2024高考数学大一轮复习Word版题库（人教A版文）第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第3节 函数的奇偶性与周期性

这是一份2024高考数学大一轮复习Word版题库（人教A版文）第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第3节 函数的奇偶性与周期性，共24页。试卷主要包含了函数的周期性，函数周期性常用结论，对称性的三个常用结论等内容，欢迎下载使用。
第3节　函数的奇偶性与周期性
考试要求　1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.


1.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.

1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
2.奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
3.函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).
4.对称性的三个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.
(3)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)或f(a＋x)＝f(a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)上是偶函数.(　　)
(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.(　　)
(3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.(　　)
(4)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数f(x)的图象关于点对称.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
解析　(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)错误.
(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，且在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错误.
2.下列函数中为偶函数的是(　　)
A.y＝x2sin x B.y＝x2cos x
C.y＝|ln x| D.y＝2－x
答案　B
解析　根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)，且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项的定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；D选项既不是奇函数，也不是偶函数.
3.(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　)
A.f(x－1)－1 B.f(x－1)＋1
C.f(x＋1)－1 D.f(x＋1)＋1
答案　B
解析　因为f(x)＝，所以f(x－1)＝＝，f(x＋1)＝＝.
对于A，F(x)＝f(x－1)－1＝－1＝，定义域关于原点对称，但不满足F(x)＝－F(－x)，故不是奇函数；
对于B，G(x)＝f(x－1)＋1＝＋1＝，定义域关于原点对称，且满足G(x)＝－G(－x)，故是奇函数；
对于C，f(x＋1)－1＝－1＝＝－，定义域不关于原点对称，故不是奇函数；
对于D，f(x＋1)＋1＝＋1＝＝，定义域不关于原点对称，故不是奇函数.
4.(2021·全国甲卷)设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x).若f＝，则f＝(　　)
A.－ B.－ C. D.
答案　C
解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(－x)＝－f(x).又f(1＋x)＝f(－x)，
所以f(2＋x)＝f[1＋(1＋x)]＝f[－(1＋x)]＝－f(1＋x)＝－f(－x)＝f(x)，
所以函数f(x)是以2为周期 的周期函数，f＝f＝f＝.
5.(易错题)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x－3，则函数f(x)的解析式为___________________.
答案　f(x)＝
解析　设x0，
∴f(－x)＝－x－3.
又f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－f(－x)＝x＋3.
又f(0)＝0，∴f(x)＝
6.(2022·西安质检)已知f(x)＝ex＋eax是偶函数，则f(x)的最小值为________.
答案　2
解析　∵f(x)＝ex＋eax是偶函数，
∴f(1)＝f(－1)，得e＋ea＝e－1＋e－a，则a＝－1，
经检验，a＝－1时，符合题意.
所以f(x)＝ex＋e－x≥2＝2，
当且仅当x＝0时取等号.
故函数f(x)的最小值为2.

　考点一　函数奇偶性的判断
例1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝
(3)f(x)＝log2(x＋)；
(4)f(x)＝＋x.
解　(1)由得x2＝1，即x＝±1，
即函数f(x)的定义域为{－1，1}，
从而f(x)＝＋＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称.
∵x0，
∴f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x＝f(x)；
∵x>0时，－xa
C.a>b>c D.a>c>b
(2)(2021·汕头联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，其在区间[0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝0，则不等式f(log2x)>0的解集为________________.
答案　(1)C　(2)∪(4，＋∞)
解析　(1)当x>0时，f(x)＝ln x＋ex为增函数，f(x)的图象关于y轴对称，
则a＝f(－π)＝f(π).
又π>3>log23>1>2－0.2>0，
∴f(π)>f(log23)>f(2－0.2)，
∴a>b>c.
(2)因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)＝f(|x|).
又f(2)＝0，所以不等式f(log2x)>0等价于f(|log2x|)>f(2).
又函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，
所以|log2x|>2，
所以log2x>2或log2x4或0