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    专题2-3 零点-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练(全国通用)(解析版)

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    专题2-3 零点-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练(全国通用)(解析版)

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    这是一份专题2-3 零点-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练(全国通用)(解析版),共35页。试卷主要包含了热点题型归纳1,最新模考题组练24等内容,欢迎下载使用。
    目录
    TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、热点题型归纳1
    \l "_Tc17993" 【题型一】 水平线法1
    \l "_Tc26924" 【题型二】 基础图像交点法3
    \l "_Tc12217" 【题型三】 分段函数含参型4
    \l "_Tc30563" 【题型四】 直线临界切线型7
    \l "_Tc30563" 【题型五】 “放大镜”函数零点型9
    \l "_Tc30563" 【题型六】 函数变换13
    \l "_Tc30563" 【题型七】 对数函数绝对值型15
    \l "_Tc30563" 【题型八】 高斯函数型17
    \l "_Tc30563" 【题型九】 与三角函数结合求零点19
    \l "_Tc30563" 【题型十】 周期函数21
    \l "_Tc21895" 二、最新模考题组练24
    【题型一】 水平线法:参变分离
    【典例分析】
    已知函数函数,则下列说法错误的是( )
    A.若,则函数无零点 B.若,则函数有零点
    C.若,则函数有一个零点 D.若,则函数有两个零点
    【答案】A【解析】作出函数的图象如图所示:观察可知:当时,函数有一个零点,故A错误.故选:A
    【提分秘籍】
    基本规律
    1.分离参数。得常数函数(含参水平线)
    2.函数画图,需要运用到复合函数单调性,
    【变式演练】
    1.已知函数,若函数恰有三个不同的零点,则实数的取值范围是___
    【答案】.
    【解析】函数当时是对勾函数,因为,当且仅当即时,取最小值。所以函数最小值为2,且在上为减函数,在上为增函数。当时, 是减函数,且,所以为增函数,且,所以函数为增函数,且,函数图像如图所示。令,函数恰有三个不同的零点,可以看成函数恰有三个不同的零点,函数的图像与直线有三个交点。由图像可知。
    2.已知函数f(x)=|lg2x|,02,若函数g(x)=f(x)−m存在四个不同的零点,则实数m的取值范围是_______.
    【答案】0,1【解析】
    画出函数y=f(x),与y=m的图象,函数y=f(x),与y=m的图象的交点个数就是函数函数g(x)=f(x)−m的零点个数,因为函数g(x)=f(x)−m存在四个不同的零点,所以函数y=f(x),与y=m的图象由四个交点,由图可知,要使函数y=f(x),与y=m的图象由四个交点,实数m的取值范围是0,1,故答案为0,1.
    3.已知函数f(x)=|lg2x|,x>0|x+2|−1,x≤0,若函数y=f(x)−m+1有四个零点,零点从小到大依次为a,b,c,d,则a+b+cd的值为( )
    A.2 B.−2 C.−3 D.3
    【答案】C【详解】
    作出函数fx=lg2x,x>0x+2−1,x≤0的图象如图,函数y=fx−m+1有四个零点,即y=fx与y=m−1的图象有4个不同交点,不妨设四个交点横坐标a,b,c,d满足am时,x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2,所以要使方程f (x)=b有三个不同的根,
    则有4m-m20.又m>0,解得m>3.故选:CD
    2.设,函数,若函数有且仅有3个零点,则a的取值范围是___________.
    【答案】##
    【分析】
    问题转化为函数与直线有三个不同交点,分作出函数图象,数形结合即可求解.
    【详解】,若函数有且仅有3个零点,则函数的图象与直线有三个不同的交点,,当且仅当时等号成立,
    当时,如图:
    即可,解得,
    当时, 如图:
    即可,解得,综上,故答案为:
    3.已知函数若存在实数,使函数有两个零点,则的取值
    范围是( )
    A. B. C. D.
    【答案】B由题意可知,函数实为函数向下平移个单位得到的.所以图象只是在坐标系中位置发生变化,而其形状未发生变化,有两零点,说明也存在两个实数根,即存在一定区间,函数的单调性不一致,由此可对进行分情况讨论,当时,,所以两根不可能异号,但是在上的单调性为先减后增,使得能够成立;当时,均为增函数,且恒成立,故不存在两实数根使得成立;当时,均为增函数,但是,即的最高点在的最低点的上方.则必然存在两个实数根使得能够成立,综合以上分析应该选B.
