高中数学竞赛专题大全竞赛专题4平面向量50题竞赛真题强化训练含解析

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竞赛专题4 平面向量（50题竞赛真题强化训练）一、单选题1．（2018·全国·高三竞赛）已知的外接圆圆心为，.则（       ）.A．>>.B．>>.C．>>D．>>【答案】A【解析】【详解】设的外接圆半径为.则,,.又由，可知.故，即.所以>>.2．（2019·全国·高三竞赛）设为所在平面内一动点.则使得取得最小值的点是的（       ）.A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】C【解析】【详解】注意到①当，即为的重心时，式①取得最小值故答案为C3．（2018·全国·高三竞赛）设是所在平面上的一点，用、、、分别表示向量、、、．若，则是的．A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心【答案】D【解析】【详解】由，得，即．所以,则．同理，．4．（2019·全国·高三竞赛）如图，在的边上做匀速运动的三个点、、，当时，分别从、、出发，当时，恰好同时到达、、．那么，这个运动过程中的定点是的（       ）A．内心 B．外心C．垂心 D．重心【答案】D【解析】【详解】依题意知，设为的重心，则.所以，为的重心.故答案为D5．（2018·全国·高三竞赛）如图，在凸四边形中，，，，且.则等于（       ）.A． B．C． D．【答案】B【解析】【详解】如图由勾股定理得，且，则.又因，所以，、、、四点共圆.联结，则.设（为锐角），则，.作矩形，则，.故.选B.编者注：此题用复数法解答比较简洁.6．（2018·全国·高三竞赛）已知P为△ABC内一点，且满足2PA+3PB+4PC=0，那么，等于.A．1:2:3 B．2:3:4 C．3:4:2 D．4:3:2【答案】B【解析】【详解】如图，延长PA至D，使PD=2PA；延长PB至E，使PE=3PB；延长PC至F，使PF=4PC.则PD+PE+PF=0.从而，P为△DEF的重心.于是，有，，.故.7．（2020·浙江温州·高一竞赛）已知单位向量，的夹角为60°，向量，且，，设向量与的夹角为，则的最大值为（       ）．A． B． C． D．【答案】C【解析】【详解】由题意有，则．又因为，所以，所以．故选：C.8．（2018·全国·高三竞赛）平面上的两个向量、满足，，且，.若向量，且.则的最大值是（       ）A． B．1 C．2 D．4【答案】C【解析】【详解】因为，，且，，所以，、、三点在以的中点为圆心、1为半径的圆上.又，，则.故..从而，点也在以为圆心，1为半径的圆上.因此，、、、四点共圆，其圆心为.当、、三点共线，即为的一条直径时，.9．（2018·陕西·高三竞赛）在边长为8的正方形中，是的中点，是边上一点，且，若对于常数，在正方形的标上恰有6个不同的点，使，则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】C【解析】【详解】如图建立直角坐标系，.由题意得：.即以为圆心，为半径的圆与正方形四边有且仅有6个不同的交点，易由图形知.二、填空题10．（2018·吉林·高三竞赛）如图，在直角三角形ABC中，，，点P是斜边AB上一点，且，那么__________.【答案】4【解析】【详解】解法一：因为，所以.解法二：以C为原点，CA、CB分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（0，2），P（，），有，，.所以.故答案为411．（2019·全国·高三竞赛）设的面积为1，边AB、AC的中点分别为E、F，P为线段EF上的动点，则的最小值为__________．【答案】【解析】【详解】作于点D.设.如下左图，当点D位于线段BC或CB的延长线上时，.如下右图，当点D位于边BC上时，当D为线段BC的中点以及时，上式等号成立.综上，.故答案为12．（2019·全国·高三竞赛）设是所在平面上一点,满足.若,则______.【答案】【解析】【详解】设O为原点.则,即.故.得,且.所以,.故答案为13．（2019·全国·高三竞赛）在△ABC中，已知，设0为△ABC的内心，且.则λ+μ=________．【答案】【解析】【详解】设AO与BC交于点D.由角平分线定理知.于是，.又，则.因此，.故答案为14．（2021·全国·高三竞赛）已知向量，则的最大值是___________．【答案】5【解析】【详解】，当时等号成立故答案为：5.15．（2019·全国·高三竞赛）在正四面体中，设，，记和所成的角为．则______．【答案】【解析】【详解】设正四面体棱长为4．则．而，则．16．（2019·全国·高三竞赛）如图，已知是的重心，若过点,且，则_____.     【答案】3【解析】【详解】由，可知.由、、三点共线有.而,故.因为不共线，所以，.解得.故.