2024高考数学大一轮复习Word版题库（人教A版文）第五章 平面向量与复数 第1节 平面向量的概念及线性运算

这是一份2024高考数学大一轮复习Word版题库（人教A版文）第五章 平面向量与复数 第1节 平面向量的概念及线性运算，共19页。试卷主要包含了了解向量的实际背景；2，向量的线性运算，共线向量定理，解决向量的概念问题要注意两点等内容，欢迎下载使用。

考试要求 1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
1.向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模).
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行.
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.
2.向量的线性运算
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即eq \(A1A2,\s\up6(→))＋eq \(A2A3,\s\up6(→))＋eq \(A3A4,\s\up6(→))＋…＋eq \(An-1An,\s\up8(→))＝eq \(A1An,\s\up6(→))，特别地， 一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.
2.中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))).
3.eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.
4.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关.( )
(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.( )
(3)向量eq \(AB,\s\up6(→))与向量eq \(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.( )
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立.( )
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√
解析 (2)若b＝0，则a与c不一定平行.
(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上.
2.(易错题)给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(BA,\s\up6(→))相等.则所有正确命题的序号是( )
A.① B.③ C.①③ D.①②
答案 A
解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(BA,\s\up6(→))互为相反向量，故③错误.
3.设M为△ABC所在平面内一点，且eq \(BC,\s\up6(→))＝3eq \(CM,\s\up6(→))，则( )
A.eq \(AM,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up6(→))
B.eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up6(→))
C.eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))
D.eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))
答案 A
解析 由eq \(BC,\s\up6(→))＝3eq \(CM,\s\up6(→))，得eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，
所以eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))
＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up6(→)).
4.(2021·长沙调研)已知点O为△ABC的外接圆的圆心，且eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(CO,\s\up6(→))＝0，则△ABC的内角A等于( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案 A
解析 由eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(CO,\s\up6(→))＝0，得eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→)).
又O为△ABC的外接圆的圆心，
根据加法的几何意义，四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，因此∠CAB＝30°.
5.若四边形ABCD满足eq \(AD,\s\up6(→))∥eq \(BC,\s\up6(→))且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(DC,\s\up6(→))|，则四边形ABCD的形状是________.
答案 等腰梯形或平行四边形
解析 当|eq \(AD,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|时，四边形ABCD是平行四边形；当|eq \(AD,\s\up6(→))|≠|eq \(BC,\s\up6(→))|时，四边形ABCD是等腰梯形.
6.(2022·哈尔滨质检)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，则λ＝________.
答案 －eq \f(1,2)
解析 由已知2a－b≠0，依题意知向量a＋λb与2a－b共线，设a＋λb＝k(2a－b)，则有(1－2k)a＋(k＋λ)b＝0.
因为a，b是两个不共线向量，故a与b均不为零向量，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－2k＝0，,k＋λ＝0，))解得k＝eq \f(1,2)，λ＝－eq \f(1,2).
考点一 平面向量的概念
1.给出下列命题，正确的命题为( )
A.向量eq \(AB,\s\up6(→))的长度与向量eq \(BA,\s\up6(→))的长度相等
B.向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反
C.|a|＋|b|＝|a－b|⇔a与b方向相反
D.若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同
答案 A
解析 对于A，向量eq \(AB,\s\up6(→))与向量eq \(BA,\s\up6(→))的长度相等，方向相反，命题成立；对于B，当a＝0时，不成立；对于C，当a，b之一为零向量时，不成立；对于D，当a＋b＝0时，a＋b的方向是任意的，它可以与a，b的方向都不相同.
2.设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)成立的充分条件是( )
A.a＝－b B.a∥b
C.a＝2b D.a∥b且|a|＝|b|
答案 C
解析 因为向量eq \f(a,|a|)的方向与向量a方向相同，向量eq \f(b,|b|)的方向与向量b方向相同，且eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.当a＝2b时，eq \f(a,|a|)＝eq \f(2b,|2b|)＝eq \f(b,|b|)，故a＝2b是eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)成立的充分条件.
3.给出下列说法：
①非零向量a与b同向是a＝b的必要不充分条件；
②若eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))共线，则A，B，C三点在同一条直线上；
③a与b是非零向量，若a与b同向，则a与－b反向；
④设λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线.
其中错误说法的序号是________.
答案 ④
解析 根据向量的有关概念可知①②③正确，对于④，当λ＝μ＝0时，a与b不一定共线，故④错误.
感悟提升 1.相等的向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量.
