高中数学竞赛专题大全竞赛专题6数列50题竞赛真题强化训练含解析

这是一份高中数学竞赛专题大全竞赛专题6数列50题竞赛真题强化训练含解析，共35页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
竞赛专题6 数列（50题竞赛真题强化训练）一、填空题1．（2020·江苏·高三竞赛）已知正实数，，满足，则的最小值为__________．【答案】10【解析】【详解】解析：易知恒等式，而，当且仅当，时，等号成立．故答案为：10.2．（2021·全国·高三竞赛）已知，则的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】【详解】，当且仅当时取到等号．故答案为：.3．（2021·全国·高三竞赛）已知正实数满足，则的最小值为________．【答案】##0.5【解析】【详解】由柯西不等式知，且，所以，且当时取到等号．故答案为：.4．（2021·全国·高三竞赛）实数a､b满足，则的最大值是___________.【答案】【解析】【详解】解析：不妨设，则：，当且仅当时等号成立，故的最大值为，故答案为：.5．（2021·全国·高三竞赛）已知圆与轴相交于两点，抛物线与圆相交于两不同的点，则梯形面积的最大值是___________.【答案】【解析】【详解】解析：设点，则梯形的面积为，而消元，可得面积为，故，当且仅当时等号成立，故面积最大值为.故答案为：.6．（2020·浙江·高三竞赛）设，则__________.【答案】.【解析】【详解】设，则，所以.设给定的正实数，，令，解得，，所以.则，当且仅当 ，时等号均成立，故的最大值为,故答案为：.7．（2021·全国·高三竞赛）设满足，则的最大值是___________.【答案】【解析】【详解】取，使.由于，所以.最大值为.故答案为：.8．（2021·全国·高三竞赛）设n是给定的正整数，是非负实数，，则的最小值是___________.【答案】【解析】【详解】先证明，①事实上，两边平方后，化简可得上述不等式等价于，②由于，于是②式成立，所以①成立.类似可证明最后可得.③当时，③中的“”即为“”.所以最小值为.故答案为：.9．（2021·浙江·高三竞赛）已知，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】【详解】因为.当，时，取得最小值.故答案为：.10．（2021·浙江·高三竞赛）使得对一切正实数，恒成立的最大实数为______.【答案】9【解析】【分析】【详解】不妨设,则有,令,则有.则有,整理得.即有,则恒成立,则有.故答案为：9.11．（2021·浙江·高三竞赛）若，则函数的最小值为______.【答案】【解析】【分析】【详解】令，,当且仅当即时取等号.故答案为：.12．（2021·全国·高三竞赛）已知等腰直角的三个顶点分别在等腰直角的三条边上，记、的面积分别为、，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】【详解】（1）当的直角顶点在的斜边上，如图1所示，则P，C、Q，R四点共圆，，所以．在、中分别应用正弦定理得．又，故，即R为的中点．过R作于H，则，所以，此时的最小值为．（2）当的直角顶点在的直角边上，如图2所示．设，则．在中，，在中，，由正弦定理，，因此．这样，，当且仅当时取等号，此时的最小值为．故答案为：.13．（2021·全国·高三竞赛）已知非负实数x、y、z满足，则的最小值为__________．【答案】3【解析】【分析】【详解】设，则．又因为，所以，．点在圆心为，半径为2的圆上运动，结合几何意义和，知，当时，有最小值3，且当时等号成立．故答案为：3.14．（2021·全国·高三竞赛）已知两个非零向量满足，则的最大值是_____．【答案】【解析】【分析】【详解】设，则．则：.当且仅当，即时，等号成立．即最大值为.故答案为：.15．（2021·全国·高三竞赛）设三个不同的正整数成等差数列，且以为三边长可以构成一个三角形，则的最小可能值为________.