故答案为317．（2021·全国·高三竞赛）中，A、B、C的对边分别为a、b、c，O是的外心，点P满足，若，且，则的面积为_________．【答案】【解析】【分析】【详解】由，得，即．注意到，所以．同理，，所以P是的垂心，，所以，，所以．故答案为：.18．（2021·全国·高三竞赛）已知平面单位向量，且，记，则y的最大值为________．【答案】4【解析】【分析】【详解】单位向量满足，则有，不妨设四个向量如图所示，分别为，X在单位圆O的上．设，则有，故有，即有，故．故答案为：4.19．（2021·全国·高三竞赛）已知点A满足，B、C是单位圆O上的任意两点，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】【详解】.又，取等可以保证，故所求范围为．故答案为：.20．（2020·浙江·高三竞赛）已知，为非零向量，且，则的最大值为__________.【答案】.【解析】【详解】解法一   设，，则.解法二   设，则，且，所以.故答案为：.21．（2021·全国·高三竞赛）已知两个非零向量满足，则的最大值是_____．【答案】【解析】【分析】【详解】设，则．则：.当且仅当，即时，等号成立．即最大值为.故答案为：.22．（2021·全国·高三竞赛）设P是所在平面内一点，满足，若的面积为1，则的面积为__________.【答案】【解析】【分析】【详解】因为，所以，即，记的中点为M，于是，因此.故答案为：.23．（2021·全国·高三竞赛）已知为三内角，向量.如果当最大时，存在动点，使得成等差数列，则最大值为________.【答案】【解析】【分析】【详解】，，等号成立仅当.令，因，所以是椭圆上的动点.故点，设，则：，.当时，.即.故答案为：.24．（2021·全国·高三竞赛）如图，在中，是边上一点，且．若点满足与共线，，则的值为_________．【答案】或【解析】【分析】【详解】因为，所以，即．因为与共线，所以存在实数，使得．因为，所以，从而，所以．因为，所以，所以．因为，所以，即，解得或．因此或．故答案为：或.25．（2021·全国·高三竞赛）若平面向量的模均在区间内，则的取值范围是_________．【答案】【解析】【分析】【详解】．等号成立当且仅当时成立．取边长为4、4、2的等腰，其中．令即可．又．取，等号成立．故答案为：.26．（2019·广西·高三竞赛）已知点P(－2，5)在圆上，直线l：与圆C相交于A、B两点，则____________ .【答案】【解析】【详解】由已知求得圆C：(x－1)2+(y－1)2=52到直线l的距离为3，从而.所以.故答案为：．27．（2019·甘肃·高三竞赛）△ABC的三边分别为a、b、c，点O为△ABC的外心，已知，那么的取值范围是____________ .【答案】【解析】【详解】延长AO交△ABC的外接圆于D，得到.因为，所以b∈(0，2)，故.故答案为：．28．（2019·四川·高三竞赛）设正六边形ABCDEF的边长为1，则______ .【答案】－3【解析】【详解】如图所示，建立平面直角坐标系设C(1，0)，则，.于是，，于是.故答案为：．29．（2019·重庆·高三竞赛）已知向量满足，且，若为的夹角，则_______ .【答案】【解析】【详解】因为，所以，所以.因为，所以.又因为k∈Z+，所以k=2，所以.故答案为：．30．（2018·山东·高三竞赛）在中，，的平分线交于，且有．若，则______．【答案】             【解析】【详解】过点作交于点，交于点，由题设，所以，，．因此，所以，，因此．所以．由此得．31．（2018·河北·高三竞赛）设点O为三角形ABC内一点，且满足关系式： _____.【答案】【解析】【详解】将化为，.设M、N分别是AB、AC的中点，则.设△ABC的面积为S，由几何关系知，，，所以.32．（2018·全国·高三竞赛）在等腰△ABC中，已知，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且AD =DB=EF=1．若，则的取值范围是_______．【答案】【解析】【详解】以D为原点、射线DB和DC分别为x和y轴正方向建立平面直角坐标系.则A(-1,0)，B(1,0)，C(0,2).设点，其中，.设线段EF的中点为.则由EF=1，得.   ①故             ②又        ③将式①代入式③，消去，整理得.            ④综合式②、④得于是，.故.33．（2018·全国·高三竞赛）在平面直角坐标系中，已知O为原点，点，，动点C在圆上运动，则的最大值为_________．【答案】【解析】【详解】令，则.当且仅当点与的连线过原点O时，上式等号成立.这显然是可以取得的.34．（2019·全国·高三竞赛）如图，在中，已知为的中点，点、分别在边、上，且，，，，．则______．【答案】【解析】【详解】令，．则，．因为为的中点，所以，．由题意知，．故，．由，知．故答案为35．