    【题型四】 研究直线斜率(临界是切线)寻找交点关系
    【典例分析】
    已知函数,则函数的零点个数为
    A.1 B.2 C.3 D.4
    【答案】C试题分析:函数的零点,即方程函数=0的实根的个数,也是y=f(x)的图象与y=交点个数。在同一平面直角坐标系内,画出y=f(x),y=的图象,观察知,交点有3个,故选C。
    【提分秘籍】
    基本规律
    当分离参数较困难时,可以“分离函数”,一般情况下,一侧多为直线,一侧是可以研究出图像的函数。
    1.交点(零点)的个数和位置,多借助切线来寻找确定。
    2.切线虽然大多数可以通过导数来解得,但对于如一元二次等常见函数的切线,可以通过方程联立解决,这样可以简化一些计算。
    3.对于圆和圆锥曲线部分图像所获得的函数,导数求切线难度大,圆和圆锥曲线求切线的方法要注意总结掌握。
    【变式演练】
    1.已知函数,若方程恰有三个根,那么实数的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【分析】由题意得,函数与函数有三个不同的交点,结合图象可得出结果.
    解:由题意可得,直线与函数至多有一个交点,而直线与函数至多两个交点,函数与函数有三个不同的交点,
    则只需要满足直线与函数有一个交点直线与函数有两个交点即可,如图所示,与函数的图象交点为,,
    故有.而当时,直线和射线无交点,故实数的取值范围是.
    故选:A.
    2.已知函数,若关于的方程有四个不同的实数根,则实数的取值范围是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】D
    【分析】方程有四个不同的实数根,即直线与曲线,作出函数图象,即转化为在有两个不等实根,可得答案.
    【详解】设,该直线恒过点,方程有四个不同的实数根
    如图作出函数的图象,结合函数图象,则,
    所以直线与曲线有两个不同的公共点,
    所以在有两个不等实根,令,
    实数满足,解得,所以实数的取值范围是.故选:D.
    3.已函数,当时,,若在区间内,有两个不同的零点,则实数t的取值范围是______.
    【答案】
    【分析】
    由得,分别求出函数的解析式以及两个函数的图象,利用数形结合进行求解即可.
    【详解】当时,,当,可得,
    可知函数在上的解析式为,由得,
    可将函数f(x)在上的大致图象呈现如图:
    根据的几何意义,
    x轴位置和图中直线位置为表示直线的临界位置,当直线经过点,可得,
    因此直线的斜率t的取值范围是。故答案为
    【题型五】 “放大镜”函数的交点
    【典例分析】
    已知函数为偶函数,且当时,,则当时,方程的根有( )个
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【分析】转化为与的交点个数,由于两个函数都为偶函数,只研究,即得解
    【详解】由题意,当时,
    方程的根的个数即为与的交点的个数
    由于也为偶函数,故只需研究时,两个函数的交点个数即可
    当时,,故是一个交点;
    当时,,故是一个交点;
    当时,,
    故时,两个函数有一个交点,由于两个函数都单调递减,且在相交,故时,只有一个交点
    当时,,
    故时,两个函数有一个交点,由于两个函数都单调递减,且在相交,故时,只有一个交点
    综上,两个函数在有4个交点,由函数的对称性有7个交点故选:C
    【提分秘籍】
    基本规律
    “似周期函数”或者“类周期函数”,俗称放大镜函数,要注意以下几点辨析:
    1.是从左往右放大,还是从右往左放大。
    2.放大(缩小)时,要注意是否函数值有0。
    3.放大(缩小)时,是否发生了上下平移。
    4.“放大镜”函数,在寻找“切线”型临界值时,计算容易“卡壳”,授课时要着重讲清此处计算。
    【变式演练】
    1.定义在上的函数满足:①当时, ②.
    (i) _____;
    (ii)若函数的零点从小到大依次记为,则当时,_______.
    【答案】3
    【分析】
    (i)由于,可得,根据解析式求出,代入可得;
    (ii)在同一坐标系内做出和的图像,根据图像得到的对称关系,把转化为等比数列前n项和即可求解.
    【详解】
    (i)因为,所以,当时,,所以;
    (ii)在同一坐标系内做出和的图像如图所示:
    当时,利用对称性,依次有:,
    ……
    所以
    故答案为:3;
    2.已知函数,函数有2个零点,则实数a的取值范围是____________.
    【答案】或
    【分析】
    本题考查了导数的几何意义,函数的零点与函数图象的关系,
    作出的函数图象,结合函数图象求出当直线与的图象有两个交点时的斜率范围即可.