【答案】10【解析】【分析】【详解】设为正整数，由于以为三边长可以构成一个三角形，则，所以，于是，即有.故答案为：10.16．（2021·全国·高三竞赛）设，且满足，则的最大值为_________．【答案】12【解析】【分析】【详解】注意到，解得，而时取到最大值12．故答案为：12.17．（2021·全国·高三竞赛）设正实数满足，则最大值为_________．【答案】【解析】【详解】解析：最大值为．记，则，故，即，对,求和，并结合算术-几何平均不等式，有，故，等号当时取到．所以原式的最大值为．故答案为：.18．（2021·浙江·高三竞赛）一条直线上有三个数字，，，数字位于，之间，称数值为该直线的邻差值.现将数字1~9填入的格子中，每个数字均出现，过横向三个格子､竖向三个格子及对角线三个格子共形成8条直线.则这8条直线的邻差值之和的最小值为______，最大值为______.【答案】     36     60【解析】【分析】【详解】如图1,这8条直线的邻差值之和：,利用局部调整法,当时，有最小值.当如图2排列时，有最大值.故答案为：36,60.19．（2021·全国·高三竞赛）已知正整数，且，设正实数满足，则的最小值为_______．【答案】【解析】【分析】【详解】令．由题设可得，于是：，，……，将上述各式利用均值不等式得：，，……，再把上述个不等式相乘，得，即．由于，故，当且仅当时上式等号成立．故答案为：.二、解答题20．（2021·全国·高三竞赛）求所有的正实数，使得存在实数满足．【答案】【解析】【详解】设，则不等式化为．当时，；当时，；当时，．因此不等式可化为．设，考虑在1和之间恒小于零，则，故，解得．所以的取值范围是．21．（2021·全国·高三竞赛）设m为正整数，且，求所有的实数组，使得，对所有成立．【答案】证明见解析.【解析】【分析】第一步化简原式，第二步利用不等式即可得到或，这两种情况是对称的，不妨证明的时候成立，所以原式成立.【详解】由已知 ，得 ，故全相等．注意到若实数满足，则，即．因此，．设中有，个b，则有，且，即．由不等式，若，，因此必取等，即或，这两种情况是对称的，不妨，则，知，则．若，则，即．若，则，即．综上可知，要么1个个；要么全是．22．（2021·全国·高三竞赛）求最大的正实数，使得对任意正整数n及正实数，均有．【答案】的最大值为3．【解析】【分析】先取，通过对其求和可得的范围，再利用放缩法可得，最后求出最大的正实数的值.【详解】一方面，取，得即．令，得．另一方面对正实数x，y有，故，，，……．以上各式相加，得．故时，原不等式恒成立．综上，的最大值为3．23．（2021·全国·高三竞赛）已知证明：存在，使得.【答案】证明见解析【解析】【详解】不妨，设，当时，因为，即，当且仅当时，等号成立.故，所以存在，使得，即.所以存在，使得.24．（2020·浙江·高三竞赛）设非负实数，，，证明：.【答案】证明见解析【解析】【详解】证 设，问题等价于证明：，当时，不等式显然成立；故即证：，其中.而.设，探究与在的大小，即比较与在的大小，.注意，所以命题得证.25．（2021·全国·高三竞赛）已知正实数a、b、c，满足，求证：．【答案】证明见解析【解析】【详解】由于齐次，不妨令，则．记．又由基本不等式可得，故，故，所以，因此．26．（2021·全国·高三竞赛）求所有实数p，使得对任意实数a､b均有.【答案】p的取值范围是.【解析】【详解】易见a､b同号.令，则，所以.令，则，所以.下面说明当时，原不等式成立.若，则，所以原不等式成立.若，则.因为，以及.又因为，所以.于是原不等式也成立.综上所述，p的取值范围是.27．（2021·全国·高三竞赛）求c的最大值，使得对任意的正实数x、y、z，均有，其中“”表示轮换对称求和．【答案】．【解析】【分析】【详解】注意到，由不等式的轮换对称性，不妨设x最小，则，其中．所以，原式等价于：，化简得．由，且x可无限接近于0，得，对成立．又，为了求c的最大值，可不妨设．令，，设，则，所以在上严格单调递增．而，解得，所以在上单调递减，在上单调递增．