2.向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负数，可以比较大小.向量可以平移，与起点无关，平移后的向量与原向量相等.
3.单位向量的特征是长度都是1个单位，零向量的特征是长度是0，并规定零向量与任何向量平行.
考点二 向量的线性运算
角度1 平面向量的加、减运算的几何意义
例1 在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq \(EB,\s\up6(→))＝( )
A.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)) B.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))
C.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)) D.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))
答案 A
解析 作出示意图如图所示.
eq \(EB,\s\up6(→))＝eq \(ED,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)).
角度2 向量的线性运算
例2 在△ABC中，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，则eq \(AD,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b B.eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b
C.eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b D.eq \f(2,3)a－eq \f(1,3)b
答案 A
解析 如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF为平行四边形，所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→)).
因为eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，
所以eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b.
角度3 利用向量的线性运算求参数
例3 (2022·长春调研)如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F为DE的中点，若eq \(AF,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))，则x＝( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,4)
答案 C
解析 连接AE(图略)，因为F为DE的中点，所以eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→)))，
而eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))，
即有eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AD,\s\up6(→))))
＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))，
又eq \(AF,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))，所以x＝eq \f(1,2).
感悟提升 1.解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.
2.在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示.
3.与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程(组)即可求得相关参数的值.
训练1 (1)在△ABC中，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)eq \(BD,\s\up6(→))，F为AD的中点，则eq \(BF,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(7,6)eq \(AB,\s\up6(→)) B.eq \f(3,8)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(7,8)eq \(AB,\s\up6(→))
C.－eq \f(3,8)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,8)eq \(AB,\s\up6(→)) D.eq \f(3,8)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(9,8)eq \(AB,\s\up6(→))
(2)设D为△ABC所在平面内一点，eq \(BC,\s\up6(→))＝3eq \(CD,\s\up6(→))，若eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，则λ－μ＝( )
A.－eq \f(5,3) B.－eq \f(4,3)
C.eq \f(4,3) D.eq \f(5,3)
答案 (1)B (2)A
解析 (1)eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)×eq \f(3,4)eq \(BC,\s\up6(→)).又因为eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))，所以eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(3,8)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(7,8)eq \(AB,\s\up6(→)).
(2)由eq \(BC,\s\up6(→))＝3eq \(CD,\s\up6(→))，可知B，C，D三点在同一直线上，如图所示.根据题意及图形，
可得eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
所以λ＝－eq \f(1,3)，μ＝eq \f(4,3)，
所以λ－μ＝－eq \f(1,3)－eq \f(4,3)＝－eq \f(5,3).故选A.
考点三 共线定理及其应用
例4 设两个非零向量a与b不共线.
(1)若eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq \(CD,\s\up6(→))＝3(a－b).求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.
(1)证明 ∵eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，
eq \(CD,\s\up6(→))＝3(a－b).
∴eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝2a＋8b＋3(a－b)
＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5eq \(AB,\s\up6(→)).
∴eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))共线，又它们有公共点B，
∴A，B，D三点共线.
(2)解 ∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，
使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，
∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b是不共线的两个非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.
感悟提升 利用共线向量定理解题的策略
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线⇔eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))共线.
(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(4)eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
训练2 (1)(2022·南昌质检)已知a，b是不共线的向量，eq \(AB,\s\up6(→))＝λa＋b，eq \(AC,\s\up6(→))＝a＋μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，则λ，μ的关系一定成立的是( )
A.λμ＝1 B.λμ＝－1
C.λ－μ＝－1 D.λ＋μ＝2
(2)已知O为△ABC内一点，且2eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))＝teq \(AC,\s\up6(→))，若B，O，D三点共线，则t的值为________.
答案 (1)A (2)eq \f(1,3)
解析 (1)∵eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))有公共点，∴若A，B，C三点共线，则存在一个实数t，使eq \(AB,\s\up6(→))＝teq \(AC,\s\up6(→))，即λa＋b＝ta＋μtb，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝t，,μt＝1，))消去参数t，得λμ＝1；反之，当λμ＝1时，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,μ)a＋b，此时存在实数eq \f(1,μ)使eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,μ)eq \(AC,\s\up6(→))，故eq \(AB,\s\up6(→))和eq \(AC,\s\up6(→))共线.∵eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))有公共点，∴A，B，C三点共线.
(2)设线段BC的中点为M，则eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝2eq \(OM,\s\up6(→)).
