2024高考数学大一轮复习Word版题库（人教A版文）第六章 数列 第3节 等比数列及其前n项和

这是一份2024高考数学大一轮复习Word版题库（人教A版文）第六章 数列 第3节 等比数列及其前n项和，共16页。试卷主要包含了理解等比数列的概念，等比数列的性质等内容，欢迎下载使用。

第3节　等比数列及其前n项和
考试要求　1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.


1.等比数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.
数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.那么＝，即G2＝ab.
2. 等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.
3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.

1.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a}，，{an·bn}，也是等比数列.
2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.
4.三个数成等比数列，通常设为，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为，，xq，xq3.

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)等比数列的公比q是一个常数，它可以是任意实数.(　　)
(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　　)
(3)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　　)
(4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
解析　(1)在等比数列中，q≠0.
(2)若a＝0，b＝0，c＝0满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列.
(3)当a＝1时，Sn＝na.
(4)若a1＝1，q＝－1，则S4＝0，S8－S4＝0，S12－S8＝0，不成等比数列.
2.(2021·北京一模)已知等比数列{an}的公比q＝－2，前6项和S6＝21，则a6＝(　　)
A.－32 B.－16 C.16 D.32
答案　D
解析　因为q＝－2，S6＝21，则有S6＝＝＝－21a1＝21，
即a1＝－1，所以a6＝a1q5＝(－1)×(－2)5＝32.
3.(2021·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2＝4，S4＝6，则S6＝(　　)
A.7 B.8 C.9 D.10
答案　A
解析　易知S2，S4－S2，S6－S4构成等比数列，由等比中项得S2(S6－S4)＝(S4－S2)2，即4(S6－6)＝22，所以S6＝7.
4.若{an}是公比为q(q≠0)的等比数列，记Sn为{an}的前n项和，则下列说法不正确的是(　　)
A.若a1＞0，0＜q＜1，则{an}为递减数列
B.若a1＜0，0＜q＜1，则{an}为递增数列
C.若q＞0，则S4＋S6＞2S5
D.若bn＝，则{bn}是等比数列
答案　C
解析　A，B显然是正确的；
C中，若a1＝1，q＝，则a6＜a5，即S6－S5＜S5－S4，故C错误；
D中，＝＝(q≠0)，∴{bn}是等比数列.
5.(2022·全国百校大联考)已知在等比数列{an}中，a1a3a11＝8，则a2a8＝________.
答案　4
解析　设公比为q，则an＝a1qn－1，
则a1·a1q2·a1q10＝8，
所以aq12＝8，所以a1q4＝2，
所以a2a8＝a1q·a1q7＝aq8＝(a1q4)2＝4.
6.(易错题)已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是________.
答案　1或－
解析　当q＝1时，a3＝7，S3＝21，符合题意；
当q≠1时，得q＝－.
综上，q的值是1或－.

考点一　等比数列基本量的运算
1.已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝(　　)
A.16 B.8 C.4 D.2
答案　C
解析　设等比数列{an}的公比为q，
由a5＝3a3＋4a1得q4＝3q2＋4，得q2＝4.
因为数列{an}的各项均为正数，所以q＝2.
又a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q＋q2＋q3)
＝a1(1＋2＋4＋8)＝15，
所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4.
2.(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则＝(　　)
A.2n－1 B.2－21－n
C.2－2n－1 D.21－n－1
答案　B
解析　设等比数列{an}的公比为q，
则q＝＝＝2.
所以＝＝＝2－21－n.
3.设Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1＝，a＝a6，则S5＝________.
答案　
解析　由a＝a6得(a1q3)2＝a1q5，
整理得q＝＝3.
所以S5＝＝＝.
4.(2020·新高考海南卷)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求a1a2－a2a3＋…＋(－1)n－1anan＋1.
解　(1)设{an}的公比为q(q>1)，
且a2＋a4＝20，a3＝8.
∴
消去a1，得q＋＝，
则q＝2，或q＝(舍).
因此q＝2，a1＝2，
所以{an}的通项公式an＝2n.
(2)易知(－1)n－1anan＋1＝(－1)n－1·22n＋1，
则数列{(－1)n－122n＋1}公比为－4.
故a1a2－a2a3＋…＋(－1)n－1·anan＋1
＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n－1·22n＋1
＝＝[1－(－4)n]
＝－(－1)n·.
感悟提升　1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.
2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝.
考点二　等比数列的判定与证明