故，所以，c的最大值为．28．（2021·全国·高三竞赛）求所有实数满足：．【答案】，其中．【解析】【分析】【详解】记，不妨，于是有．平方整理得，于是有，所以．相应的．由，即，符合假设．由，即，又，符合假设．综上，，其中．29．（2021·全国·高三竞赛）已知是正实数，求证：．【答案】证明见解析【解析】【分析】【详解】要证明原不等式，只要证明，即证，只需证明．记，则只需证明，即证，即证                       （*）注意到，所以，所以，即（*）成立，所以原命题成立．30．（2021·全国·高三竞赛）已知，求证：.【答案】证明见解析【解析】【分析】【详解】构造一次函数.根据一次函数的单调性，只需证明和.因为，由题设，，所以，所以.又因为.综上，原不等式成立.31．（2021·全国·高三竞赛）已知函数，记的最大值为．当b、c变化时，求的最小值．【答案】．【解析】【分析】【详解】因为对任意的，所以取，0，得：则，故，则，所以，此时可取，此时．显然可以取到．综上，的最小值为．32．（2021·全国·高三竞赛）在平面内画出条直线，把平面分成若干个小区域，其中一些区域涂了颜色，且任何两个涂色区域没有公共边界（可以有公共顶点）.证明：涂色区域的个数不超过.【答案】证明见解析【解析】【分析】讨论这条直线的位置关系，当所画直线均两两平行，当所有的直线不全平行时，当只有两条线为边界的区域的区界是两条射线.对每种关系进行一一讨论，即可证明.【详解】若所画直线均两两平行，则把平面分成个区域，当n为偶数时，涂色区域个数不超过；当n为奇数时，涂色区域个数不超过.且.当所有的直线不全平行时，此时每条直线都被与之相交的直线分成了线段或射线，故没有边界为直线的区域.设边界的线（线段或射线）的条数为i的涂色区域有个，且边界上最多k条线.只有两条线为边界的区域的区界是两条射线，每条射线只能作一次涂色区域的边界，n条直线上只有条射线，从而.又每条直线至多分成了n段，n条直线至多分成段，且每段只能作一条涂色区域的边界，所以，于是涂色区域的个数.33．（2021·全国·高三竞赛）设n是一个大于等于3的正整数，当n满足什么条件时，对任意实数总成立：.【答案】或【解析】【详解】当且仅当或时成立.设，首先给出反例：时，，，不等式不成立.时，，，不等式不成立.或时不等式成立，理由如下：时，设a､b､c是实数，即证：显然成立.时，设a､b､c､d､c是实数，即证：式子是完全对称的，可设，那么，.因此，同理，.又，三个式子相加得证.34．（2021·全国·高三竞赛）设函数有三个正零点，求的最小值.【答案】【解析】【详解】一方面，当时，方程，故此函数有三个相等的零点，此时，下面证明即为所求的最小值.设方程的三个正实根分别为､､，则由根与系数的关系可得.故.由知：，可得.①又由知：，可得，从而有，故，解得，所以，即，所以②由①②可得，其中，设，则，故在为减函数，故.故.35．（2021·全国·高三竞赛）证明：对每个大于1的奇数，是无理数.【答案】证明见解析【解析】【详解】假设存在大于1的奇数是有理数.设，则，.下面证明：对任何正整数，且，①时结论成立.设，且，由得：.设，则，且.因此，①对一切正整数都成立，所以，故，因此.，所以或2的方幂，这与是大于1的奇数矛盾.36．（2021·全国·高三竞赛）已知.求证：.【答案】证明见解析【解析】【详解】当时，，并且时，，因此，对任意，存在唯一的，使得.则有，所以.同理，，所以（其中充分大使得）.37．（2021·全国·高三竞赛）已知正实数a、b、c满足．求证：．【答案】证明见解析【解析】【详解】证明：由，得．接下来只需要证明：，其中，正实数a，b，c满足．事实上，由柯西不等式，得：．而．所以．故原不等式成立．38．（2021·全国·高三竞赛）若数列，求证：存在无穷多个正整数n，使得，并确定是否存在无穷多个正整数n使得？（这里表示不超过x的最大整数）【答案】证明见解析，存在无穷多个n，使.【解析】【详解】用表示正整数i的正因数个数，则.所以若取，则，所以.而.所以，于是，故存在无穷多个n使.若取（p为质数，），则，.