）在中，已知、、分别是、、的对边．若，，则______．【答案】【解析】【详解】由题设及余弦定理知或．而（舍去）．因此，．31．（2018·全国·高三竞赛）若对任意的，只要，就有，则正数的取值范围是______.【答案】【解析】【详解】设的三边长分别为、、.则①.若，则；若，令.当，时，，式①不成立.综上，.32．（2018·全国·高三竞赛）在锐角中，的取值范围是______.【答案】【解析】【详解】由，.则，故. 所以取值范围是.33．（2019·全国·高三竞赛）已知单位圆上三个点，，满足 .则__________.【答案】【解析】【详解】设，，，，.由题设知的外心、重心、垂心重合，其为正三角形.故，.故答案为34．（2021·全国·高三竞赛）在中，，则的最大值为_______________．【答案】【解析】【分析】【详解】令，则，即．因为，所以，整理得，，化简得，于是，得，所以的最大值为．故答案为：.35．（2021·全国·高三竞赛）已知正整数，且，设正实数满足，则的最小值为_______．【答案】【解析】【分析】【详解】令．由题设可得，于是：，，……，将上述各式利用均值不等式得：，，……，再把上述个不等式相乘，得，即．由于，故，当且仅当时上式等号成立．故答案为：.36．（2021·全国·高三竞赛）设锐角的三个内角，满足，则的最小值为_______．【答案】【解析】【分析】【详解】由题设可知，，则．又由及得，即，则，                                 ①由，①式两边同时除以，可得．设，则，由知，，则．于是有，故，从而有．又，得，而．所以．故．．因为，于是求的最小值转化为求函数的最小值．考虑函数，即在上单调递增，从而．因此的最小值在时取得，为．由得，，从而，故当，时，取得最小值．故答案为：.37．（2019·贵州·高三竞赛）在△ABC中，.则____________ .【答案】【解析】【详解】设△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c.由，知G为△ABC的重心.又GA⊥GB，所以.得到.故：.故答案为：．38．（2019·江西·高三竞赛）△ABC的三个内角A、B、C满足：A=3B=9C，则____________ .【答案】【解析】【详解】设，由得，所以.注意括号中的诸角度构成公差为的等差数列，两边同乘，得到.所以，.故答案为：．三、解答题39．（2021·全国·高三竞赛）在中，三内角A、B、C满足，求的最小值．【答案】【解析】【分析】【详解】由，得：，所以．由正余弦定理，得，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为．40．（2021·全国·高三竞赛）解关于实数x的方程：（这里为不超过实数x的最大整数）【答案】【解析】【分析】【详解】（1）当时，，此时原方程无解．（2）当时，有．（3）当时，令，则，故在上递增．有，即于是，此时，即，矛盾．故无解．（4）当时，注意到，且由，知．则，与，矛盾．故此时无解．由（1）（2）（3）（4），知原方程的解集为．41．（2021·全国·高三竞赛）已知点，其中，且坐标原点O恰好为的重心，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】三角形面积为定值．【解析】【分析】【详解】先证明一个引理：若，则．因为，所以，所以，所以：回到原题，连结、、，则：．由三角形的重心为原点得即所以两式平方相加可得，所以，同理，所以，故三角形面积为定值．42．（2019·上海·高三竞赛）已知，且，求tanA的最大值.【答案】【解析】【详解】由题设等式可得，所以.令，则，于是，，这里是锐角，.所以，注意到t>0，可得.当时，题设等式成立.所以，tanA的最大值为.43．（2018·全国·高三竞赛）在中，证明：，当且仅当为正三角形时，上式等号成立.【答案】见解析【解析】【详解】如图，对，作其相伴.则，，.故.由O、E、、F四点共圆得则.类似地，，记的三边分别为，相应边上的高分别为，且其面积为S、则.其中，“”表示轮换对称和.由熟知的不等式，得.当且仅当为正三角形时，上式等号成立.44．（2019·全国·高三竞赛）在△ABC中，若，证明:∠A＋∠B＝90°【答案】见解析【解析】【详解】由=0.. .45．（2018·全国·高三竞赛）已知的三个内角满足,，求的值.【答案】【解析】【详解】由题设知.设,则,于是,.故..故.若舍，从而,.46．（2018·全国·高三竞赛）已知函数在有最大值2.求实数的值.【答案】【解析】【详解】注意到，.令.则.由，有以下两种情形.（1）.由，知，矛盾.（2）.若，即时，；若，即时，，矛盾；若，即时，，矛盾.综上，.47．（2019·全国·高三竞赛）求的最小值．【答案】【解析】【详解】注意到，，同理，，而，，如图，作边长为1的正、、，在、上分别取点、使得，，联结、，则，其最小值就是线段的长度，即当时，.48．（2021·全国·高三竞赛）求证：对任意的，都有．【答案】证明见解析.【解析】【详解】由于，只需证：．设，注意到：，即，又由于、、均大于0，则，从而．所以，所以对任意的，都有．49．（2021·全国·高三竞赛）设是锐角，满足，求证：.【答案】证明见解析【解析】【详解】.由于，所以.由恒等式可知，如果且，则，所以.所以.50．（2019·河南·高二竞赛）锐角三角形ABC中，求证：.【答案】证明见解析【解析】【详解】原不等式等价于.在三角形ABC中，，.令，则原不等式等价于.而上式左边，故原不等式得证