例1 Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0.
(1)求an及Sn；
(2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.
解　(1)易知q≠1，
由题意可得
解得a1＝1，q＝3，
∴an＝3n－1，Sn＝＝.
(2)假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列，
∵S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13，
∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝，
此时Sn＋＝×3n，
则＝＝3，
故存在常数λ＝，使得数列{Sn＋}是以为首项，3为公比的等比数列.
感悟提升　1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.
2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证.
训练1 已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝n.
(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明　∵an＋Sn＝n①，
∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1②.
②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，
所以2an＋1＝an＋1，
∴2(an＋1－1)＝an－1，又a1＋a1＝1，
所以a1＝，∴a1－1＝－≠0，
因为＝，∴＝.
故{cn}是以c1＝a1－1＝－为首项，为公比的等比数列.
(2)解　由(1)知
cn＝－×＝－.
∵cn＝an－1，∴an＝1－.
考点三　等比数列的性质及应用
角度1　项与和的性质
例2 (1)若等比数列{an}的各项均为正数，且a1a10＝9，则log9a1＋log9a2＋…＋log9a10＝(　　)
A.6 B.5
C.4 D.1＋
(2)(2021·衡水模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝1，S30＝7，则S40＝________.
答案　(1)B　(2)15
解析　(1)log9a1＋log9a2＋…＋log9a10＝log9[(a1a10)·(a2a9)·(a3a8)·(a4a7)·(a5a6)]＝log995＝5，故选B.
(2)∵等比数列{an}的前n项和为S10＝1，S30＝7，
∴S10、S20－S10、S30－S20、S40－S30成等比数列，
即1、S20－1、7－S20、S40－7成等比数列，
∴(S20－1)2＝1×(7－S20)，解得S20＝3或S20＝－2(舍)，
所以1、2、4、S40－7成等比数列，
所以S40－7＝8，解得S40＝15.
角度2　等比数列的最值
例3 数列{an}的前n项和为Sn，且3an＋Sn＝4(n∈N*)，设bn＝nan，则数列{bn}的项的最大值为(　　)
A. B. C. D.2
答案　B
解析　由条件可知：3an＋Sn＝4，3an－1＋Sn－1＝4(n≥2).相减，得an＝an－1.
又3a1＋S1＝4a1＝4，故a1＝1.
则an＝，bn＝n.
设{bn}中最大的项为bn，则
即
解之得3≤n≤4.
∴{bn}的项的最大值为b3＝b4＝.
感悟提升　(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.
(2)涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响.
训练2 (1)公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝8，若a2am＝4，则m的值为(　　)
A.8 B.9 C.10 D.11
(2)(2022·成都诊断)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4＝5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为(　　)
A.25 B.20 C.15 D.10
(3)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝________.
答案　(1)B　(2)B　(3)
解析　(1)∵公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝8，
∴a5a6＝a4a7＝4，由a2am＝4，
∴2＋m＝5＋6＝11，解得m＝9.
(2)在正项等比数列{an}中，Sn>0，
因为S8－2S4＝5，则S8－S4＝5＋S4，
易知S4，S8－S4，S12－S8是等比数列，
所以(S8－S4)2＝S4·(S12－S8)，
所以S12－S8＝＝＋S4＋10
≥2＋10＝20(当且仅当S4＝5时取等号)
因为a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8，所以a9＋a10＋a11＋a12的最小值为20.
(3)法一　由等比数列的性质知，S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，
由已知得S6＝3S3，所以＝，
即S9－S6＝4S3，S9＝7S3，所以＝.
法二　因为{an}为等比数列，由＝3，
设S6＝3a，S3＝a，
所以S3，S6－S3，S9－S6为等比数列，即a，2a，S9－S6成等比数列，所以S9－S6＝4a，
解得S9＝7a，所以＝＝.
等比数列前n项和性质的延伸
在等比数列{an}中，Sn表示{an}的前n项和，{an}的公比为q，
1.当Sn≠0时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列(n∈N*).
2.Sn＋m＝Sn＋qnSm，特别地S2n＝S奇＋qS奇.
例 (1)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.
(2)已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为________.
答案　(1)2　(2)
解析　(1)由题设，S偶＝S奇－80，S2n＝－240.
∴∴
(2)设等比数列{an}的公比q，易知S3≠0.
则S6＝S3＋S3q3＝9S3，所以q3＝8，q＝2.
所以数列是首项为1，公比为的等比数列，其前5项和为＝.


1.设b∈R，数列{an}的前n项和Sn＝3n＋b，则(　　)
A.{an}是等比数列
B.{an}是等差数列
C.当b＝－1时，{an}是等比数列
D.当b≠－1时，{an}是等比数列
答案　C
解析　当n＝1时，a1＝S1＝3＋b，
当n≥2，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1，
当b＝－1时，a1＝2适合an＝2·3n－1，{an}为等比数列.
当b≠－1时，a1不适合an＝2·3n－1，{an}不是等比数列.
2.已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于(　　)
A.－ B.－2 C.2 D.
答案　D
解析　由题意知q3＝＝，即q＝.
3.(2022·郑州模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，a2＝－8，a7＝，则S6＝(　　)
A.－ B. C. D.
答案　C
解析　设等比数列{an}公比为q，则a7＝a2q5，
又a2＝－8，a7＝，
∴q＝－，故a1＝16，又Sn＝，
即S6＝＝＝.
4.(2021·安庆三模)某工厂生产A、B、C三种产品的数量刚好构成一个公比为q(q≠1)的等比数列，现从全体产品中按分层随机抽样的方法抽取一个样本容量为260的样本进行调查，其中C产品的数量为20，则抽取的A产品的数量为(　　)
A.100 B.140 C.180 D.120
答案　C
解析　∵A、B、C三种产品的数量刚好构成一个公比为q的等比数列，C产品的数量为20，
∴A产品的数量为，B产品的数量为，
∵样本容量为260，∴＋＋20＝260，
解得q＝或－(舍去)，q＝，
则A产品的数量为＝＝180，故选C.
5.(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q＞0，乙：{Sn}是递增数列，则(　　)
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案　B
解析　当a1＜0，q＞1时，an＝a1qn－1＜0，此时数列{Sn}递减，所以甲不是乙的充分条件.当数列{Sn}递增时，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn＞0，若a1＞0，则qn＞0(n∈N*)，即q＞0；若a1＜0，则qn＜0(n∈N*)，不存在这样的q，所以甲是乙的必要条件.综上，甲是乙的必要条件但不是充分条件.
6.(2021·西安调研)已知数列{an}为各项均为正数的等比数列，Sn是它的前n项和，若a1a7＝4，且a4＋2a7＝，则S5＝(　　)
A.32 B.31 C.30 D.29
答案　B
解析　由a1a7＝a＝4，且an>0，得a4＝2，
又a4＋2a7＝，所以a4(1＋2q3)＝，
解得q＝，从而a1＝16.
故S5＝＝31.
7.(2022·郑州期末)朱载堉(1536－1611)是中国明代一位杰出的律学家、数学家和历学家，他的著作《律学新说》中制作了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设第三个音的频率为f1，第七个音的频率为f2，则＝______.
答案　2
解析　由题意知，可以将每个音的频率看作等比数列{an}中的项，一共13项，且＝q，
∵最后一个音是最初那个音的频率的2倍，
∴a13＝2a1，即a1q12＝2a1，可得q12＝2，
∴＝＝＝q4＝(q12)＝2，
∴＝2.
8.(2021·河南六市联考)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝7，S6＝63，则a1＝________.
答案　1
解析　由于S3＝7，S6＝63知公比q≠1，
又S6＝S3＋q3S3，得63＝7＋7q3.
∴q3＝8，q＝2.
由S3＝＝＝7，得a1＝1.
9.(2022·上海外国语附中月考)设数列{xn}满足logaxn＋1＝1＋logaxn(a＞0，a≠1)，若x1＋x2＋…＋x100＝100，则x101＋x102＋…＋x200＝________.
答案　100a100
解析　∵logaxn＋1＝1＋logaxn(a＞0，a≠1)，则1＝logaxn＋1－logaxn＝loga，
∴＝a，
∴数列{xn}是公比为a的等比数列，
∵x1＋x2＋…＋x100＝100，
∴x101＋x102＋…＋x200＝a100(x1＋x2＋…＋x100)＝100a100.
10.等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm＝63，求m.
解　(1)设数列{an}的公比为q，
由题设得an＝qn－1.
由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.
故{an}的通项公式为an＝(－2)n－1或an＝2n－1.
(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝.
由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解.
若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.
由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.
综上，m＝6.
11.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝－an＋n(n∈N*).
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列{an－1}的前n项和Tn.
(1)证明　2Sn＝－an＋n，
当n≥2时2Sn－1＝－an－1＋n－1，
两式相减，得2an＝－an＋an－1＋1，
即an＝an－1＋.
∴an－＝，
∴数列为等比数列.
(2)解　由2S1＝－a1＋1，得a1＝，
由(1)知，数列是以－为首项，为公比的等比数列.
∴an－＝－＝－，
∴an＝－＋，
∴an－1＝－－，
∴Tn＝－
＝－.

12.若正项等比数列{an}满足anan＋1＝22n(n∈N*)，则a6－a5的值是(　　)
A. B.－16
C.2 D.16
答案　D
解析　设正项等比数列{an}的公比为q＞0，
∵anan＋1＝22n(n∈N*)，
∴＝＝4＝q2，解得q＝2，
∴anan＋1＝a×2＝22n，an＞0，解得an＝2，则a6－a5＝2－2＝16，故选D.
13.(2022·长沙模拟)已知等比数列{an}中，a2＝2，a5＝，则满足a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1≤成立的最大正整数n的值为________.
答案　3
解析　已知{an}为等比数列，设其公比为q，
由a5＝a2·q3得，2·q3＝，q3＝，解得q＝，
又a2＝2，∴a1＝4.
∵＝q2＝，∴数列{anan＋1}也是等比数列，其首项为a1a2＝8，公比为.
∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝(1－4－n)≤，从而有≥.
∴n≤3.故nmax＝3.
14.(2022·合肥质量检测)已知公比不为1的等比数列{an}满足a1＋a3＝5，且a1，a3，a2构成等差数列.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和，求使Sk＞成立的最大正整数k的值.
解　(1)设公比为q.由题意得a1＋a2＝2a3，
∴a1(1＋q－2q2)＝0，
又∵a1≠0，∴q＝－或1(舍)，
∵a1＋a3＝5，∴a1(1＋q2)＝5，∴a1＝4，
∴an＝4·.
(2)Sn＝＝.
∵Sk＞，∴＞，
∴＜－，
显然，k为奇数，即＞＞＝.
解得k≤3，所以满足条件的最大正整数k的值为3.