当时，.所以.所以，于是.故存在无穷多个n，使.39．（2021·全国·高三竞赛）已知椭圆，点P、Q在椭圆C上，满足在椭圆C上存在一点R到直线、的距离均为，证明：．【答案】证明见解析【解析】【详解】设，，，则根据题意，、是关于k的方程的两个实根，该方程即，于是．，原命题得证．40．（2021·全国·高三竞赛）设x、y、z均为非负实数，且满足：，求的最大值与最小值．【答案】；48．【解析】【详解】由柯西不等式：，从而得到，将条件改写为，利用，可知从而，得到，进而，当时取到等号．另一方面，，得到，故，从而，因为，进而，解得，故得到，当时取到等号．41．（2021·全国·高三竞赛）对每一个正整数，求最大的常数使得不等式对任意满足的实数成立．【答案】【解析】【分析】【详解】首先，我们证明；若n为偶数，设，取，此时．所以．若n为奇数，设，取，此时，．所以，所以对均有．下面我们证明满足条件，即．又．因为，所以．所以，得证．所以的最大值为．42．（2021·全国·高三竞赛）已知正实数满足．证明：．【答案】证明见解析.【解析】【分析】【详解】当时，由平均值不等式知．又，则，所以．当时，即证．由于，所以，所以．命题得证．43．（2021·全国·高三竞赛）已知为正实数，且满足，求证：！．【答案】证明见解析【解析】【分析】【详解】设，则有，命题即证．（1）若对于所有，有，则．（2）若存在某一个，有.设，则有，则.注意到，故只需证，即．又因为，故因此命题成立．44．（2021·全国·高三竞赛）设是连续个正整数组成的集合，求最小的正整数k，使得M的任何k元子集中都存在个数满足．【答案】．【解析】【分析】【详解】记，任何一个以i为首项，2为公比的等比数列与A的交集设为．一方面，由于M中个元的子集中不存在题设的个数，否则，而，矛盾．故．另一方面，时，题设满足.若非如此，考虑以为首项，以2为公比的等比数列．其与M的交集的元素个数为个．设M任何k元子集为T，则上述等比数列与M的交集中至少有个元素不在T中，而时，．注意到所以，可得与矛盾．综上，所求k为．45．（2021·全国·高三竞赛）设为正实数，求证：．【答案】证明见解析.【解析】【分析】【详解】根据伯努利不等式，有，故只需证明．因为，从而．不妨设，由伯努利不等式可得：，从而．46．（2021·全国·高三竞赛）已知，求证：．【答案】证明见解析.【解析】【分析】【详解】因为，所以，当且仅当时等号成立．以下配对柯西约分：因为，，……，显然柯西不等式等号不成立．所以，即.47．（2021·全国·高三竞赛）设正实数满足对任意有，求证：!．【答案】证明见解析【解析】【分析】【详解】令，条件转化为对任意有．要证不等式即．若对任意均有，则左式．否则恰存在一个使得，记，则对任意，有．于是左式．即只需证：．                           ①由不等式知①式左端．显然，因此①式成立，即证原不等式成立．48．（2021·全国·高三竞赛）已知，且满足，求的最大值.【答案】当为偶数时，最大值为，当n为奇数时，最大值为.【解析】【分析】【详解】当且仅当时等号成立.（1）当为偶数时，最大时，显然需满足，否则用替换依然满足条件，且值增大.设，所以.当且仅当（为奇数，为偶数或为偶数，为奇数）时等号成立.（2）当为奇数时，必存在同号，不妨设同号，则：.不妨设，则，所以：.当且仅当或时等号成立.49．（2021·全国·高三竞赛）设，记：，其中求和是对1，2，…，n的所有个k元组合进行的，求证：．【答案】证明见解析【解析】【分析】【详解】任取，由柯西不等式，有：．所以．其中求和对1，2，…，n的所有个元组合进行．上式左边实际上是一些k元组合的求和，因对任意k元组合，选这k个数的元组合有个（余下的个数中任意一个数都与其构成一个元组合），故．这样便有，所以．再注意到，即得：．这就证明了，其中．即有．50．（2021·浙江·高二竞赛）设，，，，证明.【答案】证明见解析.【解析】【分析】【详解】等价于已知，，，，证：，由三元均值不等式有，由柯西不等式有，所以有，则可知，由柯西不等式有，则有.，∴，又∵，所以,所以原不等式成立.