因为2eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))，所以eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))，则eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,4)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,t)eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4t)eq \(AD,\s\up6(→)).由B，O，D三点共线，得eq \f(1,4)＋eq \f(1,4t)＝1，解得t＝eq \f(1,3).
“等和线”的应用
一、等和线定理
平面内一组基底eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))及任一向量eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，若点C在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为“等和线”.
(1)当等和线恰为直线AB时，k＝1；
(2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)；
(3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；
(4)当等和线过O点时，k＝0；
(5)若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；
(6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.
二、定理的运用
1.基底起点相同
例1 (2017·全国Ⅲ卷)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))，则λ＋μ的最大值为( )
A.3 B.2eq \r(2) C.eq \r(5) D.2
答案 A
解析 如图，由平面向量基底等和线定理可知，当等和线l与圆相切于点M时，λ＋μ最大，
此时λ＋μ＝eq \f(AF,AB)＝eq \f(AB＋BE＋EF,AB)＝eq \f(3AB,AB)＝3.
2.基底起点不同
例2 设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且有AD＝eq \f(1,2)AB，BE＝eq \f(2,3)BC，若eq \(DE,\s\up6(→))＝λ1eq \(AB,\s\up6(→))＋λ2eq \(AC,\s\up6(→))(λ1，λ2∈R)，则λ1＋λ2的值为________.
答案 eq \f(1,2)
解析 过点A作eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(DE,\s\up6(→))，设AF，BC的延长线交于点H，易知AF＝FH，即DF为△ABH的中位线，因此λ1＋λ2＝eq \f(1,2).
3.基底一方可变
例3 在正方形ABCD中，如图，E为AB中点，P是以A为圆心，AB为半径的四分之一圆弧上的任意一点，设eq \(AC,\s\up6(→))＝xeq \(DE,\s\up6(→))＋yeq \(AP,\s\up6(→))，则x＋y的最小值为________.
答案 eq \f(1,2)
解析 由题意，作eq \(AK,\s\up6(→))＝eq \(DE,\s\up6(→))，连接PK，则直线AC与直线PK相交于点M，设eq \(AM,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))，则有eq \(AM,\s\up6(→))＝λxeq \(AK,\s\up6(→))＋λyeq \(AP,\s\up6(→)).由等和线定理，知λx＋λy＝1，从而x＋y＝eq \f(1,λ).当点P与点B重合时如图，又K，B(P)，T三点共线，AM最长，此时，eq \(AM,\s\up6(→))＝2eq \(AC,\s\up6(→))，所以λmax＝2，
此时，(x＋y)min＝eq \f(1,2).
4.基底合理调节
例4 如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，则m＋n的取值范围是__________.
答案 (－1，0)
解析 作eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))的相反向量eq \(OA1,\s\up6(→))，eq \(OB1,\s\up6(→))，如图所示，则AB∥A1B1，过O作直线l∥AB，则直线l，A1B1为以eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))为基底的平面向量基本定理系数等和线，且定值分别为0，－1.由题意CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，所以点C在直线l与直线A1B1之间，所以m＋n∈(－1，0).
1.已知下列各式：①eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))；②eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))；③eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(CO,\s\up6(→))；④eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))，其中结果为零向量的是( )
A.① B.② C.①③ D.①④
答案 D
解析 利用向量运算，易知①，④的结果为零向量.
2.在△ABC中，O为△ABC的重心.若eq \(BO,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，则λ－2μ＝( )
A.－eq \f(1,2) B.－1 C.eq \f(4,3) D.－eq \f(4,3)
答案 D
解析 如图，连接BO并延长交AC于点M，因为O为△ABC的重心，所以M为AC的中点，
所以eq \(BO,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)(eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→)))
＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))
＝－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→)).
又知eq \(BO,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，
所以λ＝－eq \f(2,3)，μ＝eq \f(1,3)，
所以λ－2μ＝－eq \f(2,3)－2×eq \f(1,3)＝－eq \f(4,3).
3.(2021·衡水调研)如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则eq \(DF,\s\up6(→))＝( )
A.－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→)) B.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))
C.eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→)) D.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))
答案 D
解析 eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→)).
∵E为BC的中点，F为AE的中点，
∴eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AE,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))，
∴eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AE,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→)))－eq \(AD,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)).
又eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))，∴eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→)).
4.(2021·郑州模拟)设e1与e2是两个不共线的向量，eq \(AB,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq \(CB,\s\up6(→))＝ke1＋e2，eq \(CD,\s\up6(→))＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为( )
A.－eq \f(9,4) B.eq \f(9,4) C.－eq \f(7,4) D.eq \f(7,4)
答案 A
解析 因为A，B，D三点共线，所以必存在一个实数λ，使得eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(BD,\s\up6(→)).