    【详解】
    解:函数,函数的图象关于对称,绘制函数图像如图所示,
    函数有2个零点则函数与函数有2个交点,当斜率为零,即时,由图像可得有两个交点,则成立;
    当斜率不为零,即时,
    如图所示,考查临界情况,当直线与函数相切时,设切点坐标为,由题意可得:,解得
    则直线与函数相切时斜率为,数形结合可知实数a的取值范围是.
    综上,答案为:或.
    3.对于函数,下列个结论正确的是__________(把你认为正确的答案全部写上).(1)任取,都有;
    (2)函数在上单调递增;
    (3),对一切恒成立;
    (4)函数有个零点;
    (5)若关于的方程有且只有两个不同的实根,,则.
    【答案】(1)(4)(5)
    【详解】
    由题意,得的图象如图所示,
    由图象 ,则任取,,都有
    ,故(1)正确;函数在上先增后减,故(2)错误;当时,
    ,即,故(3)错误;在同一坐标系中作出和的图象,可知两函数图象有三个不同公共点,即函数有3个零点,故(4)正确;
    在同一坐标系中作出和的图象,由图象可知当且仅当 时,关于的方程有且只有两个不同的实根,,且,关于对称,即;故(5)正确;故填(1)、(4)、(5).
    【题型六】 函数变换:
    【典例分析】
    已知函数,若关于x的方程有且仅有四个互不相等的实根,则实数m的取值范围是( )
    A.(-∞,7]B.(6, +∞)C.(2 +∞)D.[8, +∞)
    【答案】B
    【分析】根据题意分析出关于x的方程有且仅有四个互不相等的实根,可转化为与y=m有四个不同的交点,在同一个坐标系作出和y=m的图像,即可求出实数m的取值范围.
    【详解】当时,可化为,x=0显然不成立,故时,
    当时,可化为,所以
    记函数,由知,函数为偶函数.
    要使关于x的方程有且仅有四个互不相等的实根,只需和y=m有四个不同的交点.在同一个坐标系作出和y=m的图像如图所示:
    所以:m>6即实数m的取值范围是(6, +∞).故选:B
    【提分秘籍】
    基本规律
    利用函数性质,推导出中心对称,轴对称等等函数图像特征性质。
    【变式演练】
    1.设函数,若方程在区间内有且仅有两个根,则实数的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【分析】
    先求出分段函数在上得解析式,进而根据解析式做出函数图象,由于函数在区间内有且仅有两个根等价于函数的图象与直线在区间内有且仅有两个公共点,数形结合即可求出结果.
    【详解】若,则,所以,故,
    其图象如图:
    函数的图象与直线在区间内有且仅有两个公共点,于是,.故选:C.
    2.已知函数,若关于的方程有且只有3个实数根,则实数的取值范围是___________.
    【答案】
    【分析】本题转化为求函数与的图象有且只有3个交点,分别利用、以及三种情况讨论可求得,结合的图像即可得解.
    【详解】
    因为关于方程有且只有3个实数根,设,
    得到函数与的图象有且只有3个交点.
    当时,,所以;
    当时,;
    当时,,所以,
    所以如图所示:
    因为函数与的图象有且只有3个交点,所以或或.
    故答案为:.
    3.已知函数对于恒有,若与函数的图像的点交为,则=____________
    【答案】2n
    【分析】根据题意判断出函数和的图像关于点对称,所以交点也关于点对称,即可求解.
    【详解】因为函数对于恒有,所以函数的图像关于点对称;
    的图像关于点对称,
    所以当为和的图像的交点时,点也是和的图像的交点.所以
    【题型七】 对数函数绝对值“积定法”
    【典例分析】
    设函数,若关于的方程有四个不同的解,,,,且,则的取值范围是( )
    A. B. C. D.
    【答案】D解:如图所示,绘制函数 的图象,则点 的坐标分别为 ,由对称性可得: ,则: ,
    函数 在区间 上单调递减,据此可得:的取值范围是本题选择D选项.
    【提分秘籍】
    基本规律
    对于,若有两个零点,则满足
    1.
    2.
    3.要注意上述结论在对称轴作用下的“变与不变”
    【变式演练】
    1.已知, 是方程的两个解,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】B【解析】 因为是方程的两个解,即是函数与函数的图象有两个交点,在同一坐标系中,画出函数与函数图象,如图所示,
    由图象可得,即,即,
    又因为,所以,所以,
    综上所述,故选B.
    2.已知函数f(x)=lg2x,x>0x2+2x+2,x≤0,方程f(x)−b=0有四个不相等的实数根x1,x2,x3,x4,且满足: x1

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