（2018·全国·高三竞赛）已知为边上的一点, 为内一点,且满足,.则______.【答案】【解析】【详解】注意到,36．（2018·全国·高三竞赛）已知是的外心.若,,且,则______.【答案】【解析】【详解】不妨设.以为原点、所在直线为轴建立平面直角坐标系.则.设外心为.由，得.解得.则.解得.故.37．（2018·全国·高三竞赛）在△ABC中，已知∠A=，记向量则与的夹角等于________.【答案】【解析】【详解】注意到，即.从而，与的夹角与∠A相等或互补.又显然，则因此，与的夹角等于38．（2018·全国·高三竞赛）如图，设分别为的重心、垂心，为线段的中点，外接圆的半径．则 =_______．【答案】3【解析】【详解】以的外心为原点建立平面直角坐标系.于是，，.则.故39．（2019·全国·高三竞赛）如图，，分别是正六边形的对角线、的内分点，且，若、、三点共线，则______.【答案】【解析】【详解】延长、交于点，设正六边形边长为1，易知，为的中点，，由，可得，又，是边上的中线，，则有，即，整理得，因为当、、三点共线时，存在实数使得，故，解得.故答案为40．（2019·全国·高三竞赛）设实常数k使得方程在平面直角坐标系中表示两条相交的直线,交点为P.若点A、B分别在这两条直线上,且,则_____.【答案】【解析】【详解】由题设知，关于的二次多项式可以分解为两个一次因式的乘积.因，所以，，其中，为待定的常数.将上式展开后比较对应项的系数得 .解得.再由得两直线斜率为，交点.设两直线的夹角为（为锐角）.则.故或.故答案为41．（2018·全国·高三竞赛）在中，，.沿向量的方向，点将线段分成了等份.设，.则______.【答案】【解析】【详解】设，.则.故.由，得.42．（2019·全国·高三竞赛）设点在的外部，且.则______.【答案】4【解析】【详解】如图，设，分别是边、的中点，联结.则             ①             ②得.则.因此，与共线，且.于是，.故，.43．（2018·全国·高三竞赛）已知向量、满足，且.则的最小值为______.【答案】【解析】【详解】注意到，. 由此可设 .设 .由.设.又，则.因此，.44．（2018·江苏·高三竞赛）在中，，，且，设为平面上的一点，则的最小值是________.【答案】【解析】【详解】由，，且得.如图，以为坐标原点，为轴建立直角坐标系，则，，设，则.即的最小值是.故答案为45．（2018·贵州·高三竞赛）已知O为△ABC所在平面上一定点，动点P满足，其，则P点的轨迹为________．【答案】∠BAC的角平分线【解析】【详解】,而，且，所以表示∠BAC的角平分线上的一个向量．因此，P点的轨迹为∠BAC的角平分线．故答案为∠BAC的角平分线46．（2021·全国·高三竞赛）已知平面向量､､，满足，若，那么的最小值为___________.【答案】##【解析】【分析】设，则即为点到点（圆上的动点）的距离与到点的距离，利用对称可求其最小值.【详解】解析：建立直角坐标系.设，则.问题转化为点到点的距离与到点的距离之和最小，其中点在直线上运动，点在圆上运动，所以.点O关于直线对称的点为，所以，所以，等号可以取到，所以最小值是.故答案为：.【点睛】思路点睛：向量的模的最值问题，可建立平面直角坐标系，将问题转化为动点到几何对象的距离和最值的问题.47．（2019·贵州·高三竞赛）在△ABC中，.则____________ .【答案】【解析】【详解】设△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c.由，知G为△ABC的重心.又GA⊥GB，所以.得到.故：.故答案为：．48．（2021·全国·高三竞赛）已知三个非零向量、、，满足（其中为给定的正常数）．则实数t的最小值为___________．【答案】【解析】【分析】应用及求和的轮换关系得到，再分类讨论即可得解.【详解】，所以．故．假设，则．故，所以，这与、为非零向量矛盾．从而．又，所以，当两两同向且模均为时等号成立．故．故答案为：三、解答题49．（2020·浙江温州·高一竞赛）若平面上的点满足．（1）求的最大值；（2）设向量,,定义运算．若,求的取值范围．(其中О为坐标原点)【答案】（1）；（2）．【解析】【详解】（1）因为,等号当且仅当向量与反向共线时成立,所以的最大值为．（2）由于,所以点在以为圆心,为半径的圆上．又因为,所以为圆的直径,则点C为A1A3的中点．所以①因为点为的中点,所以,,代入式①可得原式=②因为,所以,可得,再代入式②可化简为：,且．设,,则．故．50．（2021·全国·高三竞赛）已知点，其中，且坐标原点O恰好为的重心，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】三角形面积为定值．【解析】【分析】【详解】先证明一个引理：若，则．因为，所以，所以，所以：回到原题，连结、、，则：．由三角形的重心为原点得即所以两式平方相加可得，所以，同理，所以，故三角形面积为定值．