又eq \(AB,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq \(CB,\s\up6(→))＝ke1＋e2，eq \(CD,\s\up6(→))＝3e1－2ke2，所以eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，
所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2.
又e1与e2不共线，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3＝λ（3－k），,2＝－λ（2k＋1），))解得k＝－eq \f(9,4).
5.已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为( )
A.1 B.－eq \f(1,2) C.eq \f(1,2) D.－2
答案 B
解析 由于c与d共线反向，
则存在实数k使c＝kd(k＜0)，
于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，
整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.
由于a，b不共线，所以有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝k，,2λk－k＝1，))
整理得2λ2－λ－1＝0，
解得λ＝1或λ＝－eq \f(1,2).
又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝－eq \f(1,2).
6.在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且eq \(BC,\s\up6(→))＝3eq \(CD,\s\up6(→))，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若eq \(AO,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq \(AC,\s\up6(→))，则x的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，0))
答案 D
解析 设eq \(CO,\s\up6(→))＝yeq \(BC,\s\up6(→))，因为eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CO,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋yeq \(BC,\s\up6(→))
＝eq \(AC,\s\up6(→))＋y(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝－yeq \(AB,\s\up6(→))＋(1＋y)eq \(AC,\s\up6(→)).
因为eq \(BC,\s\up6(→))＝3eq \(CD,\s\up6(→))，∴eq \(CO,\s\up6(→))＝3yeq \(CD,\s\up6(→))，0<3y<1，
点O在线段CD上(与点C，D不重合)，
所以y∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))，因为eq \(AO,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq \(AC,\s\up6(→))，
所以x＝－y，所以x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，0)).
7.已知向量e1，e2是两个不共线的向量，若a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ＝______.
答案 －eq \f(1,2)
解析 因为a与b共线，所以存在实数x，使a＝xb成立，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,λx＝－1，))故
λ＝－eq \f(1,2).
8.如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，则eq \(BE,\s\up6(→))＝________.
答案 b－eq \f(1,2)a
解析 eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up6(→))
＝－a＋b＋eq \f(1,2)a＝b－eq \f(1,2)a.
9.若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→))|，则△ABC的形状为________.
答案 直角三角形
解析 eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→))＝(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＋(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))，
∴|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|.
故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形.
10.已知a，b不共线，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，eq \(OD,\s\up6(→))＝d，eq \(OE,\s\up6(→))＝e，设t∈R，如果3a＝c，2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由.
解 由题设知，eq \(CD,\s\up6(→))＝d－c＝2b－3a，
eq \(CE,\s\up6(→))＝e－c＝(t－3)a＋tb，
C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得eq \(CE,\s\up6(→))＝keq \(CD,\s\up6(→))，
即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，
整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.
因为a，b不共线，
所以有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(t－3＋3k＝0，,2k－t＝0，))解得t＝eq \f(6,5).
故存在实数t＝eq \f(6,5)使C，D，E三点在一条直线上.
11.如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近B点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b.
(1)试用a，b表示eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→))；
(2)证明：B，E，F三点共线.
(1)解 在△ABC中，因为eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，
所以eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝b－a，
eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up6(→))
＝a＋eq \f(1,4)(b－a)＝eq \f(3,4)a＋eq \f(1,4)b，
eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝－a＋eq \f(1,3)b.
(2)证明 因为eq \(BE,\s\up6(→))＝－a＋eq \f(1,3)b，
eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))
＝－a＋eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)a＋\f(1,4)b))＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,6)b
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a＋\f(1,3)b))，
所以eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BE,\s\up6(→))，即eq \(BF,\s\up6(→))与eq \(BE,\s\up6(→))共线，且有公共点B，所以B，E，F三点共线.
12.(多选)(2022·济南调研)下列命题正确的是( )
A.若A，B，C，D四点在同一条直线上，且AB＝CD，则eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))
B.在△ABC中，若O点满足eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0，则O点是△ABC的重心
C.若a＝(1，1)，把a向右平移2个单位，得到的向量的坐标为(3，1)
D.在△ABC中，若eq \(CP,\s\up6(→))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(CA,\s\up6(→)),|\(CA,\s\up6(→))|)＋\f(\(CB,\s\up6(→)),|\(CB,\s\up6(→))|)))，则P点的轨迹经过△ABC的内心
答案 BD
解析 对于A，如图，A，B，C，D四点满足条件，但eq \(AB,\s\up6(→))≠eq \(CD,\s\up6(→))，故A错误；
对于B，设BC的中点为D，当eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0时，能得到eq \(OA,\s\up6(→))＝－(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))，所以eq \(OA,\s\up6(→))＝－2eq \(OD,\s\up6(→))，所以O是△ABC的重心，故B正确.
