2024高考数学大一轮复习Word版题库（人教A版文）第五章 平面向量与复数 第4节 复 数

这是一份2024高考数学大一轮复习Word版题库（人教A版文）第五章 平面向量与复数 第4节 复 数，共12页。试卷主要包含了理解复数的基本概念；2，复数的几何意义，复数的运算，两个注意点，故选B等内容，欢迎下载使用。

第4节　复　数
考试要求　1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.


1.复数的有关概念
(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位).
(2)分类：
项目
满足条件(a，b为实数)
复数的分类
a＋bi为实数⇔b＝0
a＋bi为虚数⇔b≠0
a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).
(5)模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R).
2.复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.
3.复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.
z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.
＝＝＋i(c＋di≠0).
(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.
如图所示给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.


1.i的乘方具有周期性
i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
2.(1±i)2＝±2i，＝i；＝－i.
3.复数的模与共轭复数的关系
z·＝|z|2＝||2.
4.两个注意点
(1)两个虚数不能比较大小；
(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件.

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　)
(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.(　　)
(3)原点是实轴与虚轴的交点.(　　)
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
解析　(1)虚部为b；(2)虚数不可以比较大小.
2.(2021·全国Ⅱ卷)复数在复平面内对应的点所在的象限为(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　A
解　＝＝＝，所以该复数在复平面内对应的点为，该点在第一象限.
3.(2021·新高考Ⅰ卷)已知z＝2－i，则z(＋i)＝(　　)
A.6－2i B.4－2i
C.6＋2i D.4＋2i
答案　C
解析　因为z＝2－i，所以z(＋i)＝(2－i)·(2＋2i)＝6＋2i，故选C.
4.(2021·全国甲卷)已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝(　　)
A.－1－i B.－1＋i
C.－＋i D.－－i
答案　B
解析　z＝＝＝＝－1＋i.
5.(易错题)已知复数z1满足(2－i)z1＝6＋2i，z1与z2＝m－2ni(m，n∈R)互为共轭复数，则z1的虚部为________，m＋n＝________.
答案　2　3
解析　由(2－i)z1＝6＋2i，得z1＝＝＝＝2＋2i，则z2＝2－2i，则m＝2，n＝1，所以m＋n＝3.
6.如图所示，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B，则＝________.

答案　－－i
解析　由题图得z1＝－2－i，z2＝i，
所以＝＝
＝＝－－i.

考点一　复数的相关概念
1.(2021·浙江卷)已知a∈R，(1＋ai)i＝3＋i(i为虚数单位)，则a＝(　　)
A.－1 B.1 C.－3 D.3
答案　C
解析　因为(1＋ai)i＝－a＋i＝3＋i，
所以－a＝3，即a＝－3.故选C.
2.(2021·全国乙卷)设2(z＋)＋3(z－)＝4＋6i，则z＝(　　)
A.1－2i B.1＋2i C.1＋i D.1－i
答案　C
解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入2(z＋)＋3(z－)＝4＋6i，可得4a＋6bi＝4＋6i，所以a＝1，b＝1，故z＝1＋i.故选C.
3.(2021·西安调研)下面关于复数z＝－1＋i(其中i为虚数单位)的结论正确的是(　　)
A.对应的点在第一象限
B.|z|<|z＋1|
C.z的虚部为i
D.z＋<0
答案　D
解析　∵z＝－1＋i，∴＝＝＝－－.则对应的点在第三象限，故A错误；
|z|＝，|z＋1|＝1，故B错误；
z的虚部为1，故C错误；
z＋＝－2<0，故D正确.
感悟提升　1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部.若z为实数，则虚部b＝0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a＝0且b≠0.
2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.
3.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为＝a－bi，则z·＝|z|2＝||2，即|z|＝||＝，若z∈R，则＝z.
利用上述结论，可快速、简洁地解决有关复数问题.
　考点二　复数的几何意义
例1 (1)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)
A.(x＋1)2＋y2＝1 B.(x－1)2＋y2＝1
C.x2＋(y－1)2＝1 D.x2＋(y＋1)2＝1
(2)(2022·渭南质检)已知＝－1＋bi，其中a，b是实数，则复数a－bi在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　(1)C　(2)B
解析　(1)由已知条件，可设z＝x＋yi(x，y∈R).
∵|z－i|＝1，∴|x＋yi－i|＝1，
∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.
(2)由＝－1＋bi，
得a＝(－1＋bi)(1－i)＝(b－1)＋(b＋1)i，
∴即a＝－2，b＝－1，
∴复数a－bi＝－2＋i在复平面内对应点(－2，1)，位于第二象限.
感悟提升　1.复数z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) ＝(a，b).
2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，可把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.
训练1 (1)如图，若向量对应的复数为z，则z＋表示的复数为(　　)

A.1＋3i B.－3－i
C.3－i D.3＋i
(2)(2021·郑州模拟)已知复数z1＝在复平面内对应的点为A，复数z2在复平面内对应的点为B，若向量与虚轴垂直，则z2的虚部为________.
答案　(1)D　(2)－
解析　(1)由图知＝(1，－1)，∴z＝1－i，
∴z＋＝1－i＋＝1－i＋＝3＋i.
(2)z1＝＝＝－i，
所以A，
设复数z2对应的点B(x0，y0)，
则＝.
又向量与虚轴垂直，
∴y0＋＝0，故z2的虚部y0＝－.
考点三　复数的四则运算
例2 (1)(2021·全国乙卷)设iz＝4＋3i，则z＝(　　)
A.－3－4i B.－3＋4i
C.3－4i D.3＋4i
(2)(2020·新高考山东卷)＝(　　)
A.1 B.－1 C.i D.－i
答案　(1)C　(2)D
解析　(1)法一(转化为复数除法运算)　
因为iz＝4＋3i，所以z＝＝＝＝3－4i.故选C.
法二(利用复数的代数形式)　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由iz＝4＋3i，可得i(a＋bi)＝4＋3i，即－b＋ai＝4＋3i，所以即所以z＝3－4i.故选C.
法三(巧用同乘技巧)　因为iz＝4＋3i，
所以iz·i＝(4＋3i)·i，所以－z＝4i－3，
所以z＝3－4i，故选C.
(2)法一　＝＝＝－i.
法二　利用i2＝－1进行替换，则＝＝＝＝－i，选D.
感悟提升　1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式.
2.记住以下结论，可提高运算速度：
(1)(1±i)2＝±2i；(2)＝i；(3)＝－i；(4)－b＋ai＝i(a＋bi)；(5)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N).
训练2 (1)(1＋2i)(2＋i)＝(　　)
A.－5i B.5i C.－5 D.5
(2)(2022·乌鲁木齐模拟)已知复数z＝1＋i(i是虚数单位)，则等于(　　)
A.2＋2i B.2－2i C.2i D.－2i
答案　(1)B　(2)B
解析　(1)(1＋2i)(2＋i)＝2＋i＋4i＋2i2＝2＋5i－2＝5i，故选B.
(2)＝＝＝＝2－2i.


1.(2020·浙江卷)已知a∈R，若a－1＋(a－2)i(i为虚数单位)是实数，则a＝(　　)
A.1 B.－1 C.2 D.－2
答案　C
解析　因为a－1＋(a－2)i是实数，
所以a－2＝0，所以a＝2.
2.设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　C
解析　＝－3－2i，故对应的点(－3，－2)位于第三象限.
3.(2022·昆明诊断)在复平面内，复数z＝1＋i的共轭复数对应的向量为

答案　C
解析　由题意，得＝1－i，其在复平面内对应的点为(1，－1)，所以＝(1，
－1).故选C.
4.已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，是实数，那么复数z的实部与虚部满足的关系式为(　　)
A.a＋b＝0 B.a－b＝0
C.a－2b＝0 D.a＋2b＝0
答案　B
解析　因为z＝a＋bi(a，b∈R)，＝＝＝∈R，
所以b－a＝0，即a－b＝0.故选B.
5.如图，复数z1，z2在复平面上分别对应点A，B，则z1·z2＝(　　)

A.0 　 B.2＋i
C.－2－i 　 D.－1＋2i
答案　C
解析　由复数几何意义，知z1＝－1＋2i，z2＝i，∴z1·z2＝i(－1＋2i)＝－2－i.
6.(2021·全国甲卷)已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝(　　)
A.－1－i B.－1＋i
C.－＋i D.－－i
答案　B
解析　z＝＝＝＝＝－1＋i.故选B.
7.(2021·河南部分重点高中联考)若复数a＋(a∈R)是纯虚数，则a＝(　　)
A.－3 B.－2 C.2 D.3
答案　B
解析　a＋＝a＋＝a＋2－i为纯虚数.则a＋2＝0，解得a＝－2.
8.已知i是虚数单位，若z－＝，则|z|＝(　　)
A.1 B. C.2 D.
答案　C
解析　＝＝－i，＝＝＝－i，所以＝(－i)2 021＝(－i)505×4＋1＝－i，所以由z－＝，得z＋i＝－i，z＝－2i，所以|z|＝2.故选C.
9.i是虚数单位，复数＝________.
答案　3－2i
解析　依题意得＝＝＝3－2i.
10.已知复数z＝1－2i(i为虚数单位)，则|z|＝________.
答案　
解析　由z＝1－2i，得|z|＝＝.
11.(2022·江西省八校联考)已知复数z满足(z＋i)i＝2－3i，则|z|＝________.
答案　3
解析　因为(z＋i)i＝2－3i，所以zi－1＝2－3i，所以zi＝3－3i，所以z＝＝－3－3i，所以|z|＝3.
12.在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量对应的复数为________.
答案　－2＋i
解析　因为A(－1，2)关于直线y＝－x的对称点B(－2，1)，所以向量对应的复数为－2＋i.

13.(2021·哈尔滨调研)已知z的共轭复数是，且|z|＝＋1－2i(i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　D
解析　设z＝x＋yi(x，y∈R)，
因为|z|＝＋1－2i，
所以＝x－yi＋1－2i
＝(x＋1)－(y＋2)i，
所以解得
所以复数z在复平面内对应的点为，此点位于第四象限.
14.(2022·合肥质检)设复数z满足|z－1|＝|z－i|(i为虚数单位)，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)
A.y＝－x
B.y＝x
C.(x－1)2＋(y－1)2＝1
D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
答案　B
解析　z在复平面内对应的点为(x，y)，则z＝x＋yi(x，y∈R)，又|z－1|＝|z－i|，所以(x－1)2＋y2＝x2＋(y－1)2，所以y＝x.故选B.
15.已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，且|z－2|＝，则的最大值为________.
答案　
解析　因为|z－2|＝＝，
所以(x－2)2＋y2＝3.

由图可知＝＝.
16.设f(n)＝＋(n∈N*)，则集合{f(n)}中元素的个数为________.
答案　3
解析　f(n)＝＋＝in＋(－i)n，f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…，所以集合{f(n)}中共有3个元素.