对于C，向量由向量的方向和模确定，平移不改变这两个量，故C错误.
对于D，根据向量加法的几何意义知，以eq \f(\(CA,\s\up6(→)),|\(CA,\s\up6(→))|)，eq \f(\(CB,\s\up6(→)),|\(CB,\s\up6(→))|)为邻边所得到的平行四边形是菱形，点P在该菱形的对角线上，由菱形的对角线平分一组对角，得P点在∠ACB的平分线所在直线上，故D正确.
13.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且eq \f(PT,AT)＝eq \f(\r(5)－1,2).下列关系中正确的是( )
A.eq \(BP,\s\up6(→))－eq \(TS,\s\up6(→))＝eq \f(\r(5)＋1,2)eq \(RS,\s\up6(→))
B.eq \(CQ,\s\up6(→))＋eq \(TP,\s\up6(→))＝eq \f(\r(5)＋1,2)eq \(TS,\s\up6(→))
C.eq \(ES,\s\up6(→))－eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(\r(5)－1,2)eq \(BQ,\s\up6(→))
D.eq \(AT,\s\up6(→))＋eq \(BQ,\s\up6(→))＝eq \f(\r(5)－1,2)eq \(CR,\s\up6(→))
答案 A
解析 由题意得，eq \(BP,\s\up6(→))－eq \(TS,\s\up6(→))＝eq \(TE,\s\up6(→))－eq \(TS,\s\up6(→))＝eq \(SE,\s\up6(→))＝eq \f(\(RS,\s\up6(→)),\f(\r(5)－1,2))＝eq \f(\r(5)＋1,2)eq \(RS,\s\up6(→))，所以A正确；eq \(CQ,\s\up6(→))＋eq \(TP,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(TP,\s\up6(→))＝eq \(TA,\s\up6(→))＝eq \f(\r(5)＋1,2)eq \(ST,\s\up6(→))，所以B错误；eq \(ES,\s\up6(→))－eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(RC,\s\up6(→))－eq \(QC,\s\up6(→))＝eq \(RQ,\s\up6(→))＝eq \f(\r(5)－1,2)eq \(QB,\s\up6(→))，所以C错误；eq \(AT,\s\up6(→))＋eq \(BQ,\s\up6(→))＝eq \(SD,\s\up6(→))＋eq \(RD,\s\up6(→))，eq \f(\r(5)－1,2)eq \(CR,\s\up6(→))＝eq \(RS,\s\up6(→))＝eq \(RD,\s\up6(→))－eq \(SD,\s\up6(→))，若eq \(AT,\s\up6(→))＋eq \(BQ,\s\up6(→))＝eq \f(\r(5)－1,2)eq \(CR,\s\up6(→))，则eq \(SD,\s\up6(→))＝0，不符合题意，所以D错误.
14.经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OQ,\s\up6(→))＝neq \(OB,\s\up6(→))，(m＞0，n＞0).
(1)证明：eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)为定值；
(2)求m＋n的最小值.
(1)证明 设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b.
由题意知eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)(a＋b)，
eq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \(OQ,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→))＝nb－ma，
eq \(PG,\s\up6(→))＝eq \(OG,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－m))a＋eq \f(1,3)b，
由P，G，Q三点共线得，存在实数λ，使得eq \(PQ,\s\up6(→))＝λeq \(PG,\s\up6(→))，
即nb－ma＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－m))a＋eq \f(1,3)λb，
从而eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－m＝λ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－m))，,n＝\f(1,3)λ，))消去λ得eq \f(1,n)＋eq \f(1,m)＝3.
(2)解 由(1)知，eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝3，
于是m＋n＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(1,n)))(m＋n)
＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(n,m)＋\f(m,n)))≥eq \f(1,3)(2＋2)＝eq \f(4,3).
当且仅当m＝n＝eq \f(2,3)时，m＋n取得最小值，最小值为eq \f(4,3).向量运算
定 义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
(1)交换律：
a＋b＝b＋a.
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝
a＋(b＋c)
减法
减去一个向量相当于加
上这个向量
的相反向量